جذر الوحدة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ جذر الوحدة خاصيةً لبعض العمليات العشوائية (مثل المشي العشوائي ) التي قد تُشكّل تحدياتٍ للاستدلال الإحصائي في نماذج السلاسل الزمنية . تحتوي العملية العشوائية الخطية على جذر وحدة إذا كان 1 حلاً لمعادلتها المميزة .

العمليات التي تحتوي على جذر وحدة هي عمليات غير مستقرة ، لأنها لا تظهر بالضرورة اتجاهاً حتمياً.

إذا كانت الجذور الأخرى للمعادلة المميزة تقع داخل دائرة الوحدة - أي أن قيمتها المطلقة أقل من واحد - فإن الفرق الأول للعملية سيكون ثابتًا؛ وإلا، فستحتاج العملية إلى إجراء عدة فروق لتصبح ثابتة. ^{[ 1 ]} إذا كان هناك d جذر وحدة، فسيتعين إجراء d فرق للعملية لجعلها ثابتة. ^{[ 2 ]} وبسبب هذه الخاصية، تُسمى عمليات جذر الوحدة أيضًا بالعمليات الثابتة بالفرق. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

قد يُخلط أحيانًا بين عمليات جذر الوحدة وعمليات الاستقرار الاتجاهي ؛ فبينما تشتركان في العديد من الخصائص، إلا أنهما تختلفان في جوانب عديدة. من الممكن أن تكون السلسلة الزمنية غير مستقرة، ومع ذلك لا تحتوي على جذر وحدة وتكون مستقرة اتجاهيًا. في كلتا العمليتين، جذر الوحدة والاستقرار الاتجاهي، يمكن أن ينمو المتوسط ​​أو يتناقص بمرور الوقت؛ ومع ذلك، في حالة حدوث صدمة، فإن عمليات الاستقرار الاتجاهي تعود إلى المتوسط ​​(أي أنها عابرة، حيث ستتقارب السلسلة الزمنية مرة أخرى نحو المتوسط ​​المتزايد، الذي لم يتأثر بالصدمة)، بينما يكون لعمليات جذر الوحدة تأثير دائم على المتوسط ​​(أي لا يوجد تقارب بمرور الوقت). ^{[ 5 ]}

إذا كان جذر المعادلة المميزة للعملية أكبر من 1، فإنها تسمى عملية انفجارية ، على الرغم من أن هذه العمليات تسمى أحيانًا بشكل غير دقيق عمليات جذور الوحدة.

يمكن اختبار وجود جذر الوحدة باستخدام اختبار جذر الوحدة .

لنفترض عملية عشوائية منفصلة الزمن${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$ولنفترض أنه يمكن كتابتها كعملية تراجع ذاتي من الرتبة p : 

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.}$

هنا،${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$هي عملية عشوائية غير مرتبطة تسلسليًا، ذات متوسط ​​صفري وتباين ثابت${\displaystyle \sigma ^{2}}$للتسهيل، افترض${\displaystyle y_{0}=0}$. لو${\displaystyle m=1}$هو جذر للمعادلة المميزة ، من التعددية 1:

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

عندئذٍ، تحتوي العملية العشوائية على جذر وحدة ، أو بدلاً من ذلك، تكون متكاملة من الرتبة الأولى، ويرمز لها بـ${\displaystyle I(1)}$إذا كان m = 1 جذرًا من التعددية r ، فإن العملية العشوائية متكاملة من الرتبة r ، ويرمز لها بـ I ( r ).

نموذج الانحدار الذاتي من الدرجة الأولى،${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$، له جذر وحدة عندما${\displaystyle a_{1}=1}$في هذا المثال، المعادلة المميزة هي${\displaystyle m-a_{1}=0}$جذر المعادلة هو${\displaystyle m=1}$.

