متغير عشوائي

جزء من سلسلة عن الإحصاء
نظرية الاحتمالات
احتمال البديهيات الحتمية نظام عدم التحديد عشوائية
فضاء الاحتمالات مساحة العينة حدث أحداث شاملة بشكل جماعي حدث ابتدائي الحصرية المتبادلة حصيلة سينجلتون تجربة محاكمة برنولي توزيع الاحتمالات توزيع برنولي التوزيع الثنائي التوزيع الأسي التوزيع الطبيعي توزيع باريتو توزيع بواسون مقياس الاحتمالية متغير عشوائي عملية برنولي مستمر أو منفصل القيمة المتوقعة التباين سلسلة ماركوف القيمة المرصودة المشي العشوائي عملية عشوائية
الحدث التكميلي احتمال مشترك احتمال هامشي احتمالية شرطية
استقلال الاستقلال المشروط قانون الاحتمال الكلي قانون الأعداد الكبيرة نظرية بايز متباينة بول
مخطط فين مخطط الشجرة
ف ت هـ

المتغير العشوائي (يُسمى أيضًا الكمية العشوائية أو المتغير العشوائي أو المتغير العشوائي ) هو صياغة رياضية لكمية أو كائن يعتمد على أحداث عشوائية . ^[1] لا يشير مصطلح "المتغير العشوائي" في تعريفه الرياضي إلى العشوائية أو التباين ^{[2] ولكنه بدلاً من ذلك} دالة رياضية حيث

• المجال هو مجموعة النتائج المحتملة في مساحة العينة (على سبيل المثال المجموعة التي تمثل الجوانب العلوية المحتملة لعملة معدنية مقلوبة رأسًا أو ذيلًا كنتيجة لرمي عملة معدنية)؛ و${\displaystyle \{H,T\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$
• النطاق عبارة عن مساحة قابلة للقياس (على سبيل المثال، تتوافق مع المجال أعلاه، وقد يكون النطاق هو المجموعة إذا تم تعيين الرؤوس على -1 وتم تعيينها على 1). عادةً، يكون نطاق المتغير العشوائي عبارة عن مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية .${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$

بشكل غير رسمي، تمثل العشوائية عادةً بعض العناصر الأساسية للصدفة، كما هو الحال في رمي النرد ؛ وقد تمثل أيضًا عدم اليقين، مثل خطأ القياس . ^[1] ومع ذلك، فإن تفسير الاحتمال معقد من الناحية الفلسفية، وحتى في حالات محددة ليس دائمًا واضحًا. التحليل الرياضي البحت للمتغيرات العشوائية مستقل عن مثل هذه الصعوبات التفسيرية، ويمكن أن يستند إلى إعداد بديهي صارم.

في اللغة الرياضية الرسمية لنظرية القياس ، يتم تعريف المتغير العشوائي على أنه دالة قابلة للقياس من مساحة قياس الاحتمال (تسمى مساحة العينة ) إلى مساحة قابلة للقياس . وهذا يسمح بالنظر في مقياس الدفع للأمام ، والذي يسمى توزيع المتغير العشوائي؛ وبالتالي فإن التوزيع هو مقياس احتمال على مجموعة جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي. من الممكن أن يكون لمتغيرين عشوائيين توزيعات متطابقة ولكن تختلف بطرق كبيرة؛ على سبيل المثال، قد يكونا مستقلين .

من الشائع النظر في الحالات الخاصة للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمتغيرات العشوائية المستمرة المطلقة ، والتي تتوافق مع ما إذا كان المتغير العشوائي يتم تقييمه في مجموعة فرعية قابلة للعد أو في فترة من الأعداد الحقيقية . هناك احتمالات مهمة أخرى، وخاصة في نظرية العمليات العشوائية ، حيث من الطبيعي النظر في التسلسلات العشوائية أو الدوال العشوائية . في بعض الأحيان، يتم اعتبار المتغير العشوائي مقدرًا تلقائيًا بالأعداد الحقيقية، مع تسمية الكميات العشوائية الأكثر عمومية بدلاً من ذلك بالعناصر العشوائية .

