التكامل المشترك

كان أودني يول أول من قدم وحلل مفهوم الانحدار الزائف - أو غير المنطقي - عام 1926. ^{[ 2 ]} قبل ثمانينيات القرن العشرين، استخدم العديد من الاقتصاديين الانحدارات الخطية على بيانات السلاسل الزمنية غير المستقرة، وهو ما أثبت كلايف غرانجر وبول نيوبولد، الحائزان على جائزة نوبل ، أنه نهج خطير قد ينتج عنه ارتباط زائف ، ^{[ 3 ]} حيث أن تقنيات إزالة الاتجاه القياسية قد تؤدي إلى بيانات لا تزال غير مستقرة. ^{[ 4 ]} وقد صاغ غرانجر في بحثه عام 1987 مع روبرت إنجل نهج متجه التكامل المشترك، وأطلقوا عليه هذا المصطلح. ^{[ 5 ]}

للتكامل​${\displaystyle I(1)}$أظهر غرانجر ونيوبولد، في سياق العمليات، أن إزالة الاتجاه لا تُجدي نفعًا في التخلص من مشكلة الارتباط الزائف، وأن البديل الأفضل هو التحقق من التكامل المشترك. سلسلتان مع${\displaystyle I(1)}$لا يمكن دمج الاتجاهات إلا إذا كانت هناك علاقة حقيقية بينهما. ولذلك، فإن المنهجية القياسية الحالية لانحدار السلاسل الزمنية هي فحص جميع السلاسل الزمنية المعنية للتأكد من تكاملها. إذا كانت هناك ...${\displaystyle I(1)}$إذا كانت هناك سلاسل على جانبي علاقة الانحدار، فمن الممكن أن تعطي عمليات الانحدار نتائج مضللة.

يجب مراعاة احتمالية وجود التكامل المشترك عند اختيار أسلوب لاختبار الفرضيات المتعلقة بالعلاقة بين متغيرين لهما جذور وحدة (أي متكاملان من الرتبة الأولى على الأقل). ^{[ 3 ]} الإجراء المعتاد لاختبار الفرضيات المتعلقة بالعلاقة بين المتغيرات غير المستقرة هو إجراء تحليل انحدار المربعات الصغرى العادية (OLS) على البيانات بعد تفريقها. تكون هذه الطريقة متحيزة إذا كانت المتغيرات غير المستقرة متكاملة تكاملاً مشتركاً.

على سبيل المثال، قد يؤدي تحليل انحدار سلسلة الاستهلاك لأي دولة (مثل فيجي) مقابل الناتج القومي الإجمالي لدولة مختلفة مختارة عشوائيًا (مثل أفغانستان) إلى علاقة ذات معامل تحديد مرتفع (مما يشير إلى قدرة تفسيرية عالية للناتج القومي الإجمالي لأفغانستان على استهلاك فيجي ). يُطلق على هذا اسم الانحدار الزائف : انحداران متكاملان${\displaystyle I(1)}$قد تُظهر السلاسل التي لا ترتبط بشكل مباشر بالسببية ارتباطًا كبيرًا مع ذلك.

لو${\displaystyle x_{t}}$و${\displaystyle y_{t}}$لكليهما رتبة تكامل d = 1 وهما متكاملان تكاملاً مشتركاً، فإن التركيبة الخطية لهما يجب أن تكون مستقرة لقيمة معينة من d.${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle u_{t}}$. بعبارة أخرى:

${\displaystyle y_{t}-\beta x_{t}=u_{t}\,}$

أين${\displaystyle u_{t}}$ثابت.

لو${\displaystyle \beta }$إذا كان معروفًا، يمكننا إجراء الاختبار${\displaystyle u_{t}}$للتأكد من استقرار البيانات، استخدم اختبار ديكي-فولر الموسع أو اختبار فيليبس-بيرون . إذا${\displaystyle \beta }$إذا كانت القيمة غير معروفة، فيجب علينا أولاً تقديرها. ويتم ذلك عادةً باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (عن طريق الانحدار).${\displaystyle y_{t}}$على${\displaystyle x_{t}}$ونقطة تقاطع). بعد ذلك، يمكننا إجراء اختبار ADF على${\displaystyle u_{t}}$لكن عندما${\displaystyle \beta }$تشير التقديرات إلى أن القيم الحرجة لاختبار ADF هذا غير قياسية، وتزداد قيمتها المطلقة مع زيادة عدد المتغيرات المستقلة. ^{[ 6 ]}

