اختبار كوشي للتقارب

اختبار كوشي للتقارب هو طريقة تُستخدم لاختبار تقارب المتسلسلات اللانهائية . ويعتمد على تحديد حدود مجاميع الحدود في المتسلسلة. سُمّي معيار التقارب هذا نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي الذي نشره في كتابه المدرسي " دروس التحليل" عام 1821. ^{[ 1 ]}

سلسلة${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$تكون متقاربة إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ينطبق على الجميع${\displaystyle n>N}$وكل شيء${\displaystyle p\geq 1}$[ ^{2 ]​}

(أ) رسم بياني لمتتالية كوشي${\displaystyle (x_{n}),}$موضح باللون الأزرق، كما هو موضح باللون الأزرق${\displaystyle x_{n}}$عكس${\displaystyle n}$إذا كانت المساحة التي تحتوي على التسلسل كاملة، فإن "الوجهة النهائية" لهذا التسلسل (أي النهاية) موجودة.

(ب) متتالية ليست من نوع كوشي. لا تقترب عناصر المتتالية من بعضها البعض بشكل عشوائي مع تقدم المتتالية.

تنص النظرية على أنه يمكن تجاهل القيم القريبة من بداية متسلسلة لانهائية عند تحديد التقارب. حتى لو كانت القيم الأولية كبيرة للغاية، فإن تقارب المتسلسلة يعتمد بشكل أكبر على السلوك النهائي لـ${\displaystyle a_{n}}$مثل${\displaystyle n}$يقترب من اللانهاية. ^{[ 3 ]}

ينجح الاختبار لأن المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية والفضاء${\displaystyle \mathbb {C} }$المتسلسلات الكاملة للأعداد المركبة (ذات المقياس المعطى بالقيمة المطلقة ) هي متسلسلات كاملة . ومن هنا، تكون المتسلسلة متقاربة إذا وفقط إذا كانت المجاميع الجزئية

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

هي متتالية كوشي .

لا يمكن استخدام اختبار تقارب كوشي إلا في الفضاءات المترية الكاملة (مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$وهي فضاءات تتقارب فيها جميع متتابعات كوشي. وذلك لأننا نحتاج فقط إلى إثبات أن عناصرها تتقارب بشكل عشوائي بعد تقدم محدود في المتتابعة لإثبات تقارب المتسلسلة.

يمكننا استخدام نتائج تقارب متتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة اللانهائية وتطبيقها على تقارب المتسلسلة اللانهائية نفسها. يُعد اختبار معيار كوشي أحد هذه التطبيقات. لأي متتالية حقيقية${\displaystyle a_{k}}$تشير النتائج المذكورة أعلاه بشأن التقارب إلى أن المتسلسلة اللانهائية

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

يتقارب إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد N بحيث أن m ≥ n ≥ N يستلزم

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .}$^{[ 4 ] : 188}

لعلّ الجزء الأكثر إثارة للاهتمام في هذه النظرية هو أن شرط كوشي يستلزم وجود النهاية: وهذا يرتبط بالفعل باكتمال خط الأعداد الحقيقية. ويمكن تعميم معيار كوشي ليشمل مجموعة متنوعة من الحالات، والتي يمكن تلخيصها جميعًا بشكل عام بعبارة "شرط انعدام التذبذب يكافئ التقارب". ^{[ 5 ]}

تتضمن هذه المقالة مواد من معيار كوشي للتقارب على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .