الانحدار الذاتي المتجهي

يصف نموذج VAR تطور مجموعة من k متغيرات، تُسمى المتغيرات الداخلية ، عبر الزمن. تُرقّم كل فترة زمنية، t = 1، ...، T. تُجمع المتغيرات في متجه ، y _{_t}، طوله k. (بصورة مكافئة، يمكن وصف هذا المتجه كمصفوفة ( k  ×  1) ) . يُنمذج المتجه كدالة خطية لقيمته السابقة. تُسمى مكونات المتجه y _{_{i , t}} ، حيث يُمثل كل عنصر قيمة المتغير i عند الزمن t . على سبيل المثال، إذا كان المتغير الأول في النموذج يقيس سعر القمح عبر الزمن، فإن y _{_1,1998} يُشير إلى سعر القمح في عام 1998.

تتميز نماذج VAR برتبتها ، والتي تشير إلى عدد الفترات الزمنية السابقة التي سيستخدمها النموذج. بالاستمرار في المثال السابق، فإن نموذج VAR من الرتبة الخامسة يُنمذج سعر القمح لكل عام كمزيج خطي من أسعار القمح في السنوات الخمس الماضية. التأخير هو قيمة المتغير في فترة زمنية سابقة. لذا، بشكل عام، يشير نموذج VAR من الرتبة p إلى نموذج VAR يتضمن فترات تأخير لآخر p فترة زمنية. يُرمز لنموذج VAR من الرتبة p بـ "VAR( p )"، ويُطلق عليه أحيانًا "نموذج VAR مع p فترة تأخير". يُكتب نموذج VAR من الرتبة p على النحو التالي:

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{tp}+e_{t},\,}$

تشير المتغيرات من الشكل y( _{t -i)} إلى قيمة المتغير قبل i فترة زمنية، وتُسمى "التأخير i " لـ y( _t) . المتغير c هو متجه ثابت من الرتبة k ، ويُستخدم كمقطع في النموذج. Aᵢ هي مصفوفة ثابتة زمنيًا من الرتبة ( k  × k ) _، و et هو متجه من الرتبة _k يحتوي على حدود الخطأ . يجب أن تُحقق حدود الخطأ ثلاثة شروط: 

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$. كل حد خطأ له متوسط ​​يساوي صفرًا.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$. مصفوفة التغاير المتزامنة لحدود الخطأ هي مصفوفة شبه موجبة k  × k يرمز لها بـ Ω. 
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{tk}')=0\,}$لأي قيمة غير صفرية لـ k ، لا يوجد ترابط عبر الزمن. وعلى وجه الخصوص، لا يوجد ترابط تسلسلي في حدود الخطأ الفردية. ^{[ 1 ]}

تتطلب عملية اختيار أقصى تأخير p في نموذج VAR عناية خاصة لأن الاستدلال يعتمد على صحة ترتيب التأخير المختار. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

لاحظ أنه يجب أن تكون جميع المتغيرات من نفس رتبة التكامل ، وفي هذه الحالة يلزم اتباع مناهج مختلفة. الحالات التالية متميزة:

• جميع المتغيرات هي I(0) (مستقرة): هذا في الحالة القياسية، أي نموذج VAR في المستوى
• جميع المتغيرات هي I( d ) (غير مستقرة) مع d  >  0:
  • المتغيرات متكاملة تكاملاً مشتركاً : يجب تضمين حد تصحيح الخطأ في نموذج VAR. يصبح النموذج نموذج تصحيح خطأ متجهي (VECM) والذي يمكن اعتباره نموذج VAR مقيد.
  • المتغيرات ليست متكاملة بشكل مشترك : أولاً، يجب حساب الفروق بين المتغيرات d مرة، ويكون لدينا نموذج VAR في الفروق.

يمكن تجميع المتجهات لكتابة VAR( p ) كمعادلة فرق مصفوفة عشوائية ، باستخدام تدوين مصفوفة موجز:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

يمكن كتابة نموذج VAR(1) في متغيرين على شكل مصفوفة (ترميز أكثر اختصارًا) كما يلي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(حيث تظهر مصفوفة A واحدة فقط لأن هذا المثال له أقصى تأخير p يساوي 1)، أو بشكل مكافئ، كنظام المعادلتين التالي

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

لكل متغير في النموذج معادلة واحدة. وتعتمد القيمة الحالية (عند الزمن t ) لكل متغير على قيمه المتأخرة الخاصة به، بالإضافة إلى القيم المتأخرة لكل متغير آخر في نموذج VAR.