إذا كانت العملية تحتوي على جذر وحدة، فإنها تُعتبر سلسلة زمنية غير مستقرة. أي أن لحظات العملية العشوائية تعتمد على${\displaystyle t}$لتوضيح تأثير جذر الوحدة، يمكننا النظر في حالة الرتبة الأولى، بدءًا من y ₀  =  0:

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

بالاستبدال المتكرر، يمكننا كتابة${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$ثم يكون تباين${\displaystyle y_{t}}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

يعتمد التباين على t لأن${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$، بينما${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$تباين السلسلة يتباعد إلى ما لا نهاية مع t . 

توجد اختبارات متنوعة للتحقق من وجود جذر الوحدة، بعضها مذكور في:

1. اختبار ديكي -فولر (DF) أو اختبار ديكي-فولر المعزز (ADF)
2. اختبار دلالة أكثر من معامل واحد ( اختبار f )
3. اختبار فيليبس -بيرون (PP)
4. اختبار ديكي بانتولا

بالإضافة إلى نماذج الانحدار الذاتي (AR) ونماذج الانحدار الذاتي-المتوسط ​​المتحرك (ARMA)، تظهر نماذج أخرى مهمة في تحليل الانحدار، حيث قد تتخذ أخطاء النموذج نفسها بنية سلسلة زمنية ، وبالتالي قد يلزم نمذجتها بواسطة عملية AR أو ARMA التي قد تحتوي على جذر وحدة، كما ذُكر سابقًا. وقد تم تحليل خصائص العينات المحدودة لنماذج الانحدار ذات أخطاء ARMA من الدرجة الأولى، بما في ذلك جذور الوحدة. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

غالبًا ما تُستخدم طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) لتقدير معاملات ميل نموذج الانحدار الذاتي . ويعتمد استخدام هذه الطريقة على استقرار العملية العشوائية. وعندما تكون العملية العشوائية غير مستقرة، قد ينتج عن استخدام OLS تقديرات غير صحيحة. وقد أطلق غرانجر ونيوبولد على هذه التقديرات اسم "نتائج الانحدار الزائف" ^{[ 8 ] ، حيث} تُنتج قيم R² عالية ونسب t عالية نتائج لا تحمل أي معنى حقيقي (في سياقها الاقتصادي).

لتقدير معاملات الميل، ينبغي أولاً إجراء اختبار جذر الوحدة ، حيث تنص الفرضية الصفرية على وجود جذر وحدة. إذا رُفضت هذه الفرضية، يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS). أما إذا لم يُرفض وجود جذر وحدة، فينبغي تطبيق عامل الفرق على السلسلة. إذا أظهر اختبار جذر الوحدة أن السلسلة الزمنية بعد الفرق مستقرة، فيمكن حينها تطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) على هذه السلسلة لتقدير معاملات الميل.

على سبيل المثال، في حالة نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة الأولى (AR(1))،${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$ثابت.

في حالة نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة الثانية (AR(2))،${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$حيث L هو عامل تأخير يقلل مؤشر الوقت لمتغير ما بمقدار فترة واحدة:${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$. لو${\displaystyle \lambda _{2}=1}$، يحتوي النموذج على جذر وحدة ويمكننا تعريفه${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$؛ ثم

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

يكون ثابتًا إذا${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) لتقدير معامل الميل.${\displaystyle \lambda _{1}}$.

إذا كانت العملية تحتوي على جذور وحدة متعددة، فيمكن تطبيق عامل الفرق عدة مرات.

• تُحدث الصدمات التي تتعرض لها عملية جذر الوحدة آثاراً دائمة لا تتلاشى كما لو كانت العملية مستقرة.
• كما ذُكر أعلاه، فإن عملية جذر الوحدة لها تباين يعتمد على الزمن t، ويتباعد إلى ما لا نهاية.
• إذا عُلم أن متسلسلة ما تحتوي على جذر وحدة، فيمكن تفريقها لجعلها مستقرة. على سبيل المثال، إذا كانت متسلسلة${\displaystyle Y_{t}}$هي I(1)، المتسلسلة${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$ هي I(0) (ثابتة). ولذلك تسمى سلسلة فرق ثابتة .

