نموذج الانحدار الذاتي

الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعدّ نموذج الانحدار الذاتي ( AR ) تمثيلاً نموذجياً لنوع من العمليات العشوائية . ويمكن استخدامه لوصف العمليات المتغيرة مع الزمن من مصادر طبيعية وصناعية متعددة. يحدد النموذج متغيرات ناتجة تعتمد خطياً على قيمها السابقة على أساس عشوائي . يأتي النموذج على شكل معادلة فرق عشوائية (أو علاقة تكرارية )، والتي يجب عدم الخلط بينها وبين المعادلة التفاضلية . إلى جانب نموذج المتوسط ​​المتحرك (MA) ، يُعدّ نموذج الانحدار الذاتي حالة خاصة ومكوناً أساسياً لنموذجي الانحدار الذاتي-المتوسط ​​المتحرك (ARMA) والانحدار الذاتي-المتوسط ​​المتحرك المتكامل (ARIMA) الأكثر عمومية للسلاسل الزمنية، والتي تتميز ببنية عشوائية أكثر تعقيداً. كما يُعدّ حالة خاصة من نموذج الانحدار الذاتي المتجهي (VAR)، الذي يتكون من نظام من أكثر من معادلة فرق عشوائية مترابطة في أكثر من متغير عشوائي متطور.

يُعدّ نموذج الانحدار الذاتي المتغير مع الزمن (TVAR) امتدادًا مهمًا آخر، حيث يُسمح لمعاملات الانحدار الذاتي بالتغير بمرور الوقت لنمذجة العمليات المتطورة أو غير المستقرة. تُستخدم نماذج TVAR على نطاق واسع في الحالات التي لا تكون فيها الديناميكيات الأساسية للنظام ثابتة، كما هو الحال في نمذجة السلاسل الزمنية لأجهزة الاستشعار، [ 1 ] [ 2 ] وعلوم المناخ ، [ 3 ] والاقتصاد والتمويل (كعلم الاقتصاد القياسي )، [ 4 ] [ 5 ] ومعالجة الإشارات ، [ 6 ] والاتصالات ، [ 7 ] وأنظمة الرادار ، [ 8 ] والإشارات البيولوجية . [ 9 ]

بخلاف نموذج المتوسط ​​المتحرك (MA)، فإن نموذج الانحدار الذاتي ليس دائمًا ثابتًا؛ يمكن أن تنشأ عدم الثبات إما بسبب وجود جذر وحدة أو بسبب معلمات النموذج المتغيرة مع الزمن، كما هو الحال في نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة مع الزمن.

تُسمى نماذج اللغة الكبيرة بالنماذج الانحدارية الذاتية، لكنها ليست نموذجًا انحداريًا ذاتيًا كلاسيكيًا بهذا المعنى لأنها ليست خطية.

تعريف

الترميزأR(ص){\displaystyle AR(p)}يشير إلى نموذج انحدار ذاتي من الرتبة p . يُعرَّف نموذج AR( p ) على النحو التالي:

Xت=∑أنا=1صφأناXت-أنا+εت{\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{ti}+\varepsilon _{t}}

أينφ1،...،φص{\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{p}}هي معلمات النموذج، وεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}هو ضوضاء بيضاء . [ 10 ] [ 11 ] يمكن كتابة هذا بشكل مكافئ باستخدام عامل الإزاحة العكسية B كما يلي

Xت=∑أنا=1صφأنابأناXت+εت{\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}B^{i}X_{t}+\varepsilon _{t}}

وبالتالي، بنقل حد الجمع إلى الجانب الأيسر واستخدام الترميز متعدد الحدود ، نحصل على

φ(ب)Xت=εت{\displaystyle \varphi (B)X_{t}=\varepsilon _{t}}

وبالتالي يمكن اعتبار نموذج الانحدار الذاتي بمثابة مخرج لمرشح استجابة نبضية لا نهائية الأقطاب يكون مدخله عبارة عن ضوضاء بيضاء.

تُعدّ بعض قيود المعلمات ضرورية لكي يظل النموذج مستقرًا بالمعنى الضعيف . على سبيل المثال، العمليات في نموذج AR(1) مع|φ1|≥1{\displaystyle |\varphi _{1}|\geq 1}ليست مستقرة. وبشكل أعم، لكي يكون نموذج AR( p ) مستقرًا بالمعنى الضعيف، فإن جذور متعددة الحدودΦ(z):=1-∑أنا=1صφأناzأنا{\displaystyle \Phi (z):=\textstyle 1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}z^{i}}يجب أن تقع خارج دائرة الوحدة ، أي كل جذر (مركب)zأنا{\displaystyle z_{i}}يجب أن يفي|zأنا|>1{\displaystyle |z_{i}|>1}(انظر الصفحات 89 و92 [ 12 ] ).

التأثير الزمني للصدمات

في عملية الانحدار الذاتي، تؤثر صدمة لمرة واحدة على قيم المتغير المتطور إلى ما لا نهاية في المستقبل. على سبيل المثال، لنأخذ نموذج الانحدار الذاتي من الرتبة الأولى (AR(1)).Xت=φ1Xت-1+εت{\displaystyle X_{t}=\varphi _{1}X_{t-1}+\varepsilon _{t}}قيمة غير صفرية لـεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}يؤثر ذلك على سبيل المثال عند الزمن t = 1X1{\displaystyle X_{1}}بالمبلغ ε1{\displaystyle \varepsilon _{1}}ثم باستخدام معادلة الانحدار الذاتي لـX2{\displaystyle X_{2}}من ناحيةX1{\displaystyle X_{1}}وهذا يؤثرX2{\displaystyle X_{2}}بالمبلغφ1ε1{\displaystyle \varphi _{1}\varepsilon _{1}}ثم باستخدام معادلة الانحدار الذاتي لـX3{\displaystyle X_{3}}من ناحيةX2{\displaystyle X_{2}}وهذا يؤثرX3{\displaystyle X_{3}}بالمبلغφ12ε1{\displaystyle \varphi _{1}^{2}\varepsilon _{1}}يُظهر استمرار هذه العملية أن تأثيرε1{\displaystyle \varepsilon _{1}}لا تنتهي أبداً، على الرغم من أنه إذا كانت العملية ثابتة فإن التأثير يتضاءل نحو الصفر في النهاية.