وفقًا لجورج ماكي ، كان بافنوتي تشيبيشيف أول شخص "يفكر بشكل منهجي من حيث المتغيرات العشوائية". ^[3]

المتغير العشوائي هو دالة قابلة للقياس من مساحة العينة كمجموعة من النتائج المحتملة إلى مساحة قابلة للقياس . يتطلب التعريف البديهي الفني أن تكون مساحة العينة مساحة عينة لثلاثية الاحتمال (انظر التعريف النظري للقياس). غالبًا ما يُشار إلى المتغير العشوائي بأحرف رومانية كبيرة مثل . ^[4]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$${\displaystyle \أوميغا }$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle \أوميغا }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle X,Y,Z,T}$

الاحتمال الذي يأخذ قيمة في مجموعة قابلة للقياس يُكتب على النحو التالي ${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq E}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}$.

في كثير من الحالات، تكون ذات قيمة حقيقية ، أي . في بعض السياقات، يُستخدم مصطلح العنصر العشوائي (انظر الامتدادات) للإشارة إلى متغير عشوائي ليس من هذا الشكل.${\displaystyle X}$${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

عندما تكون صورة (أو نطاق) قابلة للعد بشكل محدود أو لانهائي ، يسمى المتغير العشوائي متغيرًا عشوائيًا منفصلًا ^{[5] : 399} وتوزيعه هو توزيع احتمالي منفصل ، أي يمكن وصفه بدالة كتلة الاحتمال التي تعين احتمالًا لكل قيمة في صورة . إذا كانت الصورة لا نهائية لا يمكن عدها (عادةً ما تكون فترة زمنية ) فإنها تسمى متغيرًا عشوائيًا مستمرًا . ^{[6] [7]} في الحالة الخاصة التي تكون فيها متصلة بشكل مطلق ، يمكن وصف توزيعها بدالة كثافة الاحتمال ، والتي تعين الاحتمالات للفواصل الزمنية؛ على وجه الخصوص، يجب أن يكون لكل نقطة فردية بالضرورة احتمال يساوي صفرًا لمتغير عشوائي مستمر بشكل مطلق. ليست كل المتغيرات العشوائية المستمرة متصلة بشكل مطلق. ^[8]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

يمكن وصف أي متغير عشوائي من خلال دالة التوزيع التراكمية الخاصة به ، والتي تصف احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي قيمة معينة.

يقتصر مصطلح "المتغير العشوائي" في الإحصاء تقليديًا على الحالة ذات القيمة الحقيقية ( ). في هذه الحالة، يجعل هيكل الأعداد الحقيقية من الممكن تحديد كميات مثل القيمة المتوقعة وتباين المتغير العشوائي، ودالة التوزيع التراكمية ، ولحظات توزيعه . ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$

ومع ذلك، فإن التعريف أعلاه صالح لأي مساحة قابلة للقياس من القيم. وبالتالي، يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار عناصر عشوائية من مجموعات أخرى ، مثل القيم المنطقية العشوائية ، والقيم الفئوية ، والأعداد المركبة ، والمتجهات ، والمصفوفات ، والتسلسلات ، والأشجار ، والمجموعات ، والأشكال ، والمتعددات ، والوظائف . ومن ثم يمكن للمرء أن يشير على وجه التحديد إلى متغير عشوائي من النوع ، أو متغير عشوائي ذي قيمة . ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

يُعد هذا المفهوم الأكثر عمومية للعنصر العشوائي مفيدًا بشكل خاص في التخصصات مثل نظرية الرسم البياني ، والتعلم الآلي ، ومعالجة اللغة الطبيعية ، وغيرها من المجالات في الرياضيات المنفصلة وعلوم الكمبيوتر ، حيث يهتم المرء غالبًا بنمذجة التباين العشوائي لهياكل البيانات غير الرقمية . في بعض الحالات، يكون من المناسب مع ذلك تمثيل كل عنصر من ، باستخدام رقم حقيقي واحد أو أكثر. في هذه الحالة، يمكن تمثيل عنصر عشوائي اختياريًا كمتجه من المتغيرات العشوائية ذات القيمة الحقيقية (جميعها محددة على نفس مساحة الاحتمالية الأساسية ، مما يسمح للمتغيرات العشوائية المختلفة بالتباين المشترك ). على سبيل المثال: ${\displaystyle E}$${\displaystyle \أوميغا }$

