العملية الغاوسية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 127 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، تُعرَّف العملية الغاوسية بأنها عملية عشوائية (مجموعة من المتغيرات العشوائية مُفهرسة حسب الزمان أو المكان)، بحيث يكون لكل مجموعة محدودة من هذه المتغيرات العشوائية توزيع طبيعي متعدد المتغيرات . ويُعرَّف توزيع العملية الغاوسية بأنه التوزيع المشترك لجميع هذه المتغيرات العشوائية (التي لا حصر لها)، وبالتالي فهو توزيع على دوال ذات مجال متصل، كالزمان أو المكان.

يُنسب مفهوم العمليات الغاوسية إلى كارل فريدريش غاوس، لأنه يستند إلى مفهوم التوزيع الغاوسي ( التوزيع الطبيعي ). ويمكن اعتبار العمليات الغاوسية تعميماً لانهائي الأبعاد للتوزيعات الطبيعية متعددة المتغيرات.

تُعدّ العمليات الغاوسية مفيدة في النمذجة الإحصائية ، إذ تستفيد من خصائص مُستمدة من التوزيع الطبيعي. فعلى سبيل المثال، إذا نُوذِجت عملية عشوائية كعملية غاوسية، يُمكن الحصول على توزيعات كميات مُشتقة مُختلفة بشكلٍ صريح. تشمل هذه الكميات القيمة المتوسطة للعملية على مدى فترة زمنية مُحددة، والخطأ في تقدير المتوسط ​​باستخدام قيم عينة عند مجموعة صغيرة من الأوقات. في حين أن النماذج الدقيقة غالبًا ما تُعاني من ضعف الأداء مع ازدياد حجم البيانات، فقد طُوِّرت طُرق تقريبية مُتعددة تُحافظ في كثير من الأحيان على دقة جيدة مع تقليل وقت الحساب بشكلٍ كبير.

تعريف

عملية عشوائية مستمرة زمنياً{Xت;ت∈تي}{\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}تكون دالة غاوسية إذا وفقط إذا كان لكل مجموعة محدودة من المؤشراتت1،...،تك{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}في مجموعة الفهرستي{\displaystyle T}

Xت1،...،تك=(Xت1،...،Xتك){\displaystyle \mathbf {X} _{t_{1},\ldots ,t_{k}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}

هو متغير عشوائي غاوسي متعدد المتغيرات . [ 1 ] وبما أن مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة توزيعًا غاوسيًا هو أيضًا توزيع غاوسي، فإن هذا يعني أن كل توليفة خطية من(Xت1،...،Xتك){\displaystyle (X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{k}})}له توزيع غاوسي أحادي المتغير (أو توزيع طبيعي).

استخدام الدوال المميزة للمتغيرات العشوائية معأنا{\displaystyle i}يشير إلى الوحدة التخيلية بحيثأنا2=-1{\displaystyle i^{2}=-1}يمكن صياغة خاصية التوزيع الغاوسي على النحو التالي:{Xت;ت∈تي}{\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}تكون دالة غاوسية إذا وفقط إذا، لكل مجموعة محدودة من المؤشراتت1،...،تك{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}، هناك قيم حقيقيةσℓج2{\displaystyle \sigma _{\ell j}^{2}}،μℓ{\displaystyle \mu _{\ell }}معσجج2>0{\displaystyle \sigma _{jj}^{2}>0}بحيث تتحقق المساواة التالية لجميعs1،s2،...،sك∈R{\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{k}\in \mathbb {R} }،

هـ[خبرة⁡(أنا∑ℓ=1كsℓXتℓ)]=خبرة⁡(-12∑ℓ،جσℓج2sℓsج+أنا∑ℓμℓsℓ)،{\displaystyle {\mathbb {E} }\left[\exp \left(i\sum _{\ell =1}^{k}s_{\ell }\,\mathbf {X} _{t_{\ell }}\right)\right]=\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\sum _{\ell ,j}\sigma _{\ell j}^{2}s_{\ell }s_{j}+i\sum _{\ell }\mu _{\ell }s_{\ell }\right),}

أوهـ[هـأناs(Xت-μ)]=هـ-sσ2s/2{\displaystyle {\mathbb {E} }\left[{\mathrm {e} }^{i\,\mathbf {s} \,(\mathbf {X} _{t}-\mathbf {\mu } )}\right]={\mathrm {e} }^{-\mathbf {s} \,\sigma ^{2}\,\mathbf {s} /2}}الأرقامσℓج2{\displaystyle \sigma _{\ell j}^{2}}وμℓ{\displaystyle \mu _{\ell }}يمكن إثبات أنها تمثل التغايرات ومتوسطات المتغيرات في العملية. [ 2 ]

الثبات

بالنسبة للعمليات العشوائية العامة، فإن الاستقرار بالمعنى الدقيق يستلزم الاستقرار بالمعنى الواسع، ولكن ليس كل عملية عشوائية مستقرة بالمعنى الواسع مستقرة بالمعنى الدقيق. ومع ذلك، بالنسبة للعملية العشوائية الغاوسية، يكون المفهومان متكافئين. [ 3 ]

لذلك، فإن العملية الغاوسية الثابتة تتحدد بشكل كامل من خلال دالة المتوسط ​​ذات المعلمة الواحدة ودالة التغاير.

مثال

يوجد تمثيل صريح للعمليات الغاوسية الثابتة. [ 4 ] مثال بسيط على هذا التمثيل هو

Xت=كوس⁡(أت)ξ1+الخطيئة⁡(أت)ξ2{\displaystyle X_{t}=\cos(at)\,\xi _{1}+\sin(at)\,\xi _{2}}

أينξ1{\displaystyle \xi _{1}}وξ2{\displaystyle \xi _{2}}هي متغيرات عشوائية مستقلة ذات توزيع طبيعي قياسي .

دوال التغاير

من الحقائق الأساسية للعمليات الغاوسية أنها قابلة للتحديد الكامل بواسطة إحصاءاتها من الرتبة الثانية. [ 5 ] وبالتالي، إذا افترضنا أن متوسط ​​العملية الغاوسية يساوي صفرًا، فإن تعريف دالة التغاير يُحدد سلوك العملية بشكل كامل. ومن المهم أن خاصية عدم سلبية هذه الدالة تُمكّن من تحليلها الطيفي باستخدام توسيع كارونين-لوف . ومن الجوانب الأساسية التي يمكن تحديدها من خلال دالة التغاير : استقرار العملية ، وتجانسها ، وسلاستها ، ودوريتها . [ 6 ] [ 7 ]

يشير مصطلح "الاستقرار" إلى سلوك العملية فيما يتعلق بفصل أي نقطتينx{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x'}إذا كانت العملية مستقرة، فإن دالة التغاير تعتمد فقط علىx-x′{\displaystyle xx'}على سبيل المثال، عملية أورنستين-أولينبيك هي عملية ثابتة.

إذا كانت العملية تعتمد فقط على|x-x′|{\displaystyle |xx'|}المسافة الإقليدية (وليس الاتجاه) بينx{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x'}إذا كان الأمر كذلك، فإن العملية تُعتبر متناحية الخواص. وتُعتبر العملية التي تتسم بالثبات والتناحية في آن واحد متجانسة ؛ [ 8 ] عمليًا، تعكس هذه الخصائص الاختلافات (أو بالأحرى انعدامها) في سلوك العملية تبعًا لموقع الراصد.

في نهاية المطاف، تُترجم العمليات الغاوسية إلى أخذ توزيعات احتمالية مسبقة على الدوال، ويمكن استنتاج سلاسة هذه التوزيعات المسبقة بواسطة دالة التغاير. [ 6 ] إذا توقعنا ذلك بالنسبة لنقاط الإدخال "المتقاربة".x{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x'}نقاط الإخراج المقابلة لهاy{\displaystyle y}وy′{\displaystyle y'}لكي يكون "قريبًا" أيضًا، يُفترض وجود الاستمرارية. إذا أردنا السماح بإزاحة كبيرة، فقد نختار دالة تباين أقل دقة. من الأمثلة المتطرفة على هذا السلوك دالة تباين أورنستين - أولينبيك والدالة الأسية التربيعية، حيث لا يمكن اشتقاق الأولى أبدًا، بينما يمكن اشتقاق الثانية إلى ما لا نهاية.