لأن كل صدمة تؤثر على قيم X في المستقبل البعيد جدًا عن وقت حدوثها، فإن أي قيمة معينة لـ X t تتأثر بالصدمات التي تحدث في الماضي البعيد جدًا. ويمكن ملاحظة ذلك أيضًا من خلال إعادة كتابة معادلة الانحدار الذاتي.

φ(ب)Xت=εت{\displaystyle \varphi (B)X_{t}=\varepsilon _{t}\,}

(حيث تم حذف الحد الثابت بافتراض أن المتغير قد تم قياسه كانحرافات عن متوسطه) كما

Xت=1φ(ب)εت.{\displaystyle X_{t}={\frac {1}{\varphi (B)}}\varepsilon _{t}\,.}

عند إجراء قسمة متعددة الحدود على الجانب الأيمن، يتم تطبيق متعددة الحدود في عامل الإزاحة العكسية علىεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}له رتبة لانهائية - أي عدد لا نهائي من القيم المتأخرة لـεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}تظهر على الجانب الأيمن من المعادلة.

متعددة الحدود المميزة

يمكن التعبير عن دالة الارتباط الذاتي لعملية AR(p) على النحو التالي :

ρ(τ)=∑ك=1صأكyك-|τ|،{\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}a_{k}y_{k}^{-|\tau |},}

أينyك{\displaystyle y_{k}}هي جذور متعددة الحدود

φ(ب)=1-∑ك=1صφكبك{\displaystyle \varphi (B)=1-\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}B^{k}}

حيث B هو عامل الإزاحة العكسية ، حيثφ(⋅){\displaystyle \varphi (\cdot )}هي الدالة التي تحدد الانحدار الذاتي، وحيثφك{\displaystyle \varphi _{k}}تمثل هذه المعاملات في نموذج الانحدار الذاتي. وتكون الصيغة صحيحة فقط إذا كانت جميع الجذور من الرتبة 1.

دالة الارتباط الذاتي لعملية AR( p ) هي مجموع الدوال الأسية المتناقصة.

  • يساهم كل جذر حقيقي بمكون في دالة الارتباط الذاتي التي تتلاشى بشكل أسي.
  • Similarly, each pair of complex conjugate roots contributes an exponentially damped oscillation.

Graphs of AR(p) processes

"يحتوي الشكل على 5 رسومات بيانية لعمليات الانحدار الذاتي. يمثل كل من AR(0) و AR(0.3) ضوضاء بيضاء أو يبدوان كضوضاء بيضاء. أما AR(0.9) فيحتوي على بنية تذبذبية واسعة النطاق."
AR(0); AR(1) with AR parameter 0.3; AR(1) with AR parameter 0.9; AR(2) with AR parameters 0.3 and 0.3; and AR(2) with AR parameters 0.9 and −0.8

The simplest AR process is AR(0), which has no dependence between the terms. Only the error/innovation/noise term contributes to the output of the process, so in the figure, AR(0) corresponds to white noise.

For an AR(1) process with a positive φ{\displaystyle \varphi }, only the previous term in the process and the noise term contribute to the output. If φ{\displaystyle \varphi } is close to 0, then the process still looks like white noise, but as φ{\displaystyle \varphi } approaches 1, the output gets a larger contribution from the previous term relative to the noise. This results in a "smoothing" or integration of the output, similar to a low pass filter.

For an AR(2) process, the previous two terms and the noise term contribute to the output. If both φ1{\displaystyle \varphi _{1}} and φ2{\displaystyle \varphi _{2}} are positive, the output will resemble a low pass filter, with the high frequency part of the noise decreased. If φ1{\displaystyle \varphi _{1}} is positive while φ2{\displaystyle \varphi _{2}} is negative, then the process favors changes in sign between terms of the process. The output oscillates. This can be linked to edge detection or detection of change in direction.

Example: An AR(1) process

An AR(1) process is given by:Xt=φXt−1+εt{\displaystyle X_{t}=\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,}where εt{\displaystyle \varepsilon _{t}} is a white noise process with zero mean and constant variance σε2{\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}}. (Note: The subscript on φ1{\displaystyle \varphi _{1}} has been dropped.) The process is weak-sense stationary if |φ|<1{\displaystyle |\varphi |<1} since it is obtained as the output of a stable filter whose input is white noise. (If φ=1{\displaystyle \varphi =1} then the variance of Xt{\displaystyle X_{t}} depends on time lag t, so that the variance of the series diverges to infinity as t goes to infinity, and is therefore not weak-sense stationary.) Assuming |φ|<1{\displaystyle |\varphi |<1}, the mean E⁡(Xt){\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})} is identical for all values of t by definition of weak sense stationarity. If the mean is denoted by μ{\displaystyle \mu }, it follows fromE⁡(Xt)=φE⁡(Xt−1)+E⁡(εt),{\displaystyle \operatorname {E} (X_{t})=\varphi \operatorname {E} (X_{t-1})+\operatorname {E} (\varepsilon _{t})،}thatμ=φμ+0,{\displaystyle \mu =\varphi \mu +0,}and hence

μ=0.{\displaystyle \mu =0.}

The variance is

var(Xt)=E⁡(Xt2)−μ2=σε21−φ2,{\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=\operatorname {E} (X_{t}^{2})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}},}

where σε{\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} is the standard deviation of εt{\displaystyle \varepsilon _{t}}. This can be shown by noting that

var(Xt)=φ2var(Xt−1)+σε2,{\displaystyle {\textrm {var}}(X_{t})=\varphi ^{2}{\textrm {var}}(X_{t-1})+\sigma _{\varepsilon }^{2},}

and then by noticing that the quantity above is a stable fixed point of this relation.

