وظيفة الفجوات

في التحليل الرياضي ، الدالة أو المتسلسلة الفجوية هي دالة تحليلية لا يمكن تمديدها تحليليًا في أي مكان خارج نصف قطر التقارب الذي تُعرَّف ضمنه بواسطة متسلسلة قوى . كلمة "فجوية" مشتقة من كلمة "فجوة" ( جمعها " فجوات")، والتي تعني فجوة أو فراغ.

تضمنت الأمثلة الأولى للدوال الفجوية متسلسلات تايلور ذات فجوات كبيرة، أو فجوات، بين المعاملات غير الصفرية لتوسعاتها. وتتناول الدراسات الحديثة متسلسلات فورييه ذات فجوات مماثلة بين المعاملات غير الصفرية. وفي الاستخدام الحديث، قد تكون المتسلسلة الفجوية إما متسلسلة تايلور أو متسلسلة فورييه.

اختر عددًا صحيحًا${\displaystyle a\geq 2}$لنفترض الدالة التالية المعرفة بواسطة متسلسلة قوى:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty}z^{a^{n}}=z+z^{a}+z^{a^{2}}+z^{a^{3}}+z^{a^{4}}+\cdots \,}$

تتقارب متسلسلة القوى تقاربًا منتظمًا محليًا على أي مجال مفتوح | z | < 1. ويمكن إثبات ذلك بمقارنة f بالمتسلسلة الهندسية ، التي تتقارب تقاربًا مطلقًا عندما | z | < 1. لذا فإن f دالة تحليلية على قرص الوحدة المفتوح . ومع ذلك، فإن f لها نقاط تفرد كثيفة على دائرة الوحدة ، ولا يمكن تمديدها تحليليًا خارج قرص الوحدة المفتوح، كما توضح الحجة التالية.

من الواضح أن للدالة f نقطة تفرد عند z = 1، لأن

${\displaystyle f(1)=1+1+1+\cdots \,}$

هي متسلسلة متباعدة . ولكن إذا سُمح لـ z بأن تكون غير حقيقية، فستنشأ مشاكل، لأن

${\displaystyle f\left(z^{a}\right)=f(z)-z\qquad f\left(z^{a^{2}}\right)=f(z^{a})-z^{a}\qquad f\left(z^{a^{3}}\right)=f\left(z^{a^{2}}\right)-z^{a^{2}}\qquad \cdots \qquad f\left(z^{a^{n+1}}\right)=f\left(z^{a^{n}}\right)-z^{a^{n}}}$

نلاحظ أن للدالة f نقطة شاذة عند النقطة z عندما يكون z = ^a = 1، وكذلك عندما يكون z ^{= a²} = 1. وبناءً على الاستقراء الموضح في المعادلات السابقة، يجب أن يكون للدالة f نقطة شاذة عند كل جذر من الجذور النونية للوحدة لجميع الأعداد الطبيعية ⁿ . مجموعة جميع هذه النقاط الشاذة كثيفة على دائرة الوحدة؛ لذا يستحيل تعريف f على أي مجموعة مفتوحة تحتوي على دائرة الوحدة، مما يجعل الاستمرار التحليلي مستحيلاً أيضاً. ^{[ 1 ]}

تُظهر الحجة السابقة أن بعض المتسلسلات تُعرّف دوالًا فجوية. لكن ما ليس واضحًا تمامًا هو أن الفجوات بين قوى z قد تنمو ببطء شديد، ومع ذلك ستظل المتسلسلة الناتجة تُعرّف دالة فجوية. ولتوضيح هذا المفهوم بدقة أكبر، يلزم استخدام بعض الرموز الإضافية.

نكتب

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=1}^{\infty}a_{k}z^{\lambda _{k}}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}z^{n}\,}$

حيث b _{_n} = a_{_k} عندما n = λ_{_k} ، و b _{_n}  =  0 فيما عدا ذلك. وتُعرف الفترات التي تكون فيها جميع معاملات b _{_n} في المتسلسلة الثانية أصفارًا باسم الفجوات في المعاملات. وتحدد المتتالية المتزايدة رتيبًا للأعداد الطبيعية الموجبة { λ_{_k} } قوى z التي تقع ضمن متسلسلة القوى للدالة f ( z ).