تشير الدورية إلى إحداث أنماط دورية ضمن سلوك العملية. ويتم تحقيق ذلك رسميًا من خلال رسم خريطة للمدخلات.x{\displaystyle x}إلى متجه ثنائي الأبعادu(x)=(كوس⁡(x)،الخطيئة⁡(x)){\displaystyle u(x)=\left(\cos(x),\sin(x)\right)}.

دوال التغاير المعتادة

تأثير اختيار نواة مختلفة على توزيع الدالة المسبقة للعملية الغاوسية. على اليسار نواة أسية تربيعية. في المنتصف نواة براونية. على اليمين نواة تربيعية.

هناك عدد من دوال التغاير الشائعة: [ 7 ]

  • ثابت  :كج(x،x′)=ج{\displaystyle K_{\operatorname {C} }(x,x')=C}
  • خطي:كل(x،x′)=xتيx′{\displaystyle K_{\operatorname {L} }(x,x')=x^{\mathsf {T}}x'}
  • الضوضاء البيضاء الغاوسية:كجي إن(x،x′)=σ2دلتاx،x′{\displaystyle K_{\operatorname {GN} }(x,x')=\sigma ^{2}\delta _{x,x'}}
  • الدالة الأسية التربيعية:كجنوب شرق(x،x′)=خبرة⁡(-د22ℓ2){\displaystyle K_{\operatorname {SE} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {d^{2}}{2\ell ^{2}}}\right)}
  • أورنشتاين – أولينبيك:كجامعة أوكلاهوما(x،x′)=خبرة⁡(-دℓ){\displaystyle K_{\operatorname {OU} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {d}{\ell }}\right)}
  • الأم:كالأم(x،x′)=21-νΓ(ν)(2νدℓ)νكν(2νدℓ){\displaystyle K_{\operatorname {Matern} }(x,x')={\tfrac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\tfrac {{\sqrt {2\nu }}d}{\ell }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\tfrac {{\sqrt {2\nu }}d}{\ell }}\right)}
  • دوري:كP(x،x′)=خبرة⁡(-2ℓ2الخطيئة2⁡(د/2)){\displaystyle K_{\operatorname {P} }(x,x')=\exp \left(-{\tfrac {2}{\ell ^{2}}}\sin ^{2}(d/2)\right)}
  • معادلة تربيعية نسبية:كRQ(x،x′)=(1+د2)-α،α≥0{\displaystyle K_{\operatorname {RQ} }(x,x')=\left(1+d^{2}\right)^{-\alpha },\quad \alpha \geq 0}

هناد=|x-x′|{\displaystyle d=|x-x'|}وهذا نتيجة لخاصية العملية المستقرة، أي أن دالة التغاير لأي عملية مستقرة ستعتمد فقط علىد{\displaystyle d}المعلمةℓ{\displaystyle \ell }هو المقياس الطولي المميز للعملية (عمليًا، "مدى قرب" نقطتين)x{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x'}(يجب أن يكونا قادرين على التأثير على بعضهما البعض بشكل كبير)،دلتا{\displaystyle \delta }دلتا كرونكر وσ{\displaystyle \sigma }الانحراف المعياري لتقلبات الضوضاء. علاوة على ذلك،كν{\displaystyle K_{\nu }}هي دالة بيسل المعدلة من الرتبةν{\displaystyle \nu }وΓ(ν){\displaystyle \Gamma (\nu )}هل يتم تقييم دالة غاما عندν{\displaystyle \nu }والأهم من ذلك، يمكن تعريف دالة التغاير المعقدة على أنها مزيج خطي من دوال التغاير الأخرى الأبسط من أجل دمج رؤى مختلفة حول مجموعة البيانات قيد الدراسة.

تعتمد نتائج الاستدلال على قيم المعلمات الفائقةθ{\displaystyle \theta }(مثال)ℓ{\displaystyle \ell }وσ{\displaystyle \sigma }) تحديد سلوك النموذج. خيار شائع لـθ{\displaystyle \theta }يتمثل الهدف في توفير تقديرات الاحتمال اللاحق الأقصى (MAP) باستخدام توزيع احتمالي مسبق مُختار. إذا كان التوزيع الاحتمالي المسبق شبه منتظم، فإن هذا يُعادل تعظيم الاحتمال الهامشي للعملية؛ حيث يتم التهميش على قيم العملية المرصودة.y{\displaystyle y}[ 7 ] يُعرف هذا النهج أيضًا باسم أقصى احتمال II ، أو تعظيم الأدلة ، أو بايز التجريبي . [ 9 ]

الاستمرارية

بالنسبة للعملية الغاوسية، يُكافئ استمرار الاحتمال استمرار متوسط ​​المربع [ 10 ] : 145 : 91 "تكون العمليات الغاوسية غير مستمرة عند النقاط الثابتة." [ 11 ] ، ويكافئ استمرار الاحتمال الواحد استمرار العينة . [ 12 ] وهذا الأخير يستلزم استمرار الاحتمال، ولكنه ليس مستنتجًا منه. يتحقق استمرار الاحتمال إذا وفقط إذا كان المتوسط ​​والتباين الذاتي دالتين مستمرتين. في المقابل، كان تحقيق استمرار العينة صعبًا حتى بالنسبة للعمليات الغاوسية المستقرة (كما لاحظ أندريه كولموغوروف على الأرجح )، وأكثر صعوبة بالنسبة للعمليات الأكثر عمومية. [ 13 ] : القسم 2.8 [ 14 ] : 69، 81 [ 15 ] : 80 [ 16 ] وكما هو معتاد، يُقصد بالعملية المستمرة العينة العملية التي تقبل تعديلًا مستمرًا عينة . [ 17 ] : 292 [ 18 ] : 424

حقيبة أدوات مكتبية

بالنسبة لعملية غاوسية ثابتةX=(Xت)ت∈R،{\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {R} },}بعض الشروط على طيفها كافية لاستمرارية العينة، لكنها ليست ضرورية. الشرط الضروري والكافي، والذي يُسمى أحيانًا نظرية دادلي-فيرنيك، يتضمن الدالةσ{\displaystyle \sigma }محدد بواسطة σ(ح)=هـ[(X(ت+ح)-X(ت))2]{\displaystyle \sigma (h)={\sqrt {{\mathbb {E} }\left[\left(X(t+h)-X(t)\right)^{2}\right]}}} (الجانب الأيمن لا يعتمد علىت{\displaystyle t}بسبب الثبات). استمراريةX{\displaystyle X}في الاحتمالات، يكافئ ذلك استمراريةσ{\displaystyle \sigma }في0.{\displaystyle 0.}عندما يتقاربσ(ح){\displaystyle \sigma (h)}ل0{\displaystyle 0}(مثلح→0{\displaystyle h\to 0}) بطيء للغاية، استمرارية أخذ العينات لـX{\displaystyle X}قد تفشل. تقارب التكاملات التالية مهم: أنا(σ)=∫01σ(ح)حسجل⁡(1/ح)دح=∫0∞2σ(هـ-x2)دx،{\displaystyle I(\sigma )=\int _{0}^{1}{\frac {\sigma (h)}{h{\sqrt {\log(1/h)}}}}\,dh=\int _{0}^{\infty }2\sigma (e^{-x^{2}})\,dx,} هذان التكاملان متساويان وفقًا للتكامل بالتعويضح=هـ-x2،{\textstyle h=e^{-x^{2}},}x=سجل⁡(1/ح).{\textstyle x={\sqrt {\log(1/h)}}.}لا يشترط أن تكون الدالة الأولى محدودة لأنح→0+،{\displaystyle h\to 0+,}وبالتالي قد يتقارب التكامل (أنا(σ)<∞{\displaystyle I(\sigma )<\infty }) أو تتباعد (أنا(σ)=∞{\displaystyle I(\sigma )=\infty }على سبيل المثالσ(هـ-x2)=1xأ{\textstyle \sigma (e^{-x^{2}})={\tfrac {1}{x^{a}}}}للكبيرx،{\displaystyle x,}إنه،σ(ح)=(سجل⁡(1/ح))-أ/2{\textstyle \sigma (h)=(\log(1/h))^{-a/2}}للصغارح،{\displaystyle h,}يحصل المرءأنا(σ)<∞{\displaystyle I(\sigma )<\infty }متىأ>1،{\displaystyle a>1,}وأنا(σ)=∞{\displaystyle I(\sigma )=\infty }متى0<أ≤1.{\displaystyle 0<a\leq 1.} في هاتين الحالتين، الوظيفةσ{\displaystyle \sigma }يتزايد على[0،∞)،{\displaystyle [0,\infty ),}لكن الأمر ليس كذلك عموماً. علاوة على ذلك، فإن الحالة