The autocovariance is given by

Bn=E⁡(Xt+nXt)−μ2=σε21−φ2φ|n|.{\displaystyle B_{n}=\operatorname {E} (X_{t+n}X_{t})-\mu ^{2}={\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|n|}.}

It can be seen that the autocovariance function decays with a decay time (also called time constant) of τ=1/(1−φ){\displaystyle \tau =1/(1-\varphi )}.[13]

The spectral density function is the Fourier transform of the autocovariance function. In discrete terms this will be the discrete-time Fourier transform:

Φ(ω)=12π∑n=−∞∞Bne−iωn=12π(σε21+φ2−2φcos⁡(ω)).{\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\sum _{n=-\infty }^{\infty }B_{n}e^{-i\omega n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\left({\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1+\varphi ^{2}-2\varphi \cos(\omega )}}\right).}

This expression is periodic due to the discrete nature of the Xj{\displaystyle X_{j}}, which is manifested as the cosine term in the denominator. If we assume that the sampling time (Δt=1{\displaystyle \Delta t=1}) أصغر بكثير من زمن الاضمحلال (τ{\displaystyle \tau }ثم يمكننا استخدام تقريب متصل لـبن{\displaystyle B_{n}}:

ب(ت)≈σε21-φ2φ|ت|{\displaystyle B(t)\approx {\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,\,\varphi ^{|t|}}

مما ينتج عنه شكل لورنتز للكثافة الطيفية:

Φ(ω)=12πσε21-φ2γπ(γ2+ω2){\displaystyle \Phi (\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sigma _{\varepsilon }^{2}}{1-\varphi ^{2}}}\,{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+\omega ^{2})}}}

أينγ=1/τ{\displaystyle \gamma =1/\tau }التردد الزاوي المرتبط بزمن الاضمحلالτ{\displaystyle \tau }.

تعبير بديل لـXت{\displaystyle X_{t}}يمكن اشتقاقها عن طريق الاستبدال أولاًφXت-2+εت-1{\displaystyle \varphi X_{t-2}+\varepsilon _{t-1}}لXت-1{\displaystyle X_{t-1}}في المعادلة المحددة. يؤدي استمرار هذه العملية N مرة إلى

Xت=φشمالXت-شمال+∑ك=0شمال-1φكεت-ك.{\displaystyle X_{t}=\varphi ^{N}X_{t-N}+\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.}

عندما يقترب N من اللانهاية،φشمال{\displaystyle \varphi ^{N}}سيقترب من الصفر و:

Xت=∑ك=0∞φكεت-ك.{\displaystyle X_{t}=\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.}

يُلاحظ أنXت{\displaystyle X_{t}}الضوضاء البيضاء هي ضوضاء ملتفة معφك{\displaystyle \varphi ^{k}}النواة بالإضافة إلى المتوسط ​​الثابت. إذا كانت الضوضاء البيضاءεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}إذا كانت عملية غاوسيةXت{\displaystyle X_{t}}وهي أيضًا عملية غاوسية. في حالات أخرى، تشير نظرية النهاية المركزية إلى أنXت{\displaystyle X_{t}}سيكون التوزيع طبيعيًا تقريبًا عندماφ{\displaystyle \varphi }يقترب من الواحد.

لεت=0{\displaystyle \varepsilon _{t}=0}العمليةXت=φXت-1{\displaystyle X_{t}=\varphi X_{t-1}}سيكون متوالية هندسية ( نمو أو اضمحلال أسي ). في هذه الحالة، يمكن إيجاد الحل تحليليًا:Xت=أφت{\displaystyle X_{t}=a\varphi ^{t}}وبذلكأ{\displaystyle a}ثابت غير معروف ( شرط ابتدائي ).

الصيغة الصريحة للمتوسط/الفرق لعملية AR(1)

يُعد نموذج AR(1) نظيرًا زمنيًا منفصلًا لعملية أورنستين-أولينبيك المستمرة . ولذلك، من المفيد أحيانًا فهم خصائص نموذج AR(1) بصيغة مكافئة. في هذه الصيغة، يكون نموذج AR(1) بمعامل العمليةθ∈R{\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }، يتم تحديده بواسطة

Xت+1=Xت+(1-θ)(μ-Xت)+εت+1{\displaystyle X_{t+1}=X_{t}+(1-\theta )(\mu -X_{t})+\varepsilon _{t+1}}، أين|θ|<1{\displaystyle |\theta |<1\,}،μ:=هـ(X){\displaystyle \mu يمثل متوسط ​​النموذج، و{εت}{\displaystyle \{\varepsilon _{t}\}}هي عملية ضوضاء بيضاء ذات متوسط ​​صفري وتباين ثابتσ{\displaystyle \sigma }.

عن طريق إعادة كتابة هذا على النحو التاليXت+1=θXت+(1-θ)μ+εت+1{\displaystyle X_{t+1}=\theta X_{t}+(1-\theta )\mu +\varepsilon _{t+1}}ثم اشتقاق (بالاستقراء)Xت+ن=θنXت+(1-θن)μ+∑أنا=1ن(θن-أناεت+أنا){\displaystyle X_{t+n}=\theta ^{n}X_{t}+(1-\theta ^{n})\mu +\sum _{i=1}^{n}\left(\theta ^{n-i}\varepsilon _{t+i}\right)}يمكن للمرء أن يثبت ذلك

هـ⁡(Xت+ن|Xت)=μ[1-θن]+Xتθن{\displaystyle \operatorname {E} (X_{t+n}\mid X_{t})=\mu \left[1-\theta ^{n}\right]+X_{t}\theta ^{n}}و
متغير⁡(Xت+ن|Xت)=σ21-θ2ن1-θ2.{\displaystyle \operatorname {Var} (X_{t+n}\mid X_{t})=\sigma ^{2}{\frac {1-\theta ^{2n}}{1-\theta ^{2}}}.}

اختيار أقصى تأخير

إن الارتباط الذاتي الجزئي لعملية AR(p) يساوي صفرًا عند فترات التأخير الأكبر من p ، لذا فإن أقصى فترة تأخير مناسبة p هي تلك التي بعدها تصبح جميع الارتباطات الذاتية الجزئية صفرًا.