• يمكن تمثيل كلمة عشوائية كعدد صحيح عشوائي يعمل كمؤشر لمفردات الكلمات المحتملة. أو يمكن تمثيلها كمتجه مؤشر عشوائي، طوله يساوي حجم المفردات، حيث تكون القيم الوحيدة للاحتمالية الإيجابية هي ، ، ويشير موضع 1 إلى الكلمة.${\displaystyle (1\ 0\ 0\ 0\ \cdots )}$${\displaystyle (0\ 1\ 0\ 0\ \cdots )}$${\displaystyle (0\ 0\ 1\ 0\ \cdots )}$
• يمكن تمثيل جملة عشوائية ذات طول معين كمتجه من الكلمات العشوائية.${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$
• يمكن تمثيل الرسم البياني العشوائي على رؤوس معينة كمصفوفة من المتغيرات العشوائية ، والتي تحدد قيمها مصفوفة الجوار للرسم البياني العشوائي.${\displaystyle N}$${\displaystyle N\times N}$
• يمكن تمثيل الدالة العشوائية كمجموعة من المتغيرات العشوائية ، مما يعطي قيم الدالة عند النقاط المختلفة في مجال الدالة. هي متغيرات عشوائية عادية ذات قيمة حقيقية بشرط أن تكون الدالة ذات قيمة حقيقية. على سبيل المثال، العملية العشوائية هي دالة عشوائية للوقت، والمتجه العشوائي هو دالة عشوائية لبعض مجموعات الفهارس مثل ، والحقل العشوائي هو دالة عشوائية على أي مجموعة (عادةً الوقت أو المكان أو المجموعة المنفصلة).${\displaystyle F}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$

إذا تم تحديد متغير عشوائي على مساحة الاحتمال ، فيمكننا طرح أسئلة مثل "ما مدى احتمالية أن تكون قيمة تساوي 2؟". وهذا هو نفس احتمال وقوع الحدث الذي يُكتب عادةً على هيئة أو اختصارًا. ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )=2\}\,\!}$${\displaystyle P(X=2)\,\!}$${\displaystyle p_{X}(2)}$

يؤدي تسجيل كل هذه الاحتمالات لمخرجات متغير عشوائي إلى الحصول على توزيع احتمالي لـ . ينسى توزيع الاحتمالات مساحة الاحتمالية المعينة المستخدمة للتعريف ويسجل فقط احتمالات قيم المخرجات المختلفة لـ . يمكن دائمًا التقاط مثل هذا التوزيع الاحتمالي، إذا كان ذو قيمة حقيقية، بواسطة دالة التوزيع التراكمية الخاصة به${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$

وأحيانًا أيضًا باستخدام دالة كثافة الاحتمالية ، . وبمصطلحات نظرية القياس ، نستخدم المتغير العشوائي "لدفع" المقياس إلى الأمام على مقياس على . يُطلق على المقياس "توزيع (احتمال) " أو "قانون ". ^[9] الكثافة ، مشتق رادون-نيكوديم لـ فيما يتعلق ببعض المقاييس المرجعية على (غالبًا، يكون مقياس المرجع هذا هو مقياس ليبيج في حالة المتغيرات العشوائية المستمرة، أو مقياس العد في حالة المتغيرات العشوائية المنفصلة). مساحة الاحتمال الأساسية هي جهاز تقني يستخدم لضمان وجود متغيرات عشوائية، وأحيانًا لبنائها، ولتعريف مفاهيم مثل الارتباط والاعتماد أو الاستقلال بناءً على توزيع مشترك لمتغيرين عشوائيين أو أكثر على نفس مساحة الاحتمال. في الممارسة العملية، غالبًا ما يتخلص المرء من المساحة تمامًا ويضع مقياسًا على يعين المقياس 1 للخط الحقيقي بالكامل، أي أنه يعمل مع توزيعات الاحتمالات بدلاً من المتغيرات العشوائية. راجع المقال حول الدوال الكمية لمزيد من التطوير. ${\displaystyle f_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}=dp_{X}/d\mu }$${\displaystyle p_{X}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

لنفترض أن هناك تجربة يتم فيها اختيار شخص عشوائيًا. قد يكون طول الشخص مثالًا على متغير عشوائي. من الناحية الرياضية، يتم تفسير المتغير العشوائي كدالة تربط الشخص بطوله. يرتبط بالمتغير العشوائي توزيع احتمالي يسمح بحساب احتمالية أن يكون الطول ضمن أي مجموعة فرعية من القيم المحتملة، مثل احتمالية أن يكون الطول بين 180 و190 سم، أو احتمالية أن يكون الطول أقل من 150 سم أو أكثر من 200 سم.