(*)  يوجدε>0{\displaystyle \varepsilon >0}بحيثσ{\displaystyle \sigma }رتيب على[0،ε]{\displaystyle [0,\varepsilon ]}

لا يترتب على ذلك استمراريةσ{\displaystyle \sigma }والعلاقات الواضحةσ(ح)≥0{\displaystyle \sigma (h)\geq 0}(للجميع)ح{\displaystyle h}) وσ(0)=0.{\displaystyle \sigma (0)=0.}

النظرية 1 — ليكنσ{\displaystyle \sigma }تكون متصلة وتحقق الشرط (*) . عندئذٍ يتحقق الشرطأنا(σ)<∞{\displaystyle I(\sigma )<\infty }يُعد ذلك ضروريًا وكافيًا لاستمرارية العينةX.{\displaystyle X.}

بعض المعلومات التاريخية. [ 18 ] : 424 أعلن كزافييه فيرنيك عن كفاية المبرهنة عام 1964، لكن أول برهان نُشر بواسطة ريتشارد إم. دادلي عام 1967. [ 17 ] : النظرية 7.1. أثبت مايكل ب. ماركوس ولورانس شيب ضرورة المبرهنة عام 1970. [ 19 ] : 380

توجد عمليات مستمرة نموذجيةX{\displaystyle X}بحيثأنا(σ)=∞;{\displaystyle I(\sigma )=\infty ;} فهي تخالف الشرط (*) . مثال وجده ماركوس وشيب [ 19 ] : 387 عبارة عن متسلسلة فورييه عشوائية ذات فجواتXت=∑ن=1∞جن(ξنكوس⁡λنت+ηنالخطيئة⁡λنت)،{\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}(\xi _{n}\cos \lambda _{n}t+\eta _{n}\sin \lambda _{n}t),} أينξ1،η1،ξ2،η2،...{\displaystyle \xi _{1},\eta _{1},\xi _{2},\eta _{2},\dots }هي متغيرات عشوائية مستقلة ذات توزيع طبيعي معياري ؛ الترددات0<λ1<λ2<...{\displaystyle 0<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dots }وهي متتالية سريعة النمو؛ والمعاملاتجن>0{\displaystyle c_{n}>0}مُرضٍ∑نجن<∞.{\textstyle \sum _{n}c_{n}<\infty .}العلاقة الأخيرة تعني

هـ∑نجن(|ξن|+|ηن|)=∑نجنهـ[|ξن|+|ηن|]=ثابت⋅∑نجن<∞،{\textstyle {\mathbb {E} }\sum _{n}c_{n}(|\xi _{n}|+|\eta _{n}|)=\sum _{n}c_{n}{\mathbb {E} }[|\xi _{n}|+|\eta _{n}|]={\text{const}}\cdot \sum _{n}c_{n}<\infty ,}

ومن ثم∑نجن(|ξن|+|ηن|)<∞{\textstyle \sum _{n}c_{n}(|\xi _{n}|+|\eta _{n}|)<\infty }شبه مؤكد، مما يضمن التقارب المنتظم لسلسلة فورييه بشكل شبه مؤكد، واستمرارية العينة لـX.{\displaystyle X.}

الارتباط الذاتي لسلسلة فورييه العشوائية الفجوية

دالة التغاير الذاتي الخاصة بها هـ[XتXت+ح]=∑ن=1∞جن2كوس⁡λنح{\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{t}X_{t+h}]=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}^{2}\cos \lambda _{n}h} وهي ليست رتيبة في أي مكان (انظر الصورة)، وكذلك الدالة المقابلة.σ،{\displaystyle \sigma ,}σ(ح)=2هـ[XتXت]-2هـ[XتXت+ح]=2∑ن=1∞جن2الخطيئة2⁡λنح2.{\displaystyle \sigma (h)={\sqrt {2{\mathbb {E} }[X_{t}X_{t}]-2{\mathbb {E} }[X_{t}X_{t+h}]}}=2{\sqrt {\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}^{2}\sin ^{2}{\frac {\lambda _{n}h}{2}}}}.}

الحركة البراونية كتكامل لعمليات غاوسية

عملية وينر (المعروفة أيضًا باسم الحركة البراونية) هي تكامل لعملية غاوسية معممة ذات ضوضاء بيضاء . وهي ليست ثابتة ، ولكنها تحتوي على زيادات ثابتة .

عملية أورنستين -أولينبيك هي عملية غاوسية ثابتة .

يُعد الجسر البراوني (مثل عملية أورنستين-أولينبيك) مثالاً على عملية غاوسية لا تكون زياداتها مستقلة .

الحركة البراونية الكسرية هي عملية غاوسية دالة التغاير الخاصة بها هي تعميم لدالة التغاير الخاصة بعملية وينر.

بنية RKHS والعملية الغاوسية

يتركو{\displaystyle f}ليكن عملية غاوسية ذات متوسط ​​صفري{Xت;ت∈تي}{\displaystyle \left\{X_{t};t\in T\right\}}مع دالة تباين محددة غير سالبةك{\displaystyle K}ودعR{\displaystyle R}لتكن دالة متناظرة وشبه موجبة. عندئذٍ، توجد عملية غاوسيةX{\displaystyle X}والتي لها التغايرR{\displaystyle R}علاوة على ذلك، فإن فضاء هيلبرت ذو النواة المُستنسخة (RKHS) المرتبط بـR{\displaystyle R}يتطابق مع الفضاء المرتبط بنظرية كاميرون-مارتنR(ح){\displaystyle R(H)}لX{\displaystyle X}وجميع المساحاتR(ح){\displaystyle R(H)}،حX{\displaystyle H_{X}}، وح(ك){\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}هي متساوية القياس. [ 20 ] من الآن فصاعدًا، ليكنح(R){\displaystyle {\mathcal {H}}(R)}ليكن فضاء هيلبرت ذو نواة مولدة مع نواة موجبة محددةR{\displaystyle R}.

قانون دريسكول للصفر والواحد هو نتيجة تصف دوال العينة الناتجة عن عملية غاوسية: ليمن→∞tr⁡[كنRن-1]<∞،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [K_{n}R_{n}^{-1}]<\infty ,} أينكن{\displaystyle K_{n}}وRن{\displaystyle R_{n}}هي مصفوفات التغاير لجميع الأزواج الممكنة منن{\displaystyle n}تشير النقاط إلى برو[و∈ح(R)]=1.{\displaystyle \Pr[f\in {\mathcal {H}}(R)]=1.}

علاوة على ذلك، ليمن→∞tr⁡[كنRن-1]=∞{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [K_{n}R_{n}^{-1}]=\infty } يشير [ 21 ]برو[و∈ح(R)]=0.{\displaystyle \Pr[f\in {\mathcal {H}}(R)]=0.}

وهذا له آثار كبيرة عندماك=R{\displaystyle K=R}، مثل ليمن→∞tr⁡[RنRن-1]=ليمن→∞tr⁡[أنا]=ليمن→∞ن=∞.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [R_{n}R_{n}^{-1}]=\lim _{n\to \infty }\operatorname {tr} [I]=\lim _{n\to \infty }n=\infty .}

وبالتالي، فإن جميع مسارات العينة تقريبًا لعملية غاوسية ذات متوسط ​​صفري ونواة موجبة محددةك{\displaystyle K}سيقع خارج نطاق هيلبرتح(ك){\displaystyle {\mathcal {H}}(K)}.