حساب معلمات الانحدار الذاتي

هناك العديد من الطرق لتقدير المعاملات، مثل إجراء المربعات الصغرى العادية أو طريقة العزوم (من خلال معادلات يول-ووكر).

يُعطى نموذج AR( p ) بالمعادلة

Xت=∑أنا=1صφأناXت-أنا+εت.{\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}

يعتمد ذلك على المعاييرφأنا{\displaystyle \varphi _{i}}حيث i = 1، ...، p . توجد علاقة مباشرة بين هذه المعاملات ودالة التغاير للعملية، ويمكن عكس هذه العلاقة لتحديد المعاملات من دالة الارتباط الذاتي (التي تُستخلص بدورها من التغايرات). ويتم ذلك باستخدام معادلات يول-ووكر.

معادلات يول-ووكر

معادلات يول-ووكر، التي سميت نسبة إلى أودني يول وجيلبرت ووكر ، [ 14 ] [ 15 ] هي مجموعة المعادلات التالية. [ 16 ]

γم=∑ك=1صφكγم-ك+σε2دلتام،0،{\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m,0},}

حيث m = 0، ...، p ، مما ينتج عنه p + 1 معادلة. هناγم{\displaystyle \gamma _{m}}هي دالة التغاير الذاتي لـ X t ،σε{\displaystyle \sigma _{\varepsilon }}يمثل الانحراف المعياري لعملية الضوضاء المدخلة، ودلتام،0{\displaystyle \delta _{m,0}}هي دالة دلتا كرونكر .

بما أن الجزء الأخير من المعادلة الفردية لا يساوي الصفر إلا إذا كان m = 0 ، فإنه يمكن حل مجموعة المعادلات عن طريق تمثيل المعادلات لـ m > 0 في شكل مصفوفة، وبالتالي الحصول على المعادلة

[γ1γ2γ3⋮γص]=[γ0γ-1γ-2⋯γ1γ0γ-1⋯γ2γ1γ0⋯⋮⋮⋮⋱γص-1γص-2γص-3⋯][φ1φ2φ3⋮φص]{\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma _{1}\\\gamma _{2}\\\gamma _{3}\\\vdots \\\gamma _{p}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\gamma _{-2}&\cdots \\\gamma _{1}&\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\cdots \\\gamma _{2}&\gamma _{1}&\gamma _{0}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\gamma _{p-1}&\gamma _{p-2}&\gamma _{p-3}&\cdots \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\vdots \\\varphi _{p}\\\end{bmatrix}}}

وهو ما يمكن أن يحل جميع المشاكل{φم؛م=1،2،...،ص}.{\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\dots ,p\}.}المعادلة المتبقية عندما m = 0 هي

γ0=∑ك=1صφكγ-ك+σε2،{\displaystyle \gamma _{0}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2},}

والذي، بمجرد {φم؛م=1،2،...،ص}{\displaystyle \{\varphi _{m};m=1,2,\dots ,p\}}معروفة، ويمكن حلها لـσε2.{\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}.}

يُمكن صياغة النموذج بشكل بديل باستخدام دالة الارتباط الذاتي . وتُحدد معلمات نموذج الانحدار الذاتي بواسطة العناصر p + 1 الأولى.ρ(τ){\displaystyle \rho (\tau )}من دالة الارتباط الذاتي. ويمكن بعد ذلك اشتقاق دالة الارتباط الذاتي الكاملة عن طريق الحساب المتكرر [ 17 ]

ρ(τ)=∑ك=1صφكρ(ك-τ){\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\rho (k-\tau )}

أمثلة لبعض عمليات AR( p ) منخفضة الرتبة

  • p = 1
    • γ1=φ1γ0{\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}}
    • لذلكρ1=γ1/γ0=φ1{\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}=\varphi _{1}}
  • p = 2
    • معادلات يول-ووكر لعملية AR(2) هي
      γ1=φ1γ0+φ2γ-1{\displaystyle \gamma _{1}=\varphi _{1}\gamma _{0}+\varphi _{2}\gamma _{-1}}
      γ2=φ1γ1+φ2γ0{\displaystyle \gamma _{2}=\varphi _{1}\gamma _{1}+\varphi _{2}\gamma _{0}}
      • تذكر ذلكγ-ك=γك{\displaystyle \gamma _{-k}=\gamma _{k}}
      • باستخدام المعادلة الأولى ينتجρ1=γ1/γ0=φ11-φ2{\displaystyle \rho _{1}=\gamma _{1}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}}{1-\varphi _{2}}}}
      • باستخدام صيغة التكرار ينتجρ2=γ2/γ0=φ12-φ22+φ21-φ2{\displaystyle \rho _{2}=\gamma _{2}/\gamma _{0}={\frac {\varphi _{1}^{2}-\varphi _{2}^{2}+\varphi _{2}}{1-\varphi _{2}}}}

تقدير معلمات نموذج الانحدار الذاتي

تُقدّم المعادلات المذكورة أعلاه (معادلات يول-ووكر) عدة طرق لتقدير معلمات نموذج AR( p )، وذلك باستبدال التغايرات النظرية بقيم مُقدّرة. [ 18 ] ويمكن وصف بعض هذه الطرق كما يلي:

  • تقدير التغاير الذاتي أو الارتباط الذاتي. هنا، يُقدَّر كلٌّ من هذين الحدّين على حدة باستخدام التقديرات التقليدية. توجد طرق مختلفة للقيام بذلك، ويؤثر اختيار إحداها على خصائص مخطط التقدير. على سبيل المثال، قد تُنتج بعض الخيارات تقديرات سالبة للتباين.
  • تُصاغ المسألة كمسألة انحدار المربعات الصغرى ، حيث تُبنى مسألة تنبؤ المربعات الصغرى العادية، استنادًا إلى التنبؤ بقيم X<sub> t</sub> بناءً على القيم السابقة p لنفس السلسلة. ويمكن اعتبار ذلك مخططًا للتنبؤ الأمامي. ويمكن ملاحظة أن المعادلات العادية لهذه المسألة تُطابق تقريبًا للصيغة المصفوفية لمعادلات يول-ووكر، حيث يُستبدل كل ظهور للتغاير الذاتي لنفس التأخير بتقدير مختلف قليلًا.
  • تُصاغ هذه المسألة كصيغة موسعة لمسألة التنبؤ باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية. هنا، يتم دمج مجموعتين من معادلات التنبؤ في مخطط تقدير واحد ومجموعة واحدة من المعادلات العادية. إحدى المجموعتين هي مجموعة معادلات التنبؤ الأمامي، والأخرى هي مجموعة معادلات التنبؤ العكسي المقابلة، والتي تتعلق بالتمثيل العكسي لنموذج الانحدار الذاتي.
Xت=∑أنا=1صφأناXت+أنا+εت*.{\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t+i}+\varepsilon _{t}^{*}\,.}
هنا، تُبنى القيم المتوقعة لـ Xt على القيم المستقبلية p لنفس السلسلة. تُعزى هذه الطريقة لتقدير معلمات نموذج الانحدار الذاتي (AR) إلى جون باركر بيرغ [ 19 ] ، وتُعرف باسم طريقة بيرغ [ 20 ] . أطلق بيرغ ومؤلفون لاحقون على هذه التقديرات تحديدًا اسم "تقديرات الإنتروبيا القصوى" [ 21 ] ، إلا أن المنطق الكامن وراء ذلك ينطبق على استخدام أي مجموعة من معلمات نموذج الانحدار الذاتي المُقدَّرة. بالمقارنة مع مخطط التقدير الذي يستخدم معادلات التنبؤ الأمامي فقط، تُنتج تقديرات مختلفة للتغايرات الذاتية، وتتمتع هذه التقديرات بخصائص استقرار مختلفة. ترتبط تقديرات بيرغ بشكل خاص بتقدير الطيف ذي الإنتروبيا القصوى [ 22 ] .

تشمل الطرق الأخرى الممكنة للتقدير طريقة تقدير الاحتمال الأقصى . يتوفر نوعان متميزان من تقدير الاحتمال الأقصى: في أحدهما (المكافئ تقريبًا لطريقة المربعات الصغرى للتنبؤ الأمامي)، تكون دالة الاحتمال المستخدمة هي تلك التي تُقابل التوزيع الشرطي للقيم اللاحقة في السلسلة بالنظر إلى قيم p الأولية في السلسلة؛ أما في الثاني، فتكون دالة الاحتمال المستخدمة هي تلك التي تُقابل التوزيع المشترك غير الشرطي لجميع القيم في السلسلة المرصودة. قد تظهر اختلافات جوهرية في نتائج هاتين الطريقتين إذا كانت السلسلة المرصودة قصيرة، أو إذا كانت العملية قريبة من حالة عدم الاستقرار.

نطاق

كثافة القدرة الطيفية (PSD) لعملية AR( p ) ذات تباين الضوضاءVأر(Zت)=σZ2{\displaystyle \mathrm {Var} (Z_{t})=\sigma _{Z}^{2}}هو [ 17 ]

S(و)=σZ2|1-∑ك=1صφكهـ-أنا2πوك|2.{\displaystyle S(f)={\frac {\sigma _{Z}^{2}}{|1-\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}e^{-i2\pi fk}|^{2}}}.}

AR(0)

بالنسبة للضوضاء البيضاء (AR(0))

S(و)=σZ2.{\displaystyle S(f)=\sigma _{Z}^{2}.}

AR(1)

بالنسبة لـ AR(1)

S(و)=σZ2|1-φ1هـ-2πأناو|2=σZ21+φ12-2φ1كوس⁡2πو{\displaystyle S(f)={\frac {\sigma _{Z}^{2}}{|1-\varphi _{1}e^{-2\pi if}|^{2}}}={\frac {\sigma _{Z}^{2}}{1+\varphi _{1}^{2}-2\varphi _{1}\cos 2\pi f}}}
  • لوφ1>0{\displaystyle \varphi _{1}>0} توجد قمة طيفية واحدة عندو=0{\displaystyle f=0}ويُشار إليها غالبًا باسم الضوضاء الحمراء .φ1{\displaystyle \varphi _{1}} كلما اقتربت القيمة من 1، زادت الطاقة عند الترددات المنخفضة، أي زادت فترات التأخير الزمني. عندئذٍ، يعمل هذا كمرشح تمرير منخفض، وعند تطبيقه على طيف الضوء الكامل، يتم ترشيح كل شيء باستثناء الضوء الأحمر.
  • لوφ1<0{\displaystyle \varphi _{1}<0}يوجد حد أدنى عندو=0{\displaystyle f=0}ويُشار إليها غالبًا باسم الضوضاء الزرقاء . وهي تعمل بالمثل كمرشح تمرير عالي، حيث يتم ترشيح كل شيء باستثناء الضوء الأزرق.