قد يكون متغير عشوائي آخر هو عدد أطفال الشخص؛ وهو متغير عشوائي منفصل بقيم صحيحة غير سالبة. وهو يسمح بحساب الاحتمالات للقيم الصحيحة الفردية - دالة كتلة الاحتمال (PMF) - أو لمجموعات القيم، بما في ذلك المجموعات اللانهائية. على سبيل المثال، قد يكون الحدث محل الاهتمام "عددًا زوجيًا من الأطفال". بالنسبة لكل من مجموعات الأحداث المحدودة واللانهائية، يمكن إيجاد احتمالاتها عن طريق جمع دالة كتلة الاحتمال للعناصر؛ أي أن احتمال وجود عدد زوجي من الأطفال هو المجموع اللانهائي . ${\displaystyle \operatorname {PMF} (0)+\operatorname {PMF} (2)+\operatorname {PMF} (4)+\cdots }$

في أمثلة مثل هذه، غالبًا ما يتم قمع مساحة العينة ، نظرًا لصعوبة وصفها رياضيًا، ويتم التعامل مع القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية بعد ذلك باعتبارها مساحة عينة. ولكن عندما يتم قياس متغيرين عشوائيين على نفس مساحة العينة للنتائج، مثل حساب الطول وعدد الأطفال على نفس الأشخاص العشوائيين، فمن الأسهل تتبع العلاقة بينهما إذا تم الاعتراف بأن الطول وعدد الأطفال يأتيان من نفس الشخص العشوائي، على سبيل المثال، بحيث يمكن طرح أسئلة حول ما إذا كانت هذه المتغيرات العشوائية مترابطة أم لا.

إذا كانت مجموعات قابلة للعد من الأعداد الحقيقية، و ، إذن تكون دالة توزيع منفصلة. هنا بالنسبة لـ ، بالنسبة لـ . على سبيل المثال، إذا أخذنا تعدادًا لجميع الأعداد النسبية مثل ، نحصل على دالة منفصلة ليست بالضرورة دالة متدرجة (ثابت مجزأ). ${\textstyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}}$${\textstyle b_{n}>0}$${\textstyle \sum _{n}b_{n}=1}$${\textstyle F=\sum _{n}b_{n}\delta _{a_{n}}(x)}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=0}$${\displaystyle x<t}$${\displaystyle \delta _{t}(x)=1}$${\displaystyle x\geq t}$${\displaystyle \{a_{n}\}}$

يمكن وصف النتائج المحتملة لرمي العملة المعدنية الواحدة من خلال مساحة العينة . يمكننا تقديم متغير عشوائي بقيمة حقيقية ينمذج عائدًا بقيمة 1 دولار لرهان ناجح على الوجه على النحو التالي: ${\displaystyle \Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if }}\omega ={\text{heads}},\\[6pt]0,&{\text{if }}\omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}$$

إذا كانت العملة المعدنية عملة عادلة ، فإن Y لها دالة كتلة احتمالية تعطى بالعلاقة: ${\displaystyle f_{Y}}$$${\displaystyle f_{Y}(y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}y=0,\end{cases}}}$$

يمكن أيضًا استخدام متغير عشوائي لوصف عملية رمي النرد والنتائج المحتملة. التمثيل الأكثر وضوحًا لحالة النردين هو أخذ مجموعة أزواج الأرقام n ₁ و n ₂ من {1، 2، 3، 4، 5، 6} (تمثل الأرقام الموجودة على النردين) كمساحة عينة. يكون العدد الإجمالي للأرقام التي تم رميها (مجموع الأرقام في كل زوج) متغيرًا عشوائيًا X يعطى بواسطة الدالة التي تربط الزوج بالمجموع: و (إذا كانت النردين عادلين ) له دالة كتلة احتمالية f _X تعطى بواسطة: $${\displaystyle X((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}}$$$${\displaystyle f_{X}(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}$$