والآن يمكن صياغة نظرية هادامارد . ^{[ 2 ]} إذا

${\displaystyle {\frac {\lambda _{k}}{\lambda _{k-1}}}>1+\delta \,}$

لكل قيمة لـ k ، حيث δ > 0 ثابت موجب اختياري، فإن f ( z ) دالة فجوية لا يمكن تمديدها خارج دائرة تقاربها. بعبارة أخرى، لا يشترط أن ينمو المتتالية { λk } بسرعة 2k حتى ^تكون f (z) دالة فجوية ، بل _يكفي أن تنمو بسرعة متتابعة هندسية (1 + δ ) ^k . ويُقال إن المتسلسلة التي ينمو فيها λk بهذه السرعة تحتوي على _فجوات هادامارد . انظر نظرية فجوة أوستروفسكي-هادامارد .  

كما قام علماء الرياضيات بدراسة خصائص المتسلسلات المثلثية الفجوية

${\displaystyle S((\lambda _{k})_{k},\theta )=\sum _{k=1}^{\infty}a_{k}\cos(\lambda _{k}\theta )\qquad S((\lambda _{k})_{k},\theta ,\omega )=\sum _{k=1}^{\infty }أ_ {ك}\كوس (\لامدا _ {ك}\ثيتا +\أوميغا )\،}$

حيث تكون قيم λ _k متباعدة. هنا، المعاملات a _k أعداد حقيقية. في هذا السياق، تم التركيز على معايير كافية لضمان تقارب المتسلسلة المثلثية في كل مكان تقريبًا (أي، لكل قيمة تقريبًا للزاوية θ ومعامل التشوه ω ).

• أظهر كولموغوروف أنه إذا احتوت المتتالية { λk _} على فجوات هادامارد، فإن المتسلسلة S ( λk _, θ , ω ) تتقارب (تتباعد) تقريبًا في كل مكان عندما  

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}a_{k}^{2}}$

يتقارب (يتباعد).

• أظهر زيغموند، _في ظل نفس الشرط، أن _S ( λk , θ , ω ) ليست متسلسلة فورييه تمثل دالة قابلة للتكامل عندما يكون مجموع مربعات ak متسلسلة متباعدة. ^{[ 3 ]}  

يمكن اكتساب فهم أعمق للسؤال الأساسي الذي يحفز البحث في متسلسلات القوى الفجوية والمتسلسلات المثلثية الفجوية من خلال إعادة فحص المثال البسيط أعلاه. في ذلك المثال، استخدمنا المتسلسلة الهندسية

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\,}$

واختبار Weierstrass M لإثبات أن المثال البسيط يحدد دالة تحليلية على قرص الوحدة المفتوح.

تُعرّف المتسلسلة الهندسية نفسها دالة تحليلية تتقارب في كل مكان على القرص المغلق ذي الوحدة باستثناء عندما z = 1، حيث يكون للدالة g ( z ) قطب بسيط. ^{[ 4 ]} وبما أن z  = e ^{i θ} للنقاط على دائرة الوحدة، فإن المتسلسلة الهندسية تصبح 

${\displaystyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }e^{in\theta }=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)\,}$

عند قيمة معينة لـ z ، فإن | z ​​| = 1. من هذا المنظور، فإن علماء الرياضيات الذين يدرسون المتسلسلات الفجوية يطرحون السؤال التالي: ما مقدار التشويه الذي يجب أن تتعرض له المتسلسلة الهندسية - عن طريق اقتطاع أجزاء كبيرة، وعن طريق إدخال معاملات a _k ≠ 1 - قبل أن يتحول الكائن الرياضي الناتج من دالة ميرومورفية سلسة إلى شيء يُظهر شكلاً بدائياً من السلوك الفوضوي ؟  

• متابعة تحليلية
• Szolem Mandelbrojt
• بينوا ماندلبروت
• مجموعة ماندلبروت
• نظرية فجوة فابري
• نظرية فجوة أوستروفسكي-هادامارد

• كاتوسي فوكوياما وشيغيرو تاكاهاشي، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 127 #2 الصفحات  599-608 (1999)، "نظرية النهاية المركزية للسلاسل الفجوية".
• Szolem Mandelbrojt و Edward Roy Cecil Miles، كتيب معهد رايس ، المجلد 14 #4 الصفحات  261-284 (1927)، "الوظائف الفجوية".
• إي تي ويتاكر وجي إن واتسون ، دورة في التحليل الحديث ، الطبعة الرابعة، مطبعة جامعة كامبريدج، 1927.

• فوكوياما وتاكاهاشي، 1999 ورقة بحثية (PDF) بعنوان نظرية النهاية المركزية للسلاسل الفجوية ، من الجمعية الأمريكية للرياضيات.
• ماندلبرويت ومايلز، 1927 ورقة بحثية (PDF) بعنوان الدوال الفجوية ، من جامعة رايس.
• مقال من موقع MathWorld حول الدوال الفجوية