العمليات الغاوسية المقيدة خطيًا

في العديد من التطبيقات المهمة، تتوفر معرفة مسبقة بالنظام قيد الدراسة. على سبيل المثال، لنفترض أن ناتج عملية غاوس يُمثل مجالًا مغناطيسيًا؛ في هذه الحالة، يكون المجال المغناطيسي الحقيقي مقيدًا بمعادلات ماكسويل، ومن المستحسن إيجاد طريقة لدمج هذا القيد في صيغة عملية غاوس، إذ من المرجح أن يُحسّن ذلك دقة الخوارزمية.

توجد بالفعل طريقة لكيفية دمج القيود الخطية في العمليات الغاوسية: [ 22 ]

ضع في اعتبارك دالة الإخراج (ذات القيم المتجهة)و(x){\displaystyle f(x)}والذي من المعروف أنه يخضع للقيد الخطي (أيFX{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}(مؤثر خطي) FX(و(x))=0.{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}(f(x))=0.} ثم القيدFX{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}يمكن تحقيق ذلك عن طريق الاختيارو(x)=جيX(ز(x)){\displaystyle f(x)={\mathcal {G}}_{X}(g(x))}، أينز(x)∼جيP(μز،كز){\displaystyle g(x)\sim {\mathcal {GP}}(\mu _{g},K_{g})}يتم نمذجتها كعملية غاوسية، وإيجادجيX{\displaystyle {\mathcal {G}}_{X}}بحيث FX(جيX(ز))=0∀ز.{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}({\mathcal {G}}_{X}(g))=0\qquad \forall g.} منحجيX{\displaystyle {\mathcal {G}}_{X}}وباستخدام حقيقة أن العمليات الغاوسية مغلقة تحت التحويلات الخطية، فإن العملية الغاوسية لـو{\displaystyle f}الامتثال للقيودFX{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}يصبح و(x)=جيXز∼جيP(جيXμز،جيXكزجيX′تي).{\displaystyle f(x)={\mathcal {G}}_{X}g\sim {\mathcal {GP}}({\mathcal {G}}_{X}\mu _{g},{\mathcal {G}}_{X}K_{g}{\mathcal {G}}_{X'}^{\mathsf {T}}).} وبالتالي، يمكن ترميز القيود الخطية في دالة المتوسط ​​والتباين لعملية غاوسية.

التطبيقات

مثال على انحدار العمليات الغاوسية (التنبؤ) مقارنة بنماذج الانحدار الأخرى. [ 23 ]

يمكن استخدام عملية غاوسية كتوزيع احتمالي مسبق للدوال في الاستدلال البايزي . [ 7 ] [ 24 ] بفرض وجود أي مجموعة من N نقطة في المجال المطلوب للدوال، يتم اختيار توزيع غاوسي متعدد المتغيرات تكون مصفوفة تباينه هي مصفوفة غرام لتلك النقاط N مع نواة محددة ، ثم يتم أخذ عينات من هذا التوزيع الغاوسي. لحل مشكلة التنبؤ متعدد المخرجات، تم تطوير انحدار العمليات الغاوسية للدوال المتجهة. في هذه الطريقة، يتم إنشاء تباين "كبير" يصف الارتباطات بين جميع متغيرات الإدخال والإخراج المأخوذة في N نقطة في المجال المطلوب. [ 25 ] تم شرح هذا النهج بالتفصيل للعمليات الغاوسية المصفوفية، وتم تعميمه على العمليات ذات "الذيول الأثقل" مثل عمليات توزيع Student-t . [ 26 ]

يُعرف استنتاج القيم المستمرة باستخدام عملية غاوسية مسبقة باسم انحدار العملية الغاوسية، أو كريغينغ ؛ ويُعرف توسيع انحدار العملية الغاوسية ليشمل متغيرات هدف متعددة باسم كريغينغ المشترك . [ 27 ] ولذلك، تُعد العمليات الغاوسية أداةً فعالةً للاستيفاء متعدد المتغيرات غير الخطي . كما يُستخدم كريغينغ لتوسيع العملية الغاوسية في حالة المدخلات العددية المختلطة. [ 28 ]

تُستخدم العمليات الغاوسية أيضًا بشكل شائع لمعالجة مشاكل التحليل العددي مثل التكامل العددي، وحل المعادلات التفاضلية، أو التحسين في مجال الاحتمالات العددية .

يمكن أيضًا استخدام العمليات الغاوسية في سياق نماذج مزيج الخبراء، على سبيل المثال. [ 29 ] [ 30 ] ويكمن الأساس المنطقي لهذا الإطار التعليمي في افتراض أن عملية غاوسية واحدة لا تستطيع تمثيل أي عملية ربط بدقة. بدلاً من ذلك، تُقسّم مساحة الملاحظة إلى مجموعات فرعية، تتميز كل منها بدالة ربط مختلفة؛ ويتم تعلم كل منها عبر مكون مختلف من مكونات العملية الغاوسية في المزيج المفترض.

التنبؤ باستخدام العمليات الغاوسية، أو كريغينغ

انحدار العمليات الغاوسية (التنبؤ) باستخدام نواة أسية تربيعية. الرسم البياني الأيسر يمثل عينات من توزيع الدالة المسبقة. الرسم البياني الأوسط يمثل عينات من التوزيع اللاحق. الرسم البياني الأيمن يمثل متوسط ​​التنبؤ مع تظليل انحراف معياري واحد.

عند التعامل مع مشكلة انحدار العمليات الغاوسية العامة (كريغينغ)، يُفترض أنه بالنسبة للعملية الغاوسيةو{\displaystyle f}تمت الملاحظة عند الإحداثياتx{\displaystyle x}، متجه القيم ⁠و(x){\displaystyle f(x)}⁠ هي مجرد عينة واحدة من توزيع غاوسي متعدد المتغيرات ذي بُعد يساوي عدد الإحداثيات المرصودة ⁠ن{\displaystyle n}لذلك ، وبافتراض توزيع متوسطه صفر ،و(x′)∼شمال(0،ك(θ،x،x′)){\displaystyle f(x')\sim N(0,K(\theta ,x,x'))}، حيث​ك(θ،x،x′){\displaystyle K(\theta ,x,x')}⁠ هي مصفوفة التغاير بين جميع الأزواج الممكنة ⁠(x،x′){\displaystyle (x,x')}بالنسبة لمجموعة معينة من المعاملات الفائقة θ . [ 7 ] وبالتالي فإن دالة الاحتمال الهامشي اللوغاريتمي هي:

سجل⁡ص(و(x′)|θ،x)=-12(وتي(x)ك-1(θ،x،x′)و(x′)+سجل⁡المحقق(ك(θ،x،x′))+نسجل⁡2π){\displaystyle \log p(f(x')\mid \theta ,x)=-{\frac {1}{2}}\left(f^{\mathsf {T}}(x)K^{-1}(\theta ,x,x')f(x')+\log \det(K(\theta ,x,x'))+n\log 2\pi \right)}

