متغير عشوائي معقد

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، تُعدّ المتغيرات العشوائية المركبة تعميمًا للمتغيرات العشوائية الحقيقية إلى الأعداد المركبة ، أي أن القيم الممكنة التي قد يأخذها متغير عشوائي مركب هي أعداد مركبة. ^{[ 1 ]} يمكن دائمًا اعتبار المتغيرات العشوائية المركبة أزواجًا من المتغيرات العشوائية الحقيقية: أجزاؤها الحقيقية والتخيلية. لذلك، يمكن تفسير توزيع متغير عشوائي مركب واحد على أنه التوزيع المشترك لمتغيرين عشوائيين حقيقيين.

بعض مفاهيم المتغيرات العشوائية الحقيقية قابلة للتعميم المباشر على المتغيرات العشوائية المركبة، مثل تعريف متوسط ​​المتغير العشوائي المركب. بينما توجد مفاهيم أخرى خاصة بالمتغيرات العشوائية المركبة.

توجد تطبيقات المتغيرات العشوائية المعقدة في معالجة الإشارات الرقمية ، ^{[ 2 ]} وتعديل السعة التربيعية ونظرية المعلومات .

متغير عشوائي معقد${\displaystyle Z}$في فضاء الاحتمالات${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$هي دالة${\displaystyle Z\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$بحيث يكون كلا جزئيها الحقيقي${\displaystyle \Re {(Z)}}$وجزئه الخيالي${\displaystyle \Im {(Z)}}$هي متغيرات عشوائية حقيقية على${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$.

إن تعميم دالة التوزيع التراكمي من المتغيرات العشوائية الحقيقية إلى المتغيرات العشوائية المركبة ليس واضحًا لأن التعبيرات من الشكل${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$لا معنى لها. ومع ذلك، فإن التعبيرات من هذا الشكل${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$هذا منطقي. لذلك، نُعرّف التوزيع التراكمي${\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \to [0,1]}$من خلال التوزيع المشترك لأجزائها الحقيقية والخيالية:

${\displaystyle F_{Z}(z)=F_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})=P(\Re {(Z)}\leq \Re {(z)},\Im {(Z)}\leq \Im {(z)})}$

المعادلة 1

تُعرَّف دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مركب على النحو التالي:${\displaystyle f_{Z}(z)=f_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})}$أي قيمة دالة الكثافة عند نقطة ما${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$يُعرَّف بأنه يساوي قيمة الكثافة المشتركة للأجزاء الحقيقية والخيالية للمتغير العشوائي عند النقطة${\displaystyle (\Re {(z)},\Im {(z)})}$.

يُعطى تعريف مكافئ بواسطة${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}P(\Re {(Z)}\leq x,\Im {(Z)}\leq y)}$أين${\displaystyle x=\Re {(z)}}$و${\displaystyle y=\Im {(z)}}$.

كما هو الحال في الواقع، قد لا تكون دالة الكثافة موجودة.

يُعرَّف التوقع لمتغير عشوائي مركب بناءً على تعريف التوقع لمتغير عشوائي حقيقي: ^{[ 3 ] : ص 112}

${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [\Re {(Z)}]+i\operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$

المعادلة 2

لاحظ أن القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي مركب غير موجودة إذا${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}$أو${\displaystyle \operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$غير موجود.

إذا كان المتغير العشوائي المركب${\displaystyle Z}$لها دالة كثافة احتمالية${\displaystyle f_{Z}(z)}$إذن، يُعطى التوقع بواسطة${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\iint _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)\,dx\,dy}$.

إذا كان المتغير العشوائي المركب${\displaystyle Z}$لها دالة كتلة احتمالية${\displaystyle p_{Z}}$مدعوم على${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$إذن، يُعطى التوقع بواسطة${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in D}z\cdot p_{Z}(z)}$.

ملكيات

كلما وُجدت القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي مركب، فإن أخذ القيمة المتوقعة والمرافق المركب يتبادلان:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}$

عامل القيمة المتوقعة ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$خطي بمعنى أن

${\displaystyle \operatorname {E} [aZ+bW]=a\operatorname {E} [Z]+b\operatorname {E} [W]}$

لأي معاملات مركبة${\displaystyle a,b}$حتى لو${\displaystyle Z}$و${\displaystyle W}$ليست مستقلة .

يُعرَّف التباين بدلالة المربعات المطلقة كما يلي: ^{[ 3 ] : 117}

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [Z]=\operatorname {E} \left[\left|Z-\operatorname {E} [Z]\right|^{2}\right]=\operatorname {E} [|Z|^{2}]-\left|\operatorname {E} [Z]\right|^{2}}$

المعادلة 3

ملكيات

التباين هو دائمًا عدد حقيقي غير سالب. وهو يساوي مجموع تباينات الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للمتغير العشوائي المركب.

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}$

يمكن حساب تباين التركيبة الخطية للمتغيرات العشوائية المعقدة باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}$

التباين الزائف

التباين الزائف هو حالة خاصة من التباين المشترك الزائف، ويتم تعريفه بدلالة المربعات المركبة العادية ، كما يلي:

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])^{2}]=\operatorname {E} [Z^{2}]-(\operatorname {E} [Z])^{2}}$

المعادلة 4

على عكس تباين${\displaystyle Z}$، وهو دائمًا حقيقي وإيجابي، التباين الزائف لـ${\displaystyle Z}$هو معقد بشكل عام.

بالنسبة لمتغير عشوائي مركب عام، فإن الزوج${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$لها مصفوفة تباين مشتركة على الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}}$

المصفوفة متناظرة، لذا${\displaystyle \operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]}$

عناصرها تساوي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}+\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}-\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{ZZ})\\\end{aligned}}}$

وعلى العكس:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\\&\operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]-\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]+i2\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\end{aligned}}}$

التباين المشترك بين متغيرين عشوائيين معقدين${\displaystyle Z,W}$يُعرَّف على النحو التالي ^{[ 3 ] : 119}

${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,W]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}]=\operatorname {E} [Z{\overline {W}}]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [{\overline {W}}]}$

المعادلة 5

لاحظ المرافق المعقد للعامل الثاني في التعريف.

وعلى النقيض من المتغيرات العشوائية الحقيقية، فإننا نُعرّف أيضًا التغاير الزائف (ويُسمى أيضًا التباين التكميلي ):

${\displaystyle \operatorname {J} _{ZW}=\operatorname {Cov} [Z,{\overline {W}}]=\operatorname {E} [(Z-\operatorname {E} [Z])(W-\operatorname {E} [W])]=\operatorname {E} [ZW]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} [W]}$

المعادلة 6

تتميز إحصائيات الرتبة الثانية بشكل كامل من خلال التغاير والتغاير الزائف.

ملكيات

يتمتع التغاير بالخصائص التالية:

• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}$(التناظر المترافق)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}$(الخطية المتعامدة)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}$
• عدم الارتباط: متغيران عشوائيان معقدان${\displaystyle Z}$و${\displaystyle W}$تُسمى غير مترابطة إذا${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {J} _{ZW}=0}$(انظر أيضًا: عدم الارتباط (نظرية الاحتمالات) ).
• التعامد: متغيران عشوائيان معقدان${\displaystyle Z}$و${\displaystyle W}$تُسمى متعامدة إذا${\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}$.

يُعدّ التناظر الدائري للمتغيرات العشوائية المركبة فرضية شائعة الاستخدام في مجال الاتصالات اللاسلكية. ومن الأمثلة النموذجية على المتغيرات العشوائية المركبة المتناظرة دائريًا، المتغير العشوائي الغاوسي المركب ذو المتوسط ​​الصفري ومصفوفة التغاير الزائف الصفرية.

متغير عشوائي معقد${\displaystyle Z}$تكون متناظرة دائريًا إذا، لأي دالة حتمية${\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}$، توزيع${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$يساوي توزيع${\displaystyle Z}$.

ملكيات

بحسب التعريف، فإن المتغير العشوائي المركب المتناظر دائريًا له $${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}$$لأي${\displaystyle \phi }$.

وبالتالي فإن القيمة المتوقعة لمتغير عشوائي معقد متناظر دائريًا لا يمكن أن تكون إلا صفرًا أو غير معرفة.

بالإضافة إلى ذلك، $${\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}$$لأي${\displaystyle \phi }$.

وبالتالي فإن التباين الزائف لمتغير عشوائي معقد متناظر دائريًا لا يمكن أن يكون إلا صفرًا.

لو${\displaystyle Z}$و${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$لها نفس التوزيع، طور${\displaystyle Z}$يجب توزيعها بشكل متساوٍ على${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$وبغض النظر عن سعة${\displaystyle Z}$[ ^{4 ]​}

إن مفهوم المتغيرات العشوائية المناسبة خاص بالمتغيرات العشوائية المعقدة، وليس له مفهوم مقابل مع المتغيرات العشوائية الحقيقية.

متغير عشوائي معقد${\displaystyle Z}$يُطلق عليه اسم "صحيح" إذا تحققت الشروط الثلاثة التالية جميعها:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}$

هذا التعريف يكافئ الشروط التالية. وهذا يعني أن المتغير العشوائي المركب يكون صحيحًا إذا، وفقط إذا:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}$

بالنسبة لمتغير عشوائي مركب مناسب، فإن مصفوفة التغاير للزوج${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$له الشكل البسيط التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}$.

أي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]=\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=0\\\end{aligned}}}$

متباينة كوشي-شفارتز للمتغيرات العشوائية المركبة، والتي يمكن اشتقاقها باستخدام متباينة المثلث ومتباينة هولدر ، هي

${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}$.

الدالة المميزة لمتغير عشوائي مركب هي دالة${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$محدد بواسطة

${\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}$

• لحظة مركزية
• متجه عشوائي معقد