يمكن دائمًا إعادة كتابة نموذج VAR ذي p تأخيرات كنموذج VAR ذي تأخير واحد فقط، وذلك بإعادة تعريف المتغير التابع بشكل مناسب. وتتلخص هذه العملية في تجميع تأخيرات متغير VAR( p ) في متغير VAR(1) التابع الجديد، وإضافة متطابقات لإكمال العدد الدقيق للمعادلات.

على سبيل المثال، نموذج VAR(2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

يمكن إعادة صياغتها كنموذج VAR(1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

حيث I هي مصفوفة الوحدة .

يُعد الشكل المكافئ VAR(1) أكثر ملاءمة للاشتقاقات التحليلية ويسمح بعبارات أكثر إيجازًا.

نموذج VAR الهيكلي ذو التأخيرات p (يُختصر أحيانًا إلى SVAR ) هو

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

حيث c₀ متجه ثوابت من الرتبة k × 1، _و Bᵢ مصفوفة من الرتبة k × k (لكل i = 0، ...، p ) _، و εᵗ _متجه حدود الخطأ من الرتبة k × 1. تُقاس عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة B₀ (معاملات ^{المتغير} i في ^{المعادلة} i ₎ لتصبح 1.      

تحقق حدود الخطأ ε _t ( الصدمات الهيكلية ) الشروط (1) - (3) في التعريف أعلاه، مع خصوصية أن جميع العناصر الموجودة في القطر غير الرئيسي لمصفوفة التغاير${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$تساوي صفرًا. أي أن الصدمات الهيكلية غير مترابطة.

على سبيل المثال، نموذج VAR(1) ذو المتغيرين هو:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

أين

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

أي أن تباينات الصدمات الهيكلية يُشار إليها بـ${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$( i = 1, 2) والتباين المشترك هو${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$.

بكتابة المعادلة الأولى صراحةً ونقل y _2,t إلى الطرف الأيمن ، نحصل على

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

لاحظ أن y _{2, t} يمكن أن يكون لها تأثير متزامن على y _{1, t} إذا لم تكن B _0;1,2 تساوي صفرًا. يختلف هذا عن الحالة التي تكون فيها B ₀ هي مصفوفة الوحدة (جميع العناصر غير القطرية تساوي صفرًا - وهي الحالة في التعريف الأولي)، حيث يمكن أن تؤثر y _{2, t} بشكل مباشر على y _{1, t +1} والقيم المستقبلية اللاحقة، ولكن ليس على y _{1, t} .

بسبب مشكلة تحديد المعلمات ، فإن تقدير المربعات الصغرى العادية لنموذج VAR الهيكلي سيؤدي إلى تقديرات غير متسقة للمعلمات. ويمكن التغلب على هذه المشكلة بإعادة كتابة نموذج VAR في صيغة مُختزلة.

من وجهة نظر اقتصادية، إذا أمكن تمثيل الديناميكيات المشتركة لمجموعة من المتغيرات بنموذج VAR، فإن الشكل الهيكلي يمثل تصويرًا للعلاقات الاقتصادية "الهيكلية" الكامنة. هناك سمتان تجعلان الشكل الهيكلي الخيار الأمثل لتمثيل هذه العلاقات الكامنة:

1. لا توجد علاقة بين حدود الخطأ . يُفترض أن الصدمات الهيكلية والاقتصادية التي تُحرك ديناميكيات المتغيرات الاقتصادية مستقلة ، مما يعني انعدام الارتباط بين حدود الخطأ كخاصية مرغوبة. يُساعد هذا في فصل تأثيرات العوامل غير المرتبطة اقتصاديًا في نموذج VAR. على سبيل المثال، لا يوجد سبب لربط صدمة أسعار النفط (كمثال على صدمة العرض ) بتحول تفضيلات المستهلكين نحو نمط معين من الملابس (كمثال على صدمة الطلب )؛ لذلك يُتوقع أن تكون هذه العوامل مستقلة إحصائيًا.

٢. يمكن أن يكون للمتغيرات تأثير متزامن على متغيرات أخرى . تُعد هذه ميزة مرغوبة، خاصةً عند استخدام بيانات منخفضة التردد. على سبيل المثال، لن يؤثر رفع معدل الضريبة غير المباشرة على الإيرادات الضريبية في يوم إعلان القرار، ولكن يمكن رصد تأثيره في بيانات ذلك الربع.