وتعظيم هذا الاحتمال الهامشي تجاه θ يوفر التحديد الكامل للعملية الغاوسية f . يمكن ملاحظة أن الحد الأول يمثل حد جزاء لفشل النموذج في مطابقة القيم المرصودة، بينما يمثل الحد الثاني حد جزاء يزداد تناسبياً مع تعقيد النموذج. بعد تحديد θ ، يتم التنبؤ بالقيم غير المرصودة .و(x*){\displaystyle f(x^{*})}عند الإحداثيات x *، يصبح الأمر مجرد مسألة سحب عينات من التوزيع التنبؤي.ص(y*|x*،و(x)،x)=شمال(y*|أ،ب){\displaystyle p(y^{*}\mid x^{*},f(x),x)=N(y^{*}\mid A,B)}حيث يُعرَّف متوسط ​​التقدير اللاحق A على النحو التالي:أ=ك(θ،x*،x)ك-1(θ،x،x′)و(x){\displaystyle A=K(\theta ,x^{*},x)K^{-1}(\theta ,x,x')f(x)}ويُعرَّف تقدير التباين اللاحق B على النحو التالي:ب=ك(θ،x*،x*)-ك(θ،x*،x)ك-1(θ،x،x′)كتي(θ،x*،x){\displaystyle B=K(\theta ,x^{*},x^{*})-K(\theta ,x^{*},x)K^{-1}(\theta ,x,x')K^{\mathsf {T}}(\theta ,x^{*},x)} أين​ك(θ،x*،x){\displaystyle K(\theta ,x^{*},x)}يمثل ⁠ التباين المشترك بين الإحداثية الجديدة للتقدير x * وجميع الإحداثيات الأخرى المرصودة x لمتجه المعلمات الفائقة θ المعطى ، ⁠ك(θ،x،x′){\displaystyle K(\theta ,x,x')}و​​و(x){\displaystyle f(x)}يتم تعريفها كما سبق وك(θ،x*،x*){\displaystyle K(\theta ,x^{*},x^{*})}يمثل ⁠ التباين عند النقطة x * كما تحدده θ . عمليًا، متوسط ​​التقدير اللاحق لـ ⁠و(x*){\displaystyle f(x^{*})}إن "التقدير النقطي" هو مجرد توليفة خطية من الملاحظات .و(x){\displaystyle f(x)}وبالمثل، فإن تباينو(x*){\displaystyle f(x^{*})}في الواقع ، هو مستقل عن الملاحظات .و(x){\displaystyle f(x)}من أبرز التحديات المعروفة في التنبؤ باستخدام العمليات الغاوسية أن التعقيد الحسابي للاستدلال وتقييم الاحتمالية يتناسب طرديًا مع مكعب عدد النقاط | x |، مما قد يجعله غير عملي مع مجموعات البيانات الكبيرة. [ 6 ] [ 31 ] وتسعى الدراسات التي تستخدم العمليات الغاوسية المتفرقة، والتي تعتمد عادةً على فكرة بناء مجموعة تمثيلية للعملية المعطاة f ، إلى تجاوز هذه المشكلة. [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] ويمكن استخدام طريقة كريغينغ في المستوى الكامن لنموذج التأثيرات المختلطة غير الخطي للتنبؤ الوظيفي المكاني: وتُسمى هذه التقنية كريغينغ الكامن. [ 35 ] وقد ظهرت فئات أخرى من العمليات الغاوسية القابلة للتوسع لتحليل مجموعات البيانات الضخمة من تقريب فيكيا وعمليات غاوسية لأقرب جار (NNGP). [ 36 ] [ 31 ]

غالباً ما يكون التغاير على الشكل التاليك(θ،x،x′)=1σ2ك~(θ،x،x′){\textstyle K(\theta ,x,x')={\frac {1}{\sigma ^{2}}}{\tilde {K}}(\theta ,x,x')}، أينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}هو مُعامل قياس. ومن الأمثلة على ذلك دوال التغاير لفئة ماتيرن. إذا كان مُعامل القياس هذاσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}إذا كانت إما معلومة أو غير معلومة (أي يجب تهميشها)، فإن الاحتمال اللاحق،ص(θ|د){\displaystyle p(\theta \mid D)}أي احتمالية المعلمات الفائقةθ{\displaystyle \theta }بالنظر إلى مجموعة من أزواج البياناتد{\displaystyle D}من ملاحظاتx{\displaystyle x}وو(x){\displaystyle f(x)}[ 37 ] ، تقبل تعبيرًا تحليليًا.

الشبكات العصبية البايزية كعمليات غاوسية

الشبكات العصبية البايزية هي نوع خاص من الشبكات البايزية ، تنتج عن معالجة نماذج التعلم العميق والشبكات العصبية الاصطناعية بشكل احتمالي، وتخصيص توزيع احتمالي مسبق لمعاملاتها . عادةً ما تُنظَّم العمليات الحسابية في الشبكات العصبية الاصطناعية في طبقات متسلسلة من الخلايا العصبية الاصطناعية . يُطلق على عدد الخلايا العصبية في الطبقة اسم عرض الطبقة. مع ازدياد عرض الطبقة، تتحول العديد من الشبكات العصبية البايزية إلى عملية غاوسية ذات نواة تركيبية مغلقة . تُسمى هذه العملية الغاوسية بعملية غاوسية للشبكة العصبية (NNGP) (لا ينبغي الخلط بينها وبين عملية غاوسية لأقرب جار [ 36 ] ). [ 7 ] [ 38 ] [ 39 ] تسمح هذه العملية بتقييم تنبؤات الشبكات العصبية البايزية بكفاءة أكبر، وتوفر أداة تحليلية لفهم نماذج التعلم العميق .

التطبيقات الفيزيائية

وجدت العمليات الغاوسية تطبيقات متزايدة في العديد من مجالات العلوم الطبيعية نظرًا لخصائصها الإحصائية في النمذجة. وقد استُخدمت هذه النماذج في التنبؤ بخصائص الجزيئات في مجموعات البيانات الجزيئية الصغيرة نظرًا لقدراتها الاستدلالية وتكلفتها الحسابية المنخفضة. [ 40 ] [ 41 ] كما يجري استخدامها بشكل متزايد كنماذج بديلة لتحسين مجال القوة. [ 42 ]

الفيزياء الفلكية

تُستخدم العمليات الغاوسية على نطاق واسع في مجالات الفيزياء الفلكية وعلم الفلك. فهي قادرة على نمذجة الضوضاء المترابطة، وهي نوع محدد من الضوضاء غير الغاوسية التي تعتمد على توزيع غير معروف مرتبط بالقيم المرصودة. غالبًا ما توجد هذه الضوضاء في الإشارات الفلكية كخطأ منهجي للأجهزة أو كجزء لا يتجزأ من الجسم المرصود نتيجة لعمليات فيزيائية. تُعد الضوضاء المترابطة عاملًا مهمًا في رصد عبور الكواكب الخارجية ، وقد استُخدمت العمليات الغاوسية لإزالة الاتجاهات من منحنيات الضوء هذه (على فترات زمنية أطول من فترة العبور) للسماح بالكشف عن الإشارات الأضعف والأقصر عمرًا. [ 43 ] كما استُخدمت هذه العمليات لفصل إشارات الكواكب عن مؤشرات النشاط النجمي في بيانات السرعة الشعاعية ، وهي طريقة أخرى للكشف عن الكواكب الخارجية. يتم ذلك بتدريب نموذج العملية الغاوسية لتحسين المعلمات الفائقة للنواة حتى يُعيد بدقة تكوين مكونات الضوضاء في بيانات السرعة الشعاعية، مما يسمح له في النهاية بتحديد الإشارات التي تُعرَّف على أفضل وجه بأنها دورية تمامًا (والتي ينبغي أن يكون الكوكب عليها) والإشارات التي يُمثلها على أفضل وجه النواة المتطورة شبه الدورية (والتي ينبغي أن يكون النجم عليها). [ 44 ] يمكن أن تكون الضوضاء المترابطة الناتجة عن المناطق النشطة على الغلاف الضوئي للنجم (نتيجة لتفاعلات المجال المغناطيسي ) ذات نطاقات زمنية مماثلة لأحداث العبور، وتُستخدم نماذج العملية الغاوسية التي تتعامل مع البيانات ذات العينات المتباعدة لتأكيد اكتشافات الكواكب الخارجية، وخاصة حول النجوم الفتية. [ 45 ] [ 46 ]