رسميًا ، المتغير العشوائي المستمر هو متغير عشوائي تكون دالة التوزيع التراكمية الخاصة به متصلة في كل مكان. ^[10] لا توجد " فجوات "، والتي تتوافق مع الأرقام التي لها احتمال محدود للحدوث . بدلاً من ذلك، لا تأخذ المتغيرات العشوائية المستمرة أبدًا قيمة محددة دقيقة c (رسميًا، ) ولكن هناك احتمال إيجابي بأن تكون قيمتها في فترات زمنية معينة يمكن أن تكون صغيرة بشكل تعسفي . تقبل المتغيرات العشوائية المستمرة عادةً وظائف كثافة الاحتمال (PDF)، والتي تميز دالة التوزيع التراكمية ومقاييس الاحتمال الخاصة بها ؛ تسمى مثل هذه التوزيعات أيضًا مستمرة تمامًا ؛ ولكن بعض التوزيعات المستمرة تكون مفردة ، أو مزيج من جزء مستمر مطلق وجزء مفرد. ${\textstyle \forall c\in \mathbb {R} :\;\Pr(X=c)=0}$

مثال على متغير عشوائي مستمر سيكون قائمًا على دوار يمكنه اختيار اتجاه أفقي. ثم تكون القيم المأخوذة بواسطة المتغير العشوائي هي الاتجاهات. يمكننا تمثيل هذه الاتجاهات بالشمال والغرب والشرق والجنوب والجنوب الشرقي وما إلى ذلك. ومع ذلك، فمن الأكثر ملاءمة عادةً تعيين مساحة العينة إلى متغير عشوائي يأخذ قيمًا هي أرقام حقيقية. يمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، عن طريق تعيين اتجاه إلى اتجاه بدرجات في اتجاه عقارب الساعة من الشمال. ثم يأخذ المتغير العشوائي قيمًا هي أرقام حقيقية من الفاصل الزمني [0، 360)، مع كون جميع أجزاء النطاق "متساوية الاحتمال". في هذه الحالة، X = الزاوية الدوارة. أي رقم حقيقي له احتمال صفر للاختيار، ولكن يمكن تعيين احتمال موجب لأي نطاق من القيم. على سبيل المثال، احتمال اختيار رقم في [0، 180] هو 1 ⁄ 2. بدلاً من الحديث عن دالة كتلة الاحتمال، نقول إن كثافة احتمال X هي 1/360. يمكن حساب احتمالية مجموعة جزئية من [0, 360) عن طريق ضرب مقياس المجموعة في 1/360. بشكل عام، يمكن حساب احتمالية مجموعة لمتغير عشوائي مستمر معين عن طريق تكامل الكثافة على المجموعة المعطاة.

بشكل أكثر رسمية، يُطلق على أي متغير عشوائي، في أي فترة زمنية ، اسم " متغير عشوائي موحد مستمر " (CURV) إذا كان احتمال أن يأخذ قيمة في فترة زمنية فرعية يعتمد فقط على طول الفترة الزمنية الفرعية. وهذا يعني أن احتمال الوقوع في أي فترة زمنية فرعية يتناسب مع طول الفترة الزمنية الفرعية، أي إذا كانت a ≤ c ≤ d ≤ b ، فإن لدينا ${\textstyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}}$${\displaystyle X_{I}\sim \operatorname {U} (I)=\operatorname {U} [a,b]}$${\displaystyle X_{I}}$${\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}$

$${\displaystyle \Pr \left(X_{I}\in [c,d]\right)={\frac {d-c}{b-a}}}$$

حيث تنشأ المساواة الأخيرة من بديهية الوحدة الاحتمالية. يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لـ CURV بواسطة دالة المؤشر لفاصل الدعم الخاص بها والمعياري بطول الفاصل: ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة التوزيع المنتظم على الفاصل الوحدوي . يمكن إنشاء عينات لأي توزيع احتمالي مرغوب من خلال حساب دالة الكميات على رقم تم إنشاؤه عشوائيًا وموزع بشكل موحد على الفاصل الوحدوي. يستغل هذا خصائص وظائف التوزيع التراكمي ، والتي تعد إطارًا موحدًا لجميع المتغيرات العشوائية. ${\displaystyle X\sim \operatorname {U} [a,b]}$$${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}\displaystyle {1 \over b-a},&a\leq x\leq b\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {D} }$${\displaystyle \operatorname {D} }$

