اختبار Weierstrass M

في الرياضيات ، يُعد اختبار فايرشتراس إم اختبارًا لتحديد ما إذا كانت متسلسلة لانهائية من الدوال تتقارب بانتظام وتقاربًا مطلقًا . وينطبق هذا الاختبار على المتسلسلات التي تكون حدودها دوالًا محدودة ذات قيم حقيقية أو مركبة ، وهو مماثل لاختبار المقارنة لتحديد تقارب متسلسلات الأعداد الحقيقية أو المركبة. وقد سُمي هذا الاختبار نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فايرشتراس (1815-1897).

اختبار فايرشتراس إم. لنفترض أن ( f_{_n} ) متتالية من الدوال الحقيقية أو المركبة المعرفة على مجموعة A ، وأن هناك متتالية من الأعداد غير السالبة ( M _{_n} ) تحقق الشروط التالية:

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$للجميع${\displaystyle n\geq 1}$وكل شيء${\displaystyle x\in A}$، و
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$يتقارب.

ثم المسلسل

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

يتقارب بشكل مطلق ومنتظم على النقطة A.

تُسمى المتسلسلة التي تحقق الفرضية متسلسلة متقاربة تقاربًا طبيعيًا . غالبًا ما تُستخدم هذه النتيجة مع نظرية النهاية المنتظمة . تنص هاتان النظريتان معًا على أنه إذا كانت المجموعة A ، بالإضافة إلى الشروط المذكورة أعلاه، فضاءً طوبولوجيًا وكانت الدوال f_{_n} متصلة على A ، فإن المتسلسلة تتقارب إلى دالة متصلة.

ضع في اعتبارك سلسلة الدوال

${\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x).}$

منذ المسلسل${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$إذا تقاربت الدالة وكان M _n ≥ 0 لكل n ، فبموجب معيار كوشي ،

${\displaystyle \forall \varepsilon >0:\exists N:\forall m>n>N:\sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

بالنسبة للقيمة N المختارة ،

${\displaystyle \forall x\in A:\forall m>n>N}$

${\displaystyle \left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon .}$

(تنتج المتباينة (1) من متباينة المثلث .)

لكل قيمة x ، فإن المتتالية S_{_n} ( x ) هي متتالية كوشي في R أو C ، وبحسب خاصية الاكتمال ، فإنها تتقارب إلى عدد ما S ( x ) يعتمد على x . بالنسبة لـ n > N، يمكننا كتابة

${\displaystyle \left|S(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\lim _{m\to \infty }S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\lim _{m\to \infty }\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|\leq \varepsilon .}$

بما أن N لا تعتمد على x ، فهذا يعني أن متتالية المجاميع الجزئية S_{_n} تتقارب بانتظام إلى الدالة S. وبالتالي، بحسب التعريف، فإن المتسلسلة${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)}$يتقارب بانتظام.

وبالمثل، يمكن للمرء أن يثبت أن${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|f_{k}(x)|}$يتقارب بانتظام.

يُعتبر اختبار فايرشتراس إم أكثر عمومية إذا كان المجال المشترك للدوال ( f _n ) فضاء باناخ ، وفي هذه الحالة تكون الفرضية

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$

سيتم استبدالها بـ

${\displaystyle \|f_{n}(x)\|\leq M_{n}}$،

أين${\displaystyle \|\cdot \|}$هذا هو المعيار في فضاء باناخ. للاطلاع على مثال لاستخدام هذا الاختبار في فضاء باناخ، انظر مقالة مشتقة فريشيه .

• مثال على اختبار فايرشتراس إم

• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• رودين، والتر (مايو 1986). التحليل الحقيقي والمركب . ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات. ISBN 0-07-054234-1.
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات.
• ويتاكر، إي تي ؛ واتسون، جي إن (1927). دورة في التحليل الحديث (  الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. ص  49.