يمكن نمذجة تغيرات النجوم الدوارة ذات النشاط المغناطيسي الشبيهة بالشمس بدقة معقولة باستخدام العمليات الغاوسية. [ 45 ] غالبًا ما يتم تمثيل هذا التغير شبه الدوري بدالة تباين معطاة على النحو التالي [ 47 ] [ 48 ]ككيو بي(x،x′)=α2خبرة⁡(-د22λ12-Γالخطيئة2⁡[πدλ2]){\displaystyle {\text{K}}_{\text{QP}}(x,x')=\alpha ^{2}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{2\lambda _{1}^{2}}}-\Gamma \sin ^{2}\left[{\frac {\pi d}{\lambda _{2}}}\right]\right)}حيث المعلمةα{\displaystyle \alpha }السعة،λ1{\displaystyle \lambda _{1}}هي فترة، وλ2{\displaystyle \lambda _{2}}هو مقياس زمني لفقدان الترابط. تسمح دالة التغاير هذه بتحديد محدود ولكنه ممكن للفترات النجمية نتيجةً للمعاملλ1{\displaystyle \lambda _{1}}لكنها تفتقر إلى المعلومات الفيزيائية حول مكان وجود هذه المناطق النشطة على النجم المرصود. [ 45 ] [ 49 ]

تُستخدم العمليات الغاوسية أيضًا في تحليل النوى المجرية النشطة (AGNs) الفردية والجماعية نظرًا لتغيراتها العشوائية في الأجزاء المرئية والراديوية من الطيف الكهرومغناطيسي . [ 45 ] وقد استُخدمت نوى المشي العشوائي المخمد، على وجه الخصوص، سابقًا لتحديد مدى مناطق انبعاث الخطوط العريضة حول الثقوب السوداء فائقة الكتلة باستخدام رسم خرائط الصدى ، ويمكن أيضًا استخدام هذه النوى لتوصيف تغيرات منحنى الضوء لمجموعات كبيرة من النوى المجرية النشطة. [ 50 ] [ 51 ]

تشمل التطبيقات الفيزيائية الفلكية الأخرى للعمليات الغاوسية نماذج توقيت النبضات وقياس تشتتها، وبنية موجات الجاذبية وعدم اليقين في الكاشف (لا سيما في تعاون LIGO-Virgo-KAGRA )، وتصنيف الظواهر العابرة، والتذبذبات شبه الدورية. [ 45 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]