عن طريق ضرب VAR الهيكلي مسبقًا بمعكوس B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

ويدل على

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

نحصل على نموذج VAR المختزل من الرتبة p

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

لاحظ أنه في الصيغة المختصرة، تكون جميع متغيرات الجانب الأيمن محددة مسبقًا عند الزمن t . وبما أنه لا توجد متغيرات داخلية عند الزمن t في الجانب الأيمن، فلا يوجد أي متغير له تأثير مباشر ومتزامن على المتغيرات الأخرى في النموذج.

مع ذلك، فإن حدود الخطأ في نموذج VAR المُختزل هي عبارة عن مُركبات من الصدمات الهيكلية e t = B 0  - 1 ε  t . وبالتالي، فإن حدوث صدمة هيكلية واحدة ε i,t قد يؤدي إلى حدوث صدمات في جميع حدود الخطأ e j,t ، مما يُؤدي إلى حركة مُتزامنة في جميع المتغيرات الداخلية. ونتيجةً لذلك، فإن مصفوفة التغاير لنموذج VAR المُختزل

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

يمكن أن تحتوي على عناصر غير صفرية خارج القطر الرئيسي، مما يسمح بوجود ارتباط غير صفري بين حدود الخطأ.

انطلاقاً من تدوين المصفوفة الموجز:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• ينتج عن أسلوب المربعات الصغرى متعددة المتغيرات (MLS) لتقدير B ما يلي:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

أين${\displaystyle \otimes }$يشير إلى حاصل ضرب كرونكر و Vec إلى تحويل المصفوفة المشار إليها إلى متجه.

هذا المُقدِّر متسق وفعال تقاربياً . وهو أيضاً يساوي مُقدِّر الاحتمال الأقصى الشرطي . ^{[ 4 ]}

• بما أن المتغيرات التفسيرية هي نفسها في كل معادلة، فإن مقدر المربعات الصغرى متعدد المتغيرات يكافئ مقدر المربعات الصغرى العادي المطبق على كل معادلة على حدة. ^{[ 5 ]}

كما هو الحال في الحالة القياسية، يختلف مقدر الاحتمال الأقصى (MLE) لمصفوفة التغاير عن مقدر المربعات الصغرى العادية (OLS).

مقدر الاحتمال الأقصى:${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

مقدر المربعات الصغرى العادية:${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$بالنسبة لنموذج يحتوي على ثابت، و k متغيرات، و p فترات تأخير.

في صيغة المصفوفات، ينتج عن ذلك ما يلي:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

يمكن تقدير مصفوفة التغاير للمعاملات على النحو التالي:

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

غالبًا ما تتضمن نماذج الانحدار الذاتي المتجهي تقدير العديد من المعاملات. على سبيل المثال، مع سبعة متغيرات وأربع فترات تأخير، تكون كل مصفوفة معاملات لطول فترة تأخير معين 7×7، ويحتوي متجه الثوابت على 7 عناصر، وبالتالي يتم تقدير ما مجموعه 49×4 + 7 = 203 معاملًا، مما يقلل بشكل كبير من درجات حرية الانحدار (عدد نقاط البيانات مطروحًا منه عدد المعاملات المراد تقديرها). قد يؤثر ذلك سلبًا على دقة تقديرات المعاملات، وبالتالي على دقة التنبؤات التي يقدمها النموذج.

لنفترض الحالة من الدرجة الأولى (أي مع تأخير واحد فقط)، مع معادلة التطور

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

لمتجه (الحالة) المتطور${\displaystyle y}$والمتجه${\displaystyle e}$ of shocks. To find, say, the effect of the j-th element of the vector of shocks upon the i-th element of the state vector 2 periods later, which is a particular impulse response, first write the above equation of evolution one period lagged:

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Use this in the original equation of evolution to obtain

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

then repeat using the twice lagged equation of evolution, to obtain

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

From this, the effect of the j-th component of ${\displaystyle e_{t-2}}$ upon the i-th component of ${\displaystyle y_{t}}$ is the i, j element of the matrix ${\displaystyle A^{2}.}$

It can be seen from this induction process that any shock will have an effect on the elements of y infinitely far forward in time, although the effect will become smaller and smaller over time assuming that the AR process is stable — that is, that all the eigenvalues of the matrix A are less than 1 in absolute value.