إذا تبين أن المتغيرات متكاملة تكاملاً مشتركاً، يتم إجراء انحدار في المرحلة الثانية. وهذا انحدار لـ${\displaystyle \Delta y_{t}}$على المتغيرات التراجعية المتأخرة،${\displaystyle \Delta x_{t}}$والبواقي المتأخرة من المرحلة الأولى،${\displaystyle {\hat {u}}_{t-1}}$يُعطى الانحدار في المرحلة الثانية على النحو التالي: ${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\alpha u_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

إذا لم تكن المتغيرات متكاملة (إذا لم نتمكن من رفض فرضية العدم المتمثلة في عدم وجود تكامل مشترك عند الاختبار).${\displaystyle u_{t}}$)، ثم${\displaystyle \alpha =0}$ونقوم بتقدير نموذج الفروق:${\displaystyle \Delta y_{t}=\Delta x_{t}b+\varepsilon _{t}}$

اختبار جوهانسن هو اختبار للتكامل المشترك يسمح بوجود أكثر من علاقة تكامل مشترك، على عكس طريقة إنجل-جرانجر، إلا أن هذا الاختبار يخضع لخصائص تقاربية، أي أنه يحتاج إلى عينات كبيرة. إذا كان حجم العينة صغيرًا جدًا، فلن تكون النتائج موثوقة، ويُنصح باستخدام نموذج الانحدار الذاتي ذي الفترات الموزعة (ARDL). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

أظهر بيتر سي بي فيليبس وسام أولياريس (1990) أن اختبارات جذر الوحدة القائمة على البواقي، والمطبقة على البواقي المقدرة للتكامل المشترك، لا تتبع توزيعات ديكي-فولر المعتادة في ظل فرضية العدم لعدم وجود تكامل مشترك. ^{[ 9 ]} ونظرًا لظاهرة الانحدار الزائف في ظل فرضية العدم، فإن توزيع هذه الاختبارات له توزيعات تقاربية تعتمد على (1) عدد حدود الاتجاه الحتمية و(2) عدد المتغيرات التي يتم اختبار التكامل المشترك من خلالها. تُعرف هذه التوزيعات بتوزيعات فيليبس-أولياريس، وقد تم تدوين القيم الحرجة لها في جداول. في العينات المحدودة، يُعد توليد القيم الحرجة من خلال المحاكاة بديلاً أفضل من استخدام هذه القيم الحرجة التقاربية.

في الممارسة العملية، غالبًا ما يُستخدم التكامل المشترك لاثنين${\displaystyle I(1)}$تُستخدم هذه الطريقة في المتسلسلات ، ولكنها أكثر عمومية ويمكن استخدامها مع المتغيرات المتكاملة من رتب أعلى (للكشف عن التسارعات المترابطة أو تأثيرات الفروق الثانية الأخرى). يُوسّع التكامل المشترك المتعدد نطاق تقنية التكامل المشترك ليشمل أكثر من متغيرين، وأحيانًا متغيرات متكاملة من رتب مختلفة.

تفترض اختبارات التكامل المشترك ثبات متجه التكامل المشترك خلال فترة الدراسة. في الواقع، من الممكن أن تتغير العلاقة طويلة الأجل بين المتغيرات الأساسية (قد تحدث تحولات في متجه التكامل المشترك). قد يعود سبب ذلك إلى التقدم التكنولوجي، والأزمات الاقتصادية، وتغيرات في تفضيلات الناس وسلوكهم تبعًا لذلك، وتغييرات في السياسات أو الأنظمة، والتطورات التنظيمية أو المؤسسية. يزداد احتمال حدوث ذلك خاصةً إذا كانت فترة العينة طويلة. ولمراعاة هذه المسألة، طُرحت اختبارات للتكامل المشترك مع انقطاع هيكلي واحد غير معروف ، ^{[ 10 ]} كما تتوفر اختبارات للتكامل المشترك مع انقطاعين غير معروفين. ^{[ 11 ]}

تم اقتراح العديد من الطرق البايزية لحساب التوزيع الاحتمالي اللاحق لعدد العلاقات التكاملية المشتركة والتركيبات الخطية التكاملية المشتركة. ^{[ 12 ]}