المشكلات الحسابية

في التطبيقات العملية، غالبًا ما تُقيّم نماذج العمليات الغاوسية على شبكة، مما يؤدي إلى توزيعات طبيعية متعددة المتغيرات. يتطلب استخدام هذه النماذج للتنبؤ أو تقدير المعلمات باستخدام طريقة الاحتمال الأقصى تقييم كثافة غاوسية متعددة المتغيرات، وهو ما يتضمن حساب المحدد ومعكوس مصفوفة التغاير. تتسم كلتا العمليتين بتعقيد حسابي من الدرجة الثالثة، مما يعني أنه حتى بالنسبة للشبكات ذات الأحجام المتوسطة، قد تكون تكلفة كلتا العمليتين باهظة. أدى هذا العيب إلى تطوير طرق تقريب متعددة . [ 31 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماكاي، ديفيد جيه سي (2003). نظرية المعلومات، والاستدلال، وخوارزميات التعلم (ملف PDF) . مطبعة جامعة كامبريدج . ص  540. ISBN 9780521642989التوزيع الاحتمالي لدالة ماy(x){\displaystyle y(\mathbf {x} )}تكون عملية غاوسية إذا كان لأي مجموعة محدودة من النقاطx(1)،x(2)،...،x(شمال){\displaystyle \mathbf {x} ^{(1)},\mathbf {x} ^{(2)},\ldots ,\mathbf {x} ^{(N)}}الكثافةP(y(x(1))،y(x(2))،...،y(x(شمال))){\displaystyle P(y(\mathbf {x} ^{(1)}),y(\mathbf {x} ^{(2)}),\ldots ,y(\mathbf {x} ^{(N)}))}هو توزيع غاوسي
  2. ↑ دادلي، آر إم (1989). التحليل الحقيقي والاحتمالات . وادزورث وبروكس/كول. رقم ISBN 0-534-10050-3.
  3. ↑ هيدا، تاكيوكي؛ هيتسودا، ماسويوكي (1976). العمليات الغاوسية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 37-52 . 
  4. ↑ كاك، م.؛ سيجرت، أ. ج. ف. (1947). "تمثيل صريح لعملية غاوسية ثابتة" . حوليات الإحصاء الرياضي . 18 (3): 438-442 . doi : 10.1214/aoms/1177730391 .
  5. ↑ بيشوب، سي إم (2006). التعرف على الأنماط والتعلم الآلي . سبرينغر . ISBN 978-0-387-31073-2.
  6. 1 2 3 باربر، ديفيد (2012). الاستدلال البايزي والتعلم الآلي . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-51814-7.
  7. 1 2 3 4 5 6 راسموسن، سي إي؛ ويليامز، سي كي آي (2006). العمليات الغاوسية للتعلم الآلي . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN 978-0-262-18253-9.
  8. ↑ غريمت، جيفري؛ ديفيد ستيرزاكر (2001). الاحتمالات والعمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0198572220.
  9. ↑ سيجر، ماتياس (2004). " العمليات الغاوسية للتعلم الآلي". المجلة الدولية للأنظمة العصبية . 14 (2): 69-104 . CiteSeerX 10.1.1.71.1079 . doi : 10.1142/s0129065704001899 . PMID 15112367. S2CID 52807317 .   
  10. ↑ دادلي، آر إم (1975). "العملية الغاوسية وكيفية التعامل معها" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات . المجلد 2. الصفحات 143-146 .  
  11. ↑ بانيرجي، سوديبتو؛ جيلفاند، آلان إي. (2003). "حول خصائص سلاسة العمليات المكانية" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 84 (1): 85-100 . Bibcode : 2003JMA....84...85B . doi : 10.1016/S0047-259X(02)00016-7 .
  12. ↑ دادلي، آر إم (2010). "دوال العينة للعملية الغاوسية" . مختارات من أعمال آر إم دادلي . المجلد 1. الصفحات 66-103 . doi : 10.1007/978-1-4419-5821-1_13 . ISBN   978-1-4419-5820-4.{{cite book}}تم |journal=تجاهله ( مساعدة )
  13. ^ تلاجراند، ميشيل (2014). الحدود العليا والدنيا للعمليات العشوائية: الأساليب الحديثة والمشكلات الكلاسيكية . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج / سلسلة المسوحات الحديثة في الرياضيات. سبرينغر، هايدلبرغ. رقم ISBN 978-3-642-54074-5.
  14. ↑ ليدو، ميشيل (1996)، "قياس المحيط المتساوي والتحليل الغاوسي"، في دوبروشين، رولان؛ غرونيبوم، بيت؛ ليدو، ميشيل (محررون)، محاضرات في نظرية الاحتمالات والإحصاء: مدرسة سان فلور الصيفية للاحتمالات XXIV–1994 ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1648، برلين: سبرينغر، الصفحات 165–294 ، doi : 10.1007/BFb0095676 ، ISBN   978-3-540-62055-6MR 1600888​ 
  15. ↑ أدلر، روبرت ج. (1990). مقدمة في الاستمرارية، والقيم القصوى، والمواضيع ذات الصلة بالعمليات الغاوسية العامة . المجلد 12. هايوارد، كاليفورنيا: معهد الإحصاء الرياضي. ISBN  0-940600-17-XJSTOR 4355563 . MR 1088478 .​  {{cite book}}تم |journal=تجاهله ( مساعدة )
  16. ↑ بيرمان، سيميون م. (1992). "مراجعة لكتاب: أدلر 1990 'مقدمة في الاستمرارية...'". المراجعات الرياضية . MR 1088478 . 
  17. 1 2 دادلي، آر إم (1967). "أحجام المجموعات الفرعية المدمجة في فضاء هيلبرت واستمرارية العمليات الغاوسية" . مجلة التحليل الوظيفي . 1 (3): 290-330 . doi : 10.1016/0022-1236(67)90017-1 .
  18. 1 2 ماركوس، إم بي؛ شيب، لورانس أ. (1972). "سلوك العينة للعمليات الغاوسية" . وقائع ندوة بيركلي السادسة حول الإحصاء الرياضي والاحتمالات، المجلد الثاني: نظرية الاحتمالات . المجلد 6. جامعة كاليفورنيا، بيركلي. الصفحات 423-441 .  
  19. 1 2 ماركوس، مايكل ب.؛ شيب، لورانس أ. (1970). "استمرارية العمليات الغاوسية" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 151 (2): 377-391 . doi : 10.1090/s0002-9947-1970-0264749-1 . JSTOR 1995502 . 
  20. ↑ عزمودة، إحسان؛ سوتينن، تومي؛ فيتاساري، لوري؛ يازجي، عادل (2014). “الشروط الضرورية والكافية لاستمرارية هولدر للعمليات الغوسية”. الإحصائيات ورسائل الاحتمالية . 94 : 230 – 235. أرخايف : 1403.2215 . دوى : 10.1016/j.spl.2014.07.030 .
  21. ^ دريسكول، مايكل ف. (1973). "إعادة إنتاج البنية الفضائية لنواة هيلبرت لعينة مسارات عملية غاوسية" . Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 26 (4): 309-316 . دوى : 10.1007 / BF00534894 . ISSN 0044-3719 . S2CID 123348980 .  
  22. ↑ جيدلينج، كارل؛ والستروم، نيكلاس؛ ويلز، أدريان؛ شون، توماس ب. (2017-09-19). "عمليات غاوسية مقيدة خطيًا". arXiv : 1703.00787 [ stat.ML ].
  23. ↑ تحتوي وثائق مكتبة scikit-learn أيضًا على أمثلة مماثلة .
  24. ↑ ليو، و.؛ برينسيبي، ج. س.؛ هايكين، س. (2010). الترشيح التكيفي باستخدام النواة: مقدمة شاملة . جون وايلي . ISBN 978-0-470-44753-6أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 4 مارس 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 مارس 2010 .
  25. ↑ ألفاريز، ماوريسيو أ.؛ روساسكو، لورينزو؛ لورانس، نيل د. (2012). "النوى للدوال المتجهة: مراجعة" (ملف PDF) . أسس واتجاهات في تعلم الآلة . 4 (3): 195-266 . doi : 10.1561/2200000036 . S2CID 456491 . 
  26. ↑ تشين، زيكسون؛ وانغ، بو؛ غوربان، ألكسندر ن. (2019). "الانحدار متعدد المتغيرات باستخدام التوزيع الغاوسي وعملية Student-t للتنبؤ متعدد المخرجات" . الحوسبة العصبية وتطبيقاتها . 32 (8): 3005-3028 . arXiv : 1703.04455 . doi : 10.1007/s00521-019-04687-8 .
  27. ↑ شتاين، إم إل (1999). استيفاء البيانات المكانية: بعض النظريات لتقنية كريجينج . سبرينغر .
  28. ↑ سافيس، بول؛ ديوان، يوسف؛ بارتولي، ناتالي؛ لوفيفر، تييري؛ مورلييه، جوزيف (2023). "نواة ارتباط مختلطة الفئات لعملية غاوسية". الحوسبة العصبية . 550 126472. arXiv : 2211.08262 . doi : 10.1016/j.neucom.2023.126472 .
  29. ↑ بلاتانيوس، إيمانويل أ.؛ تشاتزيس، سوتيريوس ب. (2014). "التباين الشرطي غير المتجانس لعملية غاوس المختلطة". معاملات IEEE في تحليل الأنماط والذكاء الآلي . 36 (5): 888-900 . Bibcode : 2014ITPAM..36..888P . doi : 10.1109 / TPAMI.2013.183 . PMID 26353224. S2CID 10424638 .  
  30. ↑ تشاتزيس، سوتيريوس ب. (2013). "نموذج عملية غاوسية للمتغير الكامن مع توزيعات بيتمان-يور المسبقة لتصنيف متعدد الفئات". الحوسبة العصبية . 120 : 482-489 . doi : 10.1016/j.neucom.2013.04.029 .
  31. بانيرجي ، سوديبتو (2017). " الإحصاء الجيولوجي البايزي عالي الأبعاد" . التحليل البايزي . 12 (2): 583-614 . doi : 10.1214/17 - BA1056R . PMC 5790125. PMID 29391920 .  
  32. ↑ سمولا، أ. ج.؛ شويلكوف، ب. (2000). "تقريب المصفوفة الجشعة المتفرقة للتعلم الآلي". وقائع المؤتمر الدولي السابع عشر للتعلم الآلي : 911-918 . CiteSeerX 10.1.1.43.3153 . 