يناقش الاقتصاديون ما إذا كانت الإحصاءات الاقتصادية المختلفة، وخاصة الناتج ، تحتوي على جذر وحدة أم أنها مستقرة اتجاهيًا . ^{[ 9 ]} تُعطى عملية جذر الوحدة مع الانحراف في الحالة من الدرجة الأولى بواسطة

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

حيث c هو حد ثابت يُشار إليه باسم حد "الانحراف"، و${\displaystyle e_{t}}$هو ضوضاء بيضاء. أي قيمة غير صفرية لحد الضوضاء، تحدث لفترة واحدة فقط، ستؤثر بشكل دائم على قيمة${\displaystyle y_{t}}$كما هو موضح في الرسم البياني، فإن الانحرافات عن الخط${\displaystyle y_{t}=a+ct}$هي عمليات غير مستقرة؛ فلا يوجد ارتداد إلى أي خط اتجاه. في المقابل، تُعطى العملية المستقرة باتجاه معين بواسطة

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

حيث k هو ميل الاتجاه و${\displaystyle u_{t}}$هو ضوضاء (ضوضاء بيضاء في أبسط الحالات؛ وبشكل أعم، ضوضاء تتبع عملية انحدار ذاتي ثابتة خاصة بها). هنا، لن تُغير أي ضوضاء عابرة الاتجاه طويل الأجل لـ${\displaystyle y_{t}}$أن يكون على خط الاتجاه، كما هو موضح في الرسم البياني. يُقال إن هذه العملية مستقرة اتجاهياً لأن الانحرافات عن خط الاتجاه ثابتة.

تحظى هذه المسألة باهتمام خاص في الدراسات المتعلقة بالدورات الاقتصادية. ^{[ 10 ] [ 11 ]} بدأ البحث في هذا الموضوع مع نيلسون وبلوسر، اللذين لم ينجحا في رفض فرضية جذر الوحدة لهذه السلاسل في ورقتهما البحثية حول الناتج القومي الإجمالي ومجاميع الإنتاج الأخرى. ^{[ 12 ]} ومنذ ذلك الحين، نشأ جدلٌ متشابك مع خلافات فنية حول الأساليب الإحصائية. يرى بعض الاقتصاديين ^{[ 13 ]} أن الناتج المحلي الإجمالي يعاني من جذر وحدة أو انقطاع هيكلي ، مما يعني أن الانكماشات الاقتصادية تؤدي إلى انخفاض دائم في مستويات الناتج المحلي الإجمالي على المدى الطويل. بينما يرى اقتصاديون آخرون أن الناتج المحلي الإجمالي مستقرٌّ بالنسبة للاتجاه: أي أنه عندما ينخفض ​​الناتج المحلي الإجمالي عن الاتجاه خلال فترة انكماش، فإنه يعود لاحقًا إلى المستوى الذي يشير إليه الاتجاه، وبالتالي لا يوجد انخفاض دائم في الإنتاج. ورغم أن الدراسات المتعلقة بفرضية جذر الوحدة قد تتضمن نقاشات معقدة حول الأساليب الإحصائية، إلا أن هذه الفرضية تحمل آثارًا عملية هامة على التنبؤات والسياسات الاقتصادية.

• اختبار ديكي-فولر
• اختبار ديكي-فولر الموسع
• اختبار ADF-GLS
• اختبار جذر الوحدة
• اختبار فيليبس-بيرون
• التكامل المشترك ، تحديد العلاقة بين متغيرين لهما جذور وحدة
• اختبار جذر الوحدة المتماثل الموزون (WS)
• اختبار كوياتكوفسكي، فيليبس، شميدت، شين، المعروف باسم اختبارات KPSS