نواة ماركوف

يأخذ${\displaystyle X=Y=\mathbb {Z} }$، و${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(\mathbb {Z} )}$( مجموعة القوى لـ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ثم يتم تحديد نواة ماركوف بالكامل من خلال الاحتمالية التي تُسندها إلى العناصر الفردية${\displaystyle \{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z} }$لكل${\displaystyle n\in X=\mathbb {Z} }$:

${\displaystyle \kappa (B|n)=\sum _{m\in B}\kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$.

والآن المشي العشوائي ${\displaystyle \kappa }$ هذا يتجه إلى اليمين باحتمالية${\displaystyle p}$ وإلى اليسار باحتمالية${\displaystyle 1-p}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \kappa (\{m\}|n)=p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z} }$

أين${\displaystyle \delta }$هي دالة كرونكر دلتا . احتمالات الانتقال${\displaystyle P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)}$بالنسبة للمسار العشوائي، فهي تعادل نواة ماركوف.

وبشكل عام، يأخذ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$كلاهما قابل للعد و${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)}$مرة أخرى، يتم تعريف نواة ماركوف من خلال الاحتمالية التي تُسندها إلى مجموعات العناصر المفردة لكل عنصر.${\displaystyle i\in X}$

${\displaystyle \kappa (B|i)=\sum _{j\in B}\kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}}$،

نُعرّف عملية ماركوف من خلال تحديد احتمالية الانتقال${\displaystyle P(j|i)=K_{ji}}$حيث الأرقام${\displaystyle K_{ji}}$تعريف مصفوفة عشوائية (قابلة للعد)${\displaystyle (K_{ji})}$أي

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\in Y\times X,\\\sum _{j\in Y}K_{ji}&=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}}$

ثم نحدد

${\displaystyle \kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P(j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}}$.

مرة أخرى، فإن احتمالية الانتقال والمصفوفة العشوائية ونواة ماركوف هي إعادة صياغة متكافئة.

يترك${\displaystyle \nu }$كن مقياسًا لـ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$، و${\displaystyle k:Y\times X\to [0,\infty ]}$دالة قابلة للقياس فيما يتعلق بالمنتج${\displaystyle \sigma }$-الجبر${\displaystyle {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}}$بحيث

${\displaystyle \int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X}$،

ثم${\displaystyle \kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)}$أي عملية التخطيط

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa$ :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{حالات}}}

يُعرّف نواة ماركوف. ^{[ 3 ]} يُعمّم هذا المثال مثال عملية ماركوف القابلة للعد حيث${\displaystyle \nu }$كان مقياس العد . علاوة على ذلك، يشمل أمثلة مهمة أخرى مثل نواة الالتفاف، ولا سيما نواة ماركوف المعرفة بمعادلة الحرارة . يتضمن المثال الأخير نواة غاوس على${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$مع${\displaystyle \nu (dx)=dx}$مقياس ليبيغ القياسي و

${\displaystyle k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}t}}e^{-(y-x)^{2}/(2t^{2})}.}$

يأخذ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$و${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$مساحات قابلة للقياس عشوائية، ولتكن${\displaystyle f:X\to Y}$لتكن دالة قابلة للقياس. الآن عرّف${\displaystyle \kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)}$أي

${\displaystyle \kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f(x)\in B\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$للجميع${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$.

لاحظ أن وظيفة المؤشر${\displaystyle \mathbf {1} _{f^{-1}(B)}}$يكون${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-قابل للقياس للجميع${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$إذا${\displaystyle f}$قابل للقياس.

يُتيح لنا هذا المثال التفكير في نواة ماركوف كدالة معممة ذات قيمة عشوائية (بشكل عام) وليست قيمة محددة. أي أنها دالة متعددة القيم حيث لا تتساوى قيمها في الأهمية.

كمثال أقل وضوحًا، خذ${\displaystyle X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$، و${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$باستخدام جبر سيجما القياسي لمجموعات بوريل . ثم

${\displaystyle \kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\in B)&n\neq 0\\\end{cases}}}$

أين${\displaystyle x}$هو عدد العناصر في الحالة${\displaystyle n}$،${\displaystyle \xi _{i}}$ هي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع (عادةً بمتوسط ​​0) وحيث${\displaystyle \mathbf {1} _{B}}$هي دالة المؤشر . في الحالة البسيطة لرمي العملة، يمثل هذا النموذج المستويات المختلفة للوحة غالتون .

يترك${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},P)}$ليكن فضاء احتمالي و ${\displaystyle \kappa }$نواة ماركوف من ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$إلى البعض${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$إذن، يوجد مقياس فريد ${\displaystyle Q}$على ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})}$بحيث:

${\displaystyle Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.}$

يترك${\displaystyle (S,Y)}$كن مساحة بوريل ،${\displaystyle X}$أ${\displaystyle (S,Y)}$متغير عشوائي ذو قيم على فضاء القياس${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$فرعي-${\displaystyle \sigma }$الجبر. إذن توجد نواة ماركوف${\displaystyle \kappa }$من${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$ل${\displaystyle (S,Y)}$بحيث${\displaystyle \kappa (\cdot ,B)}$هي صيغة من صيغ التوقع الشرطي${\displaystyle \mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]}$لكل${\displaystyle B\in Y}$، أي

${\displaystyle P(X\in B\mid {\mathcal {G}})=\mathbb {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}\right]=\kappa (\cdot ,B),\qquad P{\text{-a.s.}}\,\,\forall B\in Y.}$

يُطلق عليه اسم التوزيع الشرطي المنتظم لـ${\displaystyle X}$منح${\displaystyle {\mathcal {G}}}$وهي غير محددة بشكل فريد.