  33. ↑ تشاتو، ل.؛ أوبر، م. (2002). " عمليات غاوسية متفرقة عبر الإنترنت". الحوسبة العصبية . 14 (3): 641-668 . Bibcode : 2002NeCom..14..641C . CiteSeerX 10.1.1.335.9713 . doi : 10.1162/089976602317250933 . PMID 11860686. S2CID 11375333 .   
  34. ↑ بانيرجي، سوديبتو؛ جيلفاند، آلان إي.؛ فينلي، أندرو أو.؛ ​​سانغ، هويان (2008). "نماذج العمليات التنبؤية الغاوسية لمجموعات البيانات المكانية الكبيرة" . مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب (المنهجية الإحصائية) . 70 (4): 825-848 . doi : 10.1111/j.1467-9868.2008.00663.x . PMC 2741335. PMID 19750209 .  
  35. ↑ لي، سي يون؛ ماليك، باني (2021). "النمذجة الهرمية البايزية: تطبيقها على نتائج الإنتاج في تكوين إيجل فورد الصخري بجنوب تكساس" . سانخيا ب . 84 : 1-43 . doi : 10.1007/s13571-020-00245-8 .
  36. 1 2 داتا، أبهيروب؛ بانيرجي، سوديبتو؛ فينلي، أندرو؛ جيلفاند، آلان (2016). "نماذج العمليات الغاوسية الهرمية لأقرب جار للبيانات المكانية الكبيرة" . مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 111 (514): 800-812 . doi : 10.1080/01621459.2015.1044091 . PMC 5927603. PMID 29720777 .  
  37. ↑ رانفتل، ساشا؛ ميليتو، جيان ماركو؛ باديلي، وحيد؛ راينباخر-كوستينجر، أليس؛ إليرمان، كاترين؛ فون دير ليندن، فولفغانغ (31 ديسمبر 2019). "القياس الكمي لعدم اليقين باستخدام بايز مع بيانات متعددة الدقة وعمليات غاوسية لتخطيط معاوقة القلب في حالات تسلخ الأبهر" . إنتروبي . 22 ( 1): 58. Bibcode : 2019Entrp..22...58R . doi : 10.3390/e22010058 . ISSN 1099-4300 . PMC 7516489. PMID 33285833 .   
  38. ↑ نوفاك، رومان؛ شياو، ليتشاو؛ هرون، جيري؛ لي، جاي هون؛ أليمي، ألكسندر أ.؛ سول-ديكستين، ياشا؛ شونهولز، صموئيل س. (2020). "المماسات العصبية: شبكات عصبية لا نهائية سريعة وسهلة في بايثون". المؤتمر الدولي حول تمثيلات التعلم . arXiv : 1912.02803 .
  39. ↑ نيل، رادفورد م. (2012). التعلم البايزي للشبكات العصبية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا.
  40. ↑ موس، هنري ب.؛ غريفيث، رايان-ريس (2020)، التنبؤ بخصائص الجزيئات باستخدام عملية غاوسية مع FlowMO ، arXiv : 2010.01118
  41. ↑ غريفيث، رايان-ريس (2022). تطبيقات العمليات الغاوسية على نطاقات طولية قصوى: من الجزيئات إلى الثقوب السوداء (أطروحة دكتوراه). جامعة كامبريدج. arXiv : 2303.14291 . doi : 10.17863/CAM.93643 .
  42. ↑ شانكس، ب. ل.؛ سوليفان، هـ. و.؛ شازيد، أ. ر.؛ هوبفنر، م. ب. (2024). "الاستدلال البايزي المُعجَّل لمحاكاة الجزيئات باستخدام نماذج بديلة للعمليات الغاوسية المحلية" . مجلة نظرية الحساب الكيميائي . 20 (9): 3798-3808 . arXiv : 2310.19108 . Bibcode : 2024JCTC...20.3798S . doi : 10.1021/acs.jctc.3c01358 . PMID : 38551198 . 
  43. ↑ موريس، بريت م؛ بوبرا، مونيكا ج؛ أغول، إريك؛ لي، يو جين؛ هاولي، سوزان ل (21 أبريل 2020). "مستوى ضوضاء التغيرات النجمية لقياس ضوء الكواكب الخارجية العابرة باستخدام PLATO" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 493 (4): 5489-5498 . arXiv : 2002.08072 . doi : 10.1093/mnras/staa618 . ISSN 0035-8711 . 
  44. ↑ راجبول، ف.؛ إيجرين، س.؛ أوزبورن، م.أ.؛ ريس، س.؛ روبرتس، س. (21-09-2015). "إطار عمل العمليات الغاوسية لنمذجة إشارات النشاط النجمي في بيانات السرعة الشعاعية" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 452 (3): 2269-2291 . arXiv : 1506.07304 . doi : 10.1093/mnras/stv1428 . ISSN 0035-8711 . 
  45. 1 2 3 4 5 إيجرين، سوزان؛ فورمان-ماكي، دانيال (2023). "انحدار العمليات الغاوسية للسلاسل الزمنية الفلكية" . المراجعة السنوية لعلم الفلك والفيزياء الفلكية . 61 : 350-359 . arXiv : 2209.08940 . Bibcode : 2023ARA & A..61..329A . doi : 10.1146/annurev-astro-052920-103508 .
  46. ↑ باراغان، أ؛ إيغراين، س؛ كوبيشكينا، د؛ غاندولفي، د؛ ليفينغستون، ج؛ فريدلوند، م.ك.ف؛ فوساتي، ل؛ كورث، ج؛ بارفيانين، هـ؛ مالافولتا، ل؛ بال، إ؛ ديغ، هـ.ج؛ نواك، ج؛ راجبول، ف.م؛ زيكر، ن (21-11-2019). "تأكيد السرعة الشعاعية لـ K2-100b: نبتون ساخن عابر، شاب، شديد الإشعاع، ومنخفض الكثافة" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 490 (1): 698-708 . arXiv : 1909.05252 . doi : 10.1093/mnras/stz2569 . ISSN 0035-8711 . 
  47. ↑ هايوود، آر دي؛ كولير كاميرون، إيه؛ كيلوز، دي؛ باروس، إس سي سي؛ ديلويل، إم؛ فارس، آر؛ جيلون، إم؛ لانزا، إيه إف؛ لوفيس، سي؛ موتو، سي؛ بيبي، إف؛ بولاكو، دي؛ سانتيرن، إيه؛ سيغرانسان، دي؛ أونرو، واي سي (21-09-2014). "الكواكب والنشاط النجمي: لعبة الاختباء في نظام CoRoT-7★" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 443 (3): 2517-2531 . arXiv : 1407.1044 . doi : 10.1093/mnras/stu1320 . ISSN 1365-2966 . 
  48. ↑ إيجرين، س.؛ بونت، ف.؛ زوكر، س. (2012-02-01). "طريقة بسيطة لتقدير تغيرات السرعة الشعاعية الناتجة عن النشاط النجمي باستخدام القياس الضوئي" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 419 (4): 3147-3158 . arXiv : 1110.1034 . Bibcode : 2012MNRAS.419.3147A . doi : 10.1111/j.1365-2966.2011.19960.x . ISSN 0035-8711 . 
  49. ↑ نيكلسون، ب.أ؛ إيجرين، س. (18 أغسطس/آب 2022). "عمليات غاوسية شبه دورية للنشاط النجمي: من المعاملات الفيزيائية إلى معاملات النواة" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 515 (4): 5251-5266 . doi : 10.1093/mnras/stac2097 . ISSN 0035-8711 . 
  50. ^ كوزلوفسكي ، سيمون. كوتشانيك، كريستوفر س. أودالسكي، أ.؛ ويرزيكوسكي، ł؛ سوسزينسكي، أنا؛ زيمانسكي، عضو الكنيست؛ كوبياك، م.؛ بيترزينسكي، ج.؛ سزيفكزيك، O .؛ أولاكزيك، ك. بوليسكي، ر. تعاون OGLE (2010/01/10). "قياس تقلبات الكوازار كجزء من نهج عام لتصنيف المصادر المتغيرة باستمرار" . مجلة الفيزياء الفلكية . 708 (2): 927– 945. أرخايف : 0909.1326 . بيب كود : 2010ApJ...708..927K . دوى : 10.1088/0004-637X/708/2/927 . ISSN 0004-637X . 
  51. ↑ ماكلويد، سي إل؛ إيفيزيتش، ز.؛ كوتشانيك، سي إس؛ كوزلوفسكي، إس.؛ كيلي، بي.؛ بولوك، إي.؛ كيمبال، إيه.؛ سيزار، بي.؛ ويستمان، دي.؛ بروكس، ك.؛ جيبسون، آر.؛ بيكر، إيه سي؛ دي فريس، دبليو إتش (2010-10-01). "نمذجة التغير الزمني للكوازارات في شريط SDSS 82 كمسار عشوائي مُخمّد" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 721 (2): 1014-1033 . arXiv : 1004.0276 . Bibcode : 2010ApJ...721.1014M . doi : 10.1088/0004-637X/721/2/ 1014 . ISSN 0004-637X . 
  52. ↑ أبوت، ر.؛ أبوت، ت.د.؛ أبراهام، س.؛ أسيرنيس، ف.؛ أكلي، ك.؛ آدامز، س.؛ أدهيكاري، ر.إكس.؛ أديا، ف.ب.؛ أفيلدت، س.؛ أغاثوس، م.؛ أغاتسوما، ك.؛ أغاروال، ن.؛ أغيار، أ.د.؛ آيش، أ.؛ أييلو، ل. (2020-06-01). "GW190814: موجات الجاذبية الناتجة عن اندماج ثقب أسود كتلته 23 كتلة شمسية مع جسم مضغوط كتلته 2.6 كتلة شمسية" . رسائل المجلة الفيزيائية الفلكية . 896 (2): L44. arXiv : 2006.12611 . Bibcode : 2020ApJ...896L..44A . doi : 10.3847/2041-8213/ab960f . ISSN 2041-8205 . 
  53. ↑ لوخنر، ميشيل؛ ماكوين، جيسون د.؛ بيريس، هيرانيا ف.؛ لاهاف، عوفر؛ وينتر، ماكس ك. (2016-08-01). "التصنيف الضوئي للمستعرات العظمى باستخدام التعلم الآلي" . سلسلة ملاحق المجلة الفيزيائية الفلكية . 225 (2): 31. arXiv : 1603.00882 . Bibcode : 2016ApJS..225...31L . doi : 10.3847/0067-0049/225/2/31 . ISSN 0067-0049 . 
  54. ↑ يانغ، شينبانغ؛ يان، داهي؛ تشانغ، بنغفي؛ داي، بنزهونغ؛ تشانغ، لي (2021-02-01). "نمذجة العمليات الغاوسية لتغيرات البلازارات ذات أشعة غاما في مرصد فيرمي-لات: عينة من البلازارات ذات شبه دورية أشعة غاما" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 907 (2): 105. arXiv : 2011.10186 . Bibcode : 2021ApJ...907..105Y . doi : 10.3847/1538-4357/abcbff . ISSN 0004-637X . 
  55. ↑ فان هاستيرين، روتجر؛ فاليسنيري، ميشيل (11 نوفمبر 2014). "تطورات جديدة في منهجية العملية الغاوسية لتحليل بيانات توقيت النبضات" . مجلة Physical Review D. 90 ( 10) 104012. arXiv : 1407.1838 . Bibcode : 2014PhRvD..90j4012V . doi : 10.1103/PhysRevD.90.104012 . ISSN 1550-7998 . 

الأدب

برمجة

دروس فيديو