AR(2)

يتم تحديد سلوك عملية AR(2) بالكامل من خلال جذور معادلتها المميزة ، والتي يتم التعبير عنها بدلالة عامل التأخير على النحو التالي:

1-φ1ب-φ2ب2=0،{\displaystyle 1-\varphi _{1}B-\varphi _{2}B^{2}=0,}

أو بشكل مكافئ بواسطة أقطاب دالة التحويل الخاصة بها ، والتي تُعرَّف في مجال Z على النحو التالي:

حz=(1-φ1z-1-φ2z-2)-1.{\displaystyle H_{z}=(1-\varphi _{1}z^{-1}-\varphi _{2}z^{-2})^{-1}.}

ويترتب على ذلك أن الأقطاب هي قيم z التي تحقق ما يلي:

1-φ1z-1-φ2z-2=0،{\displaystyle 1-\varphi _{1}z^{-1}-\varphi _{2}z^{-2}=0,}

مما ينتج عنه:

z1،z2=12φ2(φ1±φ12+4φ2).{\displaystyle z_{1},z_{2}={\frac {1}{2\varphi _{2}}}\left(\varphi _{1}\pm {\sqrt {\varphi _{1}^{2}+4\varphi _{2}}}\,\right).}

z1{\displaystyle z_{1}}وz2{\displaystyle z_{2}}هي مقلوبات الجذور المميزة، بالإضافة إلى القيم الذاتية لمصفوفة التحديث الزمني:

[φ1φ210]{\displaystyle {\begin{bmatrix}\varphi _{1}&\varphi _{2}\\1&0\end{bmatrix}}}

يمكن تقسيم عمليات AR(2) إلى ثلاث مجموعات حسب خصائص جذورها/أقطابها:

  • متىφ12+4φ2<0{\displaystyle \varphi _{1}^{2}+4\varphi _{2}<0}، تحتوي العملية على زوج من الأقطاب المترافقة المعقدة، مما يخلق ذروة متوسطة التردد عند:
و*=12πكوس-1⁡(φ12-φ2)،{\displaystyle f^{*}={\frac {1}{2\pi }}\cos ^{-1}\left({\frac {\varphi _{1}}{2{\sqrt {-\varphi _{2}}}}}\right),}

مع عرض نطاق ترددي حول الذروة يتناسب عكسياً مع معاملات الأقطاب:

|z1|=|z2|=-φ2.{\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|={\sqrt {-\varphi _{2}}}.}

تكون الحدود التي تتضمن جذورًا تربيعية حقيقية في حالة الأقطاب المركبة، لأنها لا توجد إلا عندماφ2<0{\displaystyle \varphi _{2}<0}.

وإلا فإن العملية لها جذور حقيقية، و:

  • متىφ1>0{\displaystyle \varphi _{1}>0}يعمل كمرشح تمرير منخفض على الضوضاء البيضاء ذات ذروة طيفية عندو=0{\displaystyle f=0}
  • متىφ1<0{\displaystyle \varphi _{1}<0}يعمل كمرشح تمرير عالي على الضوضاء البيضاء ذات ذروة طيفية عندو=1/2{\displaystyle f=1/2}.

تكون العملية غير مستقرة عندما تقع الأقطاب على دائرة الوحدة أو خارجها، أو بشكل مكافئ عندما تقع الجذور المميزة على دائرة الوحدة أو داخلها. وتكون العملية مستقرة عندما تقع الأقطاب تمامًا داخل دائرة الوحدة (والجذور تمامًا خارج دائرة الوحدة)، أو بشكل مكافئ عندما تقع المعاملات في المثلث.-1≤φ2≤1-|φ1|{\displaystyle -1\leq \varphi _{2}\leq 1-|\varphi _{1}|}.

يمكن التعبير عن دالة كثافة القدرة الطيفية الكاملة في شكل حقيقي كما يلي:

S(و)=σZ21+φ12+φ22-2φ1(1-φ2)كوس⁡(2πو)-2φ2كوس⁡(4πو){\displaystyle S(f)={\frac {\sigma _{Z}^{2}}{1+\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2}-2\varphi _{1}(1-\varphi _{2})\cos(2\pi f)-2\varphi _{2}\cos(4\pi f)}}}

تطبيقات في حزم الإحصاء

  • R – تتضمن حزمة الإحصاءات دالة ar ؛ [ 23 ] وتتضمن حزمة astsa دالة sarima لتركيب نماذج مختلفة بما في ذلك AR. [ 24 ]
  • تتضمن MATLAB – مجموعة أدوات الاقتصاد القياسي [ 25 ] ومجموعة أدوات تحديد النظام [ 26 ] نماذج AR. [ 27 ]
  • يحتوي MATLAB و Octave – مجموعة أدوات TSA على العديد من وظائف التقدير لنماذج AR أحادية المتغير ومتعددة المتغيرات والتكيفية. [ 28 ]
  • PyMC 3 – إطار عمل الإحصاء البايزي والبرمجة الاحتمالية يدعم أنماط AR مع تأخيرات p .
  • bayesloop – يدعم استنتاج المعلمات واختيار النموذج لعملية AR-1 ذات المعلمات المتغيرة مع الزمن. [ 29 ]
  • يستضيف موقع Python – statsmodels.org نموذج AR. [ 30 ]

استجابة النبضة

تُعرَّف استجابة النظام للنبضة بأنها التغير في متغير متطور استجابةً لتغير في قيمة حد الصدمة قبل k فترة، كدالة لـ k . وبما أن نموذج الانحدار الذاتي (AR) هو حالة خاصة من نموذج الانحدار الذاتي المتجهي، فإن حساب استجابة النبضة في نموذج الانحدار الذاتي المتجهي ينطبق هنا.

التنبؤات المستقبلية لـ n خطوة

بمجرد تحديد معلمات الانحدار الذاتي

Xت=∑أنا=1صφأناXت-أنا+εت{\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}\,}

بعد تقدير القيم، يمكن استخدام الانحدار الذاتي للتنبؤ بعدد غير محدد من الفترات المستقبلية. أولًا، استخدم t للإشارة إلى الفترة الأولى التي لم تتوفر بياناتها بعد؛ ثم استبدل القيم السابقة المعروفة X t-i، حيث i = 1، ...، p، في معادلة الانحدار الذاتي مع تحديد حد الخطأ.εت{\displaystyle \varepsilon _{t}}يساوي صفرًا (لأننا نتوقع أن تكون قيمة X t مساوية لقيمتها المتوقعة، والقيمة المتوقعة لحد الخطأ غير المرصود تساوي صفرًا). ناتج معادلة الانحدار الذاتي هو التنبؤ للفترة الأولى غير المرصودة. بعد ذلك، نستخدم t للإشارة إلى الفترة التالية التي لم تتوفر بياناتها بعد؛ ومرة ​​أخرى، تُستخدم معادلة الانحدار الذاتي للتنبؤ، مع اختلاف واحد: قيمة X في الفترة السابقة للفترة التي يتم التنبؤ بها حاليًا غير معروفة، لذلك تُستخدم قيمتها المتوقعة - القيمة المتوقعة الناتجة عن خطوة التنبؤ السابقة - بدلاً من ذلك. ثم بالنسبة للفترات اللاحقة، يُستخدم الإجراء نفسه، مع استخدام قيمة تنبؤ إضافية واحدة في كل مرة على الجانب الأيمن من معادلة التنبؤ حتى، بعد p تنبؤ، تصبح جميع قيم الجانب الأيمن p قيمًا متوقعة من الخطوات السابقة.

توجد أربعة مصادر للشك فيما يتعلق بالتنبؤات التي يتم الحصول عليها بهذه الطريقة: (1) الشك في صحة نموذج الانحدار الذاتي؛ (2) الشك في دقة القيم المتوقعة المستخدمة كقيم متأخرة في الطرف الأيمن من معادلة الانحدار الذاتي؛ (3) الشك في القيم الحقيقية لمعاملات الانحدار الذاتي؛ و(4) الشك في قيمة حد الخطأ.εت{\displaystyle \varepsilon _{t}\,}بالنسبة للفترة المتوقعة. يمكن تحديد كل من العناصر الثلاثة الأخيرة كمياً ودمجها لإعطاء فاصل ثقة للتنبؤات لـ n خطوة للأمام؛ وسيتسع فاصل الثقة مع زيادة n بسبب استخدام عدد متزايد من القيم المقدرة لمتغيرات الجانب الأيمن.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ سوزا، دوغلاس بابتيستا دي؛ لياو، برونو بايس (26 أكتوبر 2023). "زيادة بيانات السلاسل الزمنية للمستشعرات باستخدام العمليات الانحدارية الذاتية المتغيرة مع الزمن" . المؤتمر السنوي لجمعية إدارة صحة السكان . 15 (1). doi : 10.36001/phmconf.2023.v15i1.3565 .
  2. ↑ سوزا، دوغلاس بابتيستا دي؛ لياو، برونو بايس (5 نوفمبر 2024). "توسيع نطاق بيانات السلاسل الزمنية متعددة المتغيرات للمستشعرات باستخدام نماذج الانحدار الذاتي وتطبيقها على التنبؤ بالأعطال". المؤتمر السنوي لجمعية إدارة أصول الأنظمة . 16 (1). arXiv : 2410.16419 . doi : 10.36001/phmconf.2024.v16i1.4145 .
  3. ↑ ديوداتو، نازارينو؛ دي سالفو، كريستينا؛ بيلوتشي، جياني (18 مارس 2025). "نموذج توليدي متغير زمنيًا مدفوع بالمناخ لتحسين التنبؤات العشرية لقوة العواصف في البحر الأبيض المتوسط" . مجلة اتصالات الأرض والبيئة . 6 (1): 212. رمز Bibcode : 2025ComEE...6..212D . doi : 10.1038/s43247-025-02196-2 .
  4. ↑ عنايتي، شريفة؛ إرياوان، نور (31 ديسمبر 2024). “نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة بمرور الوقت للتنبؤ الاقتصادي” . ماتيماتيكا : 131-142 . دوى : 10.11113/matematika.v40.n3.1654 .
  5. ↑ جيا، تشي شوان؛ لي، وانغ؛ جيانغ، يون لونغ؛ ليو، شينغ شن (9 يوليو 2025). "استخدام خوارزميات التصغير لتحسين نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة مع الزمن وتطبيقاتها في التمويل" . الرياضيات . 13 (14): 2230. doi : 10.3390/math13142230 .
  6. ↑ باتيستا دي سوزا، دوغلاس؛ كون، إدواردو فينيسيوس؛ سيارا، روي (يناير 2019). "نموذج انحدار ذاتي متغير زمنيًا لتوصيف العمليات غير المستقرة". رسائل معالجة الإشارات IEEE . 26 (1): 134-138 . Bibcode : 2019ISPL...26..134B . doi : 10.1109/LSP.2018.2880086 .
  7. ↑ وانغ، شيهان؛ تشين، تاو؛ وانغ، هونغجيان (17 مارس 2023). "خوارزمية تشكيل الحزمة القائمة على IDBD لتحسين أداء رادار المصفوفة الطورية في البيئات غير المستقرة" . مجلة Sensors . 23 (6): 3211. Bibcode : 2023Senso..23.3211W . doi : 10.3390/s23063211 . PMC 10052024. PMID 36991922 .  
  8. ↑ أبراموفيتش، يوري إي؛ سبنسر، نيكولاس ك؛ تورلي، مايكل دي إي (أبريل 2007). "نماذج الانحدار الذاتي المتغير زمنيًا (TVAR) لرصدات رادار متعددة". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 55 (4): 1298-1311 . Bibcode : 2007ITSP...55.1298A . doi : 10.1109/TSP.2006.888064 .
  9. ↑ غوتيريز، د.؛ سالازار-فاراس، ر. (أغسطس 2011). "تصنيف إشارات تخطيط كهربية الدماغ باستخدام نماذج الانحدار الذاتي المتغيرة زمنيًا والأنماط المكانية الشائعة". المؤتمر الدولي السنوي لعام 2011 لجمعية مهندسي الكهرباء والإلكترونيات في الهندسة الطبية والبيولوجية . الصفحات 6585-6588 . doi : 10.1109/IEMBS.2011.6091624 . ISBN  978-1-4577-1589-1PMID 22255848​​ 
  10. ↑ بوكس، جورج إي بي (1994). تحليل السلاسل الزمنية : التنبؤ والتحكم . جويليم إم. جينكينز، جريجوري سي. رينسل ( الطبعة الثالثة). إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 54. ISBN    0-13-060774-6. OCLC 28888762 . 
  11. ↑ شومواي، روبرت هـ. (2000). تحليل السلاسل الزمنية وتطبيقاتها . ديفيد س. ستوفر. نيويورك: سبرينغر. ص 90-91 . ISBN  0-387-98950-1. OCLC 42392178 . 
  12. ↑ شومواي، روبرت هـ.؛ ستوفر، ديفيد (2010). تحليل السلاسل الزمنية وتطبيقاتها : مع أمثلة بلغة R ( الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN   978-1441978646.
  13. ↑ لاي، ديهوي؛ ولو، بينغفنغ؛ "فهم نموذج الانحدار الذاتي للسلاسل الزمنية كنظام ديناميكي حتمي" مؤرشف في 24 مارس 2023 على موقع Wayback Machine ، في مجلة التحليلات التنبؤية والمستقبلية ، يونيو 2017، العدد 15، يونيو 2017، الصفحات 7-9
  14. ↑ يول، جي. أودني (1927) "حول طريقة للتحقيق في الدوريات في السلاسل المضطربة، مع إشارة خاصة إلى أرقام البقع الشمسية لوولفر" مؤرشف في 2011-05-14 في آلة Wayback ، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن ، السلسلة أ، المجلد 226، 267-298.]
  15. ↑ ووكر، جيلبرت (1931) "حول الدورية في سلسلة من المصطلحات ذات الصلة" مؤرشف في 2011-06-07 في آلة Wayback ، وقائع الجمعية الملكية في لندن ، السلسلة أ، المجلد 131، 518-532.
  16. ↑ ثيودوريديس، سيرجيوس (10 أبريل 2015). "الفصل 1. الاحتمالات والعمليات العشوائية". التعلم الآلي: منظور بايزي وأمثلية . دار النشر الأكاديمية، 2015. ص 9-51 . ISBN  978-0-12-801522-3.
  17. 1 2 فون ستورش، هانز؛ زويرز، فرانسيس دبليو. (2001). التحليل الإحصائي في أبحاث المناخ . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/CBO9780511612336 . ISBN 0-521-01230-9.
  18. ↑ إيشيل، جيدون. "معادلات يول ووكر لمعاملات الانحدار الذاتي" (ملف PDF) . stat.wharton.upenn.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 13 يوليو 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2019 .
  19. ↑ بورغ، جون باركر (1968)؛ "تقنية تحليل جديدة لبيانات السلاسل الزمنية"، في التحليل الطيفي الحديث (تحرير دي جي تشيلدرز)، معهد الدراسات المتقدمة التابع لحلف الناتو لمعالجة الإشارات مع التركيز على الصوتيات تحت الماء. مطبعة IEEE، نيويورك.
  20. ↑ بروكويل، بيتر جيه؛ دالهاوس، راينر؛ ترينداد، أ. ألكسندر (2005). "خوارزميات بورغ المعدلة للانحدار الذاتي للمجموعات الفرعية متعددة المتغيرات" (ملف PDF) . مجلة الإحصاء الصينية . 15 : 197-213 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 21-10-2012.
  21. ↑ Burg, John Parker (1967) "Maximum Entropy Spectral Analysis", Proceedings of the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophysics , Oklahoma City, Oklahoma.
  22. ↑ بوس، روبرت؛ دي وايل، ستاين؛ برويرسن، بيت إم تي (2002). "التقدير الطيفي التراجعي الذاتي بتطبيق خوارزمية بورغ على بيانات ذات عينات غير منتظمة" . معاملات IEEE في مجال الأجهزة والقياس . 51 (6): 1289. رمز Bibcode : 2002ITIM...51.1289B . doi : 10.1109/TIM.2002.808031 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أبريل 2023. تم الاسترجاع بتاريخ 11 ديسمبر 2019 .
  23. ↑ "تطبيق نماذج الانحدار الذاتي على السلاسل الزمنية" مؤرشف بتاريخ 28-01-2016 في Wayback Machine (باستخدام لغة R)
  24. ↑ ستوفر، ديفيد؛ بويزن، نيكي (9 يناير 2023). "astsa: التحليل الإحصائي التطبيقي للسلاسل الزمنية" . تم الاسترجاع في 20 أغسطس 2023 .
  25. ↑ "مجموعة أدوات الاقتصاد القياسي" . www.mathworks.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 أبريل 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2022 .
  26. ↑ "مجموعة أدوات تحديد النظام" . www.mathworks.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 فبراير 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2022 .
  27. ↑ "نموذج الانحدار الذاتي - MATLAB و Simulink" . www.mathworks.com . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 فبراير 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 فبراير 2022 .
  28. ↑ "مجموعة أدوات تحليل السلاسل الزمنية (TSA) لبرنامجي Octave و MATLAB" . pub.ist.ac.at. مؤرشف من الأصل بتاريخ 11 مايو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 أبريل 2012 .
  29. ↑ "christophmark/bayesloop" . 7 ديسمبر 2021. مؤرشف من الأصل في 28 سبتمبر 2020. تم الاسترجاع في 4 سبتمبر 2018 – عبر GitHub.
  30. ↑ "statsmodels.tsa.ar_model.AutoReg — وثائق statsmodels 0.12.2" . www.statsmodels.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28 فبراير 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أبريل 2021 .

مراجع

  • ميلز، تيرينس سي. (1990). تقنيات السلاسل الزمنية للاقتصاديين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521343398.
  • بيرسيفال، دونالد ب.؛ والدن، أندرو ت. (1993). التحليل الطيفي للتطبيقات الفيزيائية . مطبعة جامعة كامبريدج. Bibcode : 1993sapa.book.....P .
  • بانديت، سودهاكار م.؛ وو، شين مينغ (1983). تحليل السلاسل الزمنية والأنظمة مع التطبيقات . جون وايلي وأولاده.