الدالة المميزة (نظرية الاحتمالات)

إن التقابل المذكور أعلاه بين التوزيعات الاحتمالية والدوال المميزة هو تقابل متصل متسلسلًا . أي أنه كلما تقاربت متتالية من دوال التوزيع F _{_j} ( x ) (تقاربًا ضعيفًا) إلى توزيع ما F ( x ) ، فإن المتتالية المقابلة من الدوال المميزة φ _{_j} ( t ) ستتقارب أيضًا، وستكون النهاية φ ( t ) مطابقة للدالة المميزة للقانون F. وبصورة أدق، يُصاغ هذا على النحو التالي:

تنص نظرية ليفي للاستمرارية على أن متتالية X_{_j} منالمتغيرات العشوائية ذات n متغيرًا تتقارب في التوزيع إلى المتغير العشوائي X _n إذا وفقط إذا كانت المتتالية φ ₁ _{X_j} تتقارب نقطيًا إلى دالة φ متصلة عند نقطة الأصل. حيث φ هي الدالة المميزة لـ X _n . ^{[ 14 ]}

يمكن استخدام هذه النظرية لإثبات قانون الأعداد الكبيرة ونظرية النهاية المركزية .

توجد علاقة تناظرية بين دوال التوزيع التراكمي والدوال المميزة، لذا يُمكن إيجاد إحدى هاتين الدالتين بمعرفة الأخرى. تسمح لنا الصيغة الواردة في تعريف الدالة المميزة بحساب φ عندما نعرف دالة التوزيع F (أو دالة الكثافة f ). أما إذا كنا نعرف الدالة المميزة φ ونريد إيجاد دالة التوزيع المقابلة لها، فيمكن استخدام إحدى نظريات الانعكاس التالية.

نظرية . إذا كانت الدالة المميزة φX لمتغير عشوائي X قابلة للتكامل ، فإن FX تكون متصلة اتصالاً مطلقاً، وبالتالي فإن _X لها دالة كثافة احتمالية . في حالة المتغير الواحد (أي عندما يكون X عددًا قياسيًا)، تُعطى دالة الكثافة بالصيغة التالية _:$${\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

في حالة المتغيرات المتعددة يكون $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-i(t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)}$$

أين${\textstyle t\cdot x}$هو حاصل الضرب النقطي .

دالة الكثافة هي مشتقة رادون-نيكوديم للتوزيع μ _X بالنسبة إلى مقياس ليبيغ λ : $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d\mu _{X}}{d\lambda }}(x).}$$

نظرية (ليفي) . ^{[ ملاحظة 1 ]} إذا كانت φ _X دالة مميزة لدالة التوزيع F _X ، وكانت هناك نقطتان a < b بحيث تكون { x | a < x < b } مجموعة استمرارية لـ μ _X (في حالة المتغير الواحد، يكون هذا الشرط مكافئًا لاستمرارية F _X عند النقطتين a و b )، فإن

• إذا كان X كمية قياسية:$${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt.}$$يمكن إعادة صياغة هذه الصيغة بشكل أكثر ملاءمة للحساب العددي على النحو التالي ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x-h)}{2h}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ht}{ht}}e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$بالنسبة لمتغير عشوائي محدود من الأسفل، يمكن الحصول على${\displaystyle F(b)}$عن طريق أخذ${\displaystyle a}$بحيث${\displaystyle F(a)=0.}$أما إذا لم يكن المتغير العشوائي محدودًا من الأسفل، فإن النهاية لـ${\displaystyle a\to -\infty }$أعطِ${\displaystyle F(b)}$، ولكنه غير عملي من الناحية العددية. ^{[ 15 ]}
• إذا كان X متغيرًا عشوائيًا متجهًا:$${\displaystyle \mu _{X}{\big (}\{a<x<b\}{\big )}={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\int \limits _{-T_{1}\leq t_{1}\leq T_{1}}\cdots \int \limits _{-T_{n}\leq t_{n}\leq T_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {e^{-it_{k}a_{k}}-e^{-it_{k}b_{k}}}{it_{k}}}\right)\varphi _{X}(t)\lambda (dt_{1}\times \cdots \times dt_{n})}$$

نظرية . إذا كان a (ربما) ذرة من X (في حالة المتغير الواحد، هذا يعني نقطة انقطاع لـ F _X ) فإن

• إذا كان X كمية قياسية:$${\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)\,dt}$$
• إذا كان X متغيرًا عشوائيًا متجهًا: ^{[ 16 ]}$${\displaystyle \mu _{X}(\{a\})=\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{2T_{k}}}\right)\int \limits _{[-T_{1},T_{1}]\times \dots \times [-T_{n},T_{n}]}e^{-i(t\cdot a)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)}$$

نظرية (جيل-بيلايز) . ^{[ 17 ]} بالنسبة لمتغير عشوائي أحادي المتغير X ، إذا كانت x نقطة استمرارية لـ F _X فإن

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Im} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]}{t}}\,dt}$

حيث الجزء التخيلي من العدد المركب${\displaystyle z}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \mathrm {Im} (z)=(z-z^{*})/2i}$.

ودالة الكثافة الخاصة بها هي:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]\,dt}$

قد لا يكون التكامل قابلاً للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ ؛ على سبيل المثال، عندما يكون X هو المتغير العشوائي المنفصل الذي يساوي دائمًا 0، فإنه يصبح تكامل ديريشليه .

تتوفر صيغ الانعكاس للتوزيعات متعددة المتغيرات. ^{[ 15 ] [ 18 ]}

مجموعة جميع الدوال المميزة مغلقة تحت عمليات معينة:

• تركيبة خطية محدبة${\textstyle \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}(t)}$(مع${\textstyle a_{n}\geq 0,\ \sum _{n}a_{n}=1}$) لعدد محدود أو قابل للعد من الدوال المميزة هي أيضًا دالة مميزة.
• إن حاصل ضرب عدد محدود من الدوال المميزة هو أيضاً دالة مميزة. وينطبق الأمر نفسه على حاصل ضرب عدد لا نهائي بشرط أن يتقارب إلى دالة متصلة عند نقطة الأصل.
• إذا كانت φ دالة مميزة و α عددًا حقيقيًا، فإن${\displaystyle {\bar {\varphi }}}$، Re( φ ), | φ | ² , و φ ( αt ) هي أيضًا دوال مميزة.

من المعروف أن أي دالة تراكمية غير متناقصة F ذات نهايات F (−∞) = 0 و F (+∞) = 1 تُقابل دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي ما. وهناك اهتمام أيضًا بإيجاد معايير بسيطة مماثلة لتحديد متى يمكن لدالة معينة φ أن تكون الدالة المميزة لمتغير عشوائي ما. النتيجة الأساسية هنا هي نظرية بوخنر ، على الرغم من أن فائدتها محدودة لأن الشرط الرئيسي للنظرية، وهو عدم التحديد السالب ، يصعب التحقق منه. توجد نظريات أخرى أيضًا، مثل نظرية خينشين، ونظرية ماثياس، ونظرية كرامر، على الرغم من أن تطبيقها لا يقل صعوبة. من ناحية أخرى، تُقدم نظرية بوليا شرطًا بسيطًا جدًا للتحدب، وهو شرط كافٍ ولكنه ليس ضروريًا. تُسمى الدوال المميزة التي تُحقق هذا الشرط دوال بوليا. ^{[ 19 ]}

نظرية بوخنر . الدالة العشوائية φ  : R ⁿ → C هي الدالة المميزة لمتغير عشوائي ما إذا وفقط إذاكانت φ موجبة التحديد ، ومتصلة عند نقطة الأصل، وإذا كانت φ (0) = 1 .

معيار خينشين . الدالة φ ذات القيم المركبة والمتصلة اتصالاً مطلقاً ، حيث φ (0) = 1 ، هي دالة مميزة إذا وفقط إذا كانت تقبل التمثيل التالي:

${\displaystyle \varphi (t)=\int _{\mathbf {R} }g(t+\theta ){\overline {g(\theta )}}\,d\theta .}$

نظرية ماثياس . الدالة φ ، وهي دالة حقيقية، زوجية، متصلة، وقابلة للتكامل المطلق ، حيث φ (0) = 1 ، تكون دالة مميزة إذا وفقط إذا

${\displaystyle (-1)^{n}\left(\int _{\mathbf {R} }\varphi (pt)e^{-t^{2}/2}H_{2n}(t)\,dt\right)\geq 0}$

لـ n = 0,1,2,... ، وجميع p > 0. هنا H _{2 n} يرمز إلى متعددة حدود هيرميت من الدرجة 2 n .

نظرية بوليا . إذا${\displaystyle \varphi }$هي دالة حقيقية القيمة، زوجية، ومتصلة تحقق الشروط التالية:

• ${\displaystyle \varphi (0)=1}$،
• ${\displaystyle \varphi }$محدب لـ​${\displaystyle t>0}$،
• ${\displaystyle \varphi (\infty )=0}$،

إذن فإن φ ( t ) هي الدالة المميزة لتوزيع مستمر تمامًا ومتماثل حول الصفر.

تُعدّ الدوال المميزة مفيدة بشكل خاص للتعامل مع الدوال الخطية للمتغيرات العشوائية المستقلة . على سبيل المثال، إذا كانت _X1 ، X2 ، _... ، _Xn عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة (وليس بالضرورة أن تكون متطابقة التوزيع)، و

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!}$

حيث aᵢ ثوابت، فإن الدالة المميزة لـ Sₙ تُعطى بالصيغة _{التالية :}

${\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)\,\!}$

وبالتحديد، فإن φX _+Y ( t ) = φX ₍ t ) φY ( _t ) . ولتوضيح ذلك ، اكتب تعريف الدالة المميزة:

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}$

إن استقلال X و Y مطلوب لإثبات تساوي التعبيرين الثالث والرابع.

ثمة حالة خاصة أخرى جديرة بالاهتمام للمتغيرات العشوائية ذات التوزيع المتطابق، وهي عندما يكون _{aᵢ =} 1 / n ، ويكون Sᵢ هو متوسط ​​العينة. في هذه الحالة، نرمز للمتوسط ​​بـ X.

${\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\varphi _{X}\!\left({\tfrac {t}{n}}\right)^{n}}$

^يمكن أيضاً استخدام الدوال المميزة لإيجاد عزوم المتغير العشوائي. بافتراض وجود العزم النوني ، يمكن اشتقاق الدالة المميزة ن مرة.

$${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!}$$

يمكن كتابة ذلك رسميًا باستخدام مشتقات دالة ديراك دلتا :$${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)\operatorname {E} [X^{n}]}$$مما يسمح بإيجاد حل رسمي لمسألة العزوم . على سبيل المثال، لنفترض أن X يتبع توزيع كوشي القياسي . عندئذٍ _{، φX} ( t ) = e⁻ ^{| t |} . هذه الدالة غير قابلة للتفاضل عند t = 0 ، مما يدل على أن توزيع كوشي ليس له قيمة متوقعة . كذلك، فإن الدالة المميزة لمتوسط ​​العينة X لـ n مشاهدة مستقلة هي φX ₍ t ) = ( e⁻ ^{| t |/ n} ) ⁿ = e⁻ ^{| t |} ، وذلك باستخدام النتيجة من القسم السابق. هذه هي الدالة المميزة لتوزيع كوشي القياسي: وبالتالي، فإن متوسط ​​العينة له نفس توزيع المجتمع الإحصائي نفسه.

كمثال آخر، لنفترض أن X يتبع توزيعًا غاوسيًا ، أي${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$. ثم${\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{\mu it-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$و

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X\right]=i^{-1}\left[{\frac {d}{dt}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-1}\left[(i\mu -\sigma ^{2}t)\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=\mu }$

تُظهر حسابات مماثلة${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]=\mu ^{2}+\sigma ^{2}}$وهي أسهل في التنفيذ من تطبيق تعريف التوقع واستخدام التكامل بالتجزئة للتقييم${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{2}\right]}$.

إن لوغاريتم الدالة المميزة هو دالة توليد التراكمات ، وهو أمر مفيد لإيجاد التراكمات ؛ وبدلاً من ذلك، يعرف البعض دالة توليد التراكمات على أنها لوغاريتم دالة توليد العزوم ، ويطلقون على لوغاريتم الدالة المميزة اسم دالة توليد التراكمات الثانية .

يمكن استخدام الدوال المميزة كجزء من إجراءات ملاءمة التوزيعات الاحتمالية لعينات البيانات. ومن الحالات التي يُعدّ فيها هذا خيارًا عمليًا مقارنةً بالخيارات الأخرى، ملاءمة التوزيع المستقر نظرًا لعدم توفر صيغ مغلقة للكثافة، مما يُصعّب تطبيق تقدير الاحتمال الأقصى . تتوفر إجراءات تقدير تُطابق الدالة المميزة النظرية مع الدالة المميزة التجريبية المحسوبة من البيانات. يُقدّم بولسون وآخرون (1975) ^{[ 20 ]} وهيثكوت (1977) ^{[ 21 ]} بعض الخلفية النظرية لمثل هذا الإجراء التقديري. بالإضافة إلى ذلك، يصف يو (2004) ^{[ 22 ]} تطبيقات الدوال المميزة التجريبية لملاءمة نماذج السلاسل الزمنية حيث تكون إجراءات الاحتمال غير عملية. كما استخدم أنصاري وآخرون (2020) ^{[ 23 ]} ولي وآخرون (2020) ^{[ 24 ]} الدوال المميزة التجريبية لتدريب الشبكات التوليدية التنافسية .

يتميز توزيع جاما ذو معامل المقياس θ ومعامل الشكل k بالدالة المميزة

${\displaystyle (1-\theta it)^{-k}.}$

لنفترض الآن أن لدينا

${\displaystyle X~\sim \Gamma (k_{1},\theta ){\mbox{ and }}Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )}$

بفرض أن X و Y متغيران مستقلان عن بعضهما البعض، ونريد معرفة توزيع X + Y. الدوال المميزة هي

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-\theta it)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta it)^{-k_{2}}}$

والذي يؤدي، من خلال الاستقلال والخصائص الأساسية للدالة المميزة، إلى

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta it)^{-k_{1}}(1-\theta it)^{-k_{2}}=\left(1-\theta it\right)^{-(k_{1}+k_{2})}.}$

_{هذه هي الدالة} المميزة لمعامل المقياس θ لتوزيع جاما ومعامل الشكل k1 + _k2 ، ولذلك نستنتج

${\displaystyle X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )}$

يمكن توسيع النتيجة لتشمل n من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة وفقًا لتوزيع جاما ولها نفس معامل المقياس، فنحصل على

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right).}$