المتغير العشوائي المختلط هو متغير عشوائي لا تكون دالة التوزيع التراكمية فيه منفصلة ولا متصلة في كل مكان . ^[10] ويمكن تحقيقه كمزيج من متغير عشوائي منفصل ومتغير عشوائي متصل؛ وفي هذه الحالة سيكون دالة التوزيع التراكمي هو المتوسط ​​المرجح لدالات التوزيع التراكمي للمتغيرات المكونة. ^[10]

من الأمثلة على المتغيرات العشوائية من النوع المختلط تجربة يتم فيها رمي عملة معدنية وتدوير الدوارة فقط إذا كانت نتيجة رمي العملة المعدنية هي الوجه. إذا كانت النتيجة هي الوجه الخلفي، فإن X = −1؛ وإلا فإن X = قيمة الدوارة كما في المثال السابق. هناك احتمال 1 ⁄ 2 أن يكون لهذا المتغير العشوائي القيمة −1. ستكون احتمالات النطاقات الأخرى للقيم نصف احتمالات المثال الأخير.

بشكل عام، كل توزيع احتمالي على الخط الحقيقي هو مزيج من جزء منفصل وجزء مفرد وجزء متصل مطلقًا؛ انظر نظرية تحلل لوبيج § التحسين . يتركز الجزء المنفصل في مجموعة قابلة للعد، ولكن هذه المجموعة قد تكون كثيفة (مثل مجموعة جميع الأعداد النسبية).

التعريف الأكثر رسمية وبديهية للمتغير العشوائي يتضمن نظرية القياس . يتم تعريف المتغيرات العشوائية المستمرة من حيث مجموعات الأرقام، جنبًا إلى جنب مع الوظائف التي تربط هذه المجموعات بالاحتمالات. نظرًا للصعوبات المختلفة (على سبيل المثال مفارقة باناخ-تارسكي ) التي تنشأ إذا لم يتم تقييد هذه المجموعات بشكل كافٍ، فمن الضروري تقديم ما يسمى بجبر سيجما لتقييد المجموعات المحتملة التي يمكن تعريف الاحتمالات من خلالها. عادةً، يتم استخدام جبر سيجما معين، جبر سيجما بوريل ، والذي يسمح بتعريف الاحتمالات على أي مجموعات يمكن اشتقاقها إما مباشرة من فترات متصلة من الأرقام أو من خلال عدد محدود أو لانهائي قابل للعد من الاتحادات و/أو التقاطعات لهذه الفترات. ^[11]

التعريف النظري للقياس هو كما يلي.

ليكن فضاء احتمال و فضاء قابل للقياس . عندئذ يكون المتغير العشوائي ذو القيمة - دالة قابلة للقياس ، مما يعني أنه بالنسبة لكل مجموعة فرعية ، تكون صورتها الأولية قابلة للقياس ؛ حيث . ^[12] يمكّننا هذا التعريف من قياس أي مجموعة فرعية في الفضاء المستهدف من خلال النظر إلى صورتها الأولية، والتي من المفترض أنها قابلة للقياس. ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega :X(\omega )\in B\}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$

وبعبارات أكثر بديهية، فإن أحد عناصر هو نتيجة محتملة، وأحد عناصر هو مجموعة فرعية قابلة للقياس من النتائج المحتملة، وتعطي الدالة احتمال كل مجموعة فرعية قابلة للقياس، وتمثل مجموعة القيم التي يمكن للمتغير العشوائي أن يأخذها (مثل مجموعة الأعداد الحقيقية)، وأحد عناصر هو مجموعة فرعية "حسنة السلوك" (قابلة للقياس) من (تلك التي يمكن تحديد الاحتمال لها). والمتغير العشوائي هو إذن دالة من أي نتيجة إلى كمية، بحيث تكون النتائج المؤدية إلى أي مجموعة فرعية مفيدة من الكميات للمتغير العشوائي ذات احتمال محدد جيدًا. ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E}$

عندما تكون مساحة طوبولوجي ، فإن الاختيار الأكثر شيوعًا لجبر سيجما هو جبر سيجما بوريل ، وهو جبر سيجما الناتج عن جمع كل المجموعات المفتوحة في . في هذه الحالة، يُطلق على المتغير العشوائي ذي القيمة - متغير عشوائي ذي قيمة -. علاوة على ذلك، عندما تكون المساحة عبارة عن خط حقيقي ، فإن مثل هذا المتغير العشوائي ذي القيمة الحقيقية يُسمى ببساطة متغيرًا عشوائيًا . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

في هذه الحالة، تكون مساحة الملاحظة عبارة عن مجموعة من الأعداد الحقيقية. تذكر، هي مساحة الاحتمال. بالنسبة لمساحة الملاحظة الحقيقية، تكون الدالة متغيرًا عشوائيًا بقيمة حقيقية إذا ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {F}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}$

هذا التعريف هو حالة خاصة لما سبق لأن المجموعة تولد جبر سيجما بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية، ويكفي التحقق من قابلية القياس على أي مجموعة توليد. هنا يمكننا إثبات قابلية القياس على هذه المجموعة المولدة باستخدام حقيقة أن . ${\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])}$

غالبًا ما يتميز توزيع احتمالات متغير عشوائي بعدد صغير من المعلمات، والتي لها أيضًا تفسير عملي. على سبيل المثال، غالبًا ما يكون كافيًا معرفة ما هي "القيمة المتوسطة" الخاصة به. يتم التقاط ذلك من خلال المفهوم الرياضي للقيمة المتوقعة لمتغير عشوائي، والتي يشار إليها ، وتسمى أيضًا اللحظة الأولى . بشكل عام، لا تساوي . بمجرد معرفة "القيمة المتوسطة"، يمكن للمرء أن يسأل بعد ذلك عن مدى بعد قيم هذه القيمة المتوسطة عادةً، وهو سؤال تتم الإجابة عليه من خلال التباين والانحراف المعياري لمتغير عشوائي. يمكن اعتبارها حدسيًا كمتوسط ​​تم الحصول عليه من مجموعة سكانية لا نهائية، أعضاؤها عبارة عن تقييمات معينة لـ . ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]}$${\displaystyle f(\operatorname {E} [X])}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle X}$

من الناحية الرياضية، يُعرف هذا باسم مشكلة اللحظات (المعممة) : بالنسبة لفئة معينة من المتغيرات العشوائية ، ابحث عن مجموعة من الدوال بحيث تميز قيم التوقع توزيع المتغير العشوائي بشكل كامل . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \{f_{i}\}}$${\displaystyle \operatorname {E} [f_{i}(X)]}$${\displaystyle X}$

لا يمكن تعريف اللحظات إلا للوظائف ذات القيمة الحقيقية للمتغيرات العشوائية (أو ذات القيمة المركبة، إلخ). إذا كان المتغير العشوائي نفسه ذو قيمة حقيقية، فيمكن أخذ لحظات المتغير نفسه، والتي تعادل لحظات دالة الهوية للمتغير العشوائي. ومع ذلك، حتى بالنسبة للمتغيرات العشوائية غير ذات القيمة الحقيقية، يمكن أخذ لحظات للوظائف ذات القيمة الحقيقية لتلك المتغيرات. على سبيل المثال، بالنسبة للمتغير العشوائي الفئوي X الذي يمكن أن يأخذ القيم الاسمية "أحمر" أو "أزرق" أو "أخضر"، يمكن إنشاء الدالة ذات القيمة الحقيقية ؛ يستخدم هذا قوس إيفرسون ، وله القيمة 1 إذا كان له القيمة "أخضر"، وإلا فهو 0. بعد ذلك، يمكن تحديد القيمة المتوقعة واللحظات الأخرى لهذه الدالة. ${\displaystyle f(X)=X}$${\displaystyle [X={\text{green}}]}$${\displaystyle X}$

يمكن تعريف متغير عشوائي جديد Y من خلال تطبيق دالة بوريل القابلة للقياس على نتائج متغير عشوائي ذي قيمة حقيقية . أي أن دالة التوزيع التراكمية لـ هي ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=g(X)}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y).}$

إذا كانت الدالة قابلة للعكس (أي موجودة، حيث تكون دالة عكسية لـ ) وكانت متزايدة أو متناقصة ، فيمكن توسيع العلاقة السابقة للحصول على ${\displaystyle g}$${\displaystyle h=g^{-1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (g(X)\leq y)={\begin{cases}\operatorname {P} (X\leq h(y))=F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ increasing}},\\\\\operatorname {P} (X\geq h(y))=1-F_{X}(h(y)),&{\text{if }}h=g^{-1}{\text{ decreasing}}.\end{cases}}}$

وباستخدام نفس فرضيات قابلية عكس ، مع افتراض قابلية التفاضل أيضًا ، يمكن إيجاد العلاقة بين دوال كثافة الاحتمالية عن طريق التفاضل بين جانبي التعبير أعلاه بالنسبة إلى ، من أجل الحصول على ^[10]${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\bigl (}h(y){\bigr )}\left|{\frac {dh(y)}{dy}}\right|.}$

إذا لم يكن هناك قابلية للعكس لـ ولكن كل منها يسمح على الأكثر بعدد قابل للعد من الجذور (أي عدد محدود أو لا نهائي قابل للعد، بحيث ) فيمكن تعميم العلاقة السابقة بين دوال كثافة الاحتمالية باستخدام${\displaystyle g}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y=g(x_{i})}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}$

حيث ، وفقًا لنظرية الدالة العكسية ، لا تتطلب صيغ الكثافات أن تكون متزايدة. ${\displaystyle x_{i}=g_{i}^{-1}(y)}$${\displaystyle g}$

في النهج البديهي لنظرية القياس للاحتمالات، إذا كان المتغير العشوائي على ودالة بوريل القابلة للقياس ، فهو أيضًا متغير عشوائي على ، لأن تركيب الدوال القابلة للقياس قابل للقياس أيضًا . (ومع ذلك، هذا ليس صحيحًا بالضرورة إذا كان قابل للقياس وفقًا لـ ليبيج . ^{[ بحاجة لمصدر ]} ) يمكن استخدام نفس الإجراء الذي سمح للمرء بالانتقال من فضاء الاحتمالات إلى للحصول على توزيع . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=g(X)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\Omega ,P)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})}$${\displaystyle Y}$

ليكن متغير عشوائي متصل ذو قيمة حقيقية وليكن . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=X^{2}}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=\operatorname {P} (X^{2}\leq y).}$

إذا ، إذن ، إذن ${\displaystyle y<0}$${\displaystyle P(X^{2}\leq y)=0}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=0\qquad {\hbox{if}}\quad y<0.}$

إذا ، إذن ${\displaystyle y\geq 0}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X^{2}\leq y)=\operatorname {P} (|X|\leq {\sqrt {y}})=\operatorname {P} (-{\sqrt {y}}\leq X\leq {\sqrt {y}}),}$

لذا

${\displaystyle F_{Y}(y)=F_{X}({\sqrt {y}})-F_{X}(-{\sqrt {y}})\qquad {\hbox{if}}\quad y\geq 0.}$

افترض أن المتغير عشوائي وله توزيع تراكمي ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\theta }}}}$

حيث هو معامل ثابت. ضع في اعتبارك المتغير العشوائي، ثم، ${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle Y=\mathrm {log} (1+e^{-X}).}$

${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=P(\mathrm {log} (1+e^{-X})\leq y)=P(X\geq -\mathrm {log} (e^{y}-1)).\,}$

يمكن حساب التعبير الأخير من حيث التوزيع التراكمي لـ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}\\[5pt]&=1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}\\[5pt]&=1-e^{-y\theta }.\end{aligned}}}$

وهي دالة التوزيع التراكمية (CDF) للتوزيع الأسي .

افترض أن هناك متغيرًا عشوائيًا له توزيع طبيعي قياسي ، وكثافته هي ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

خذ في الاعتبار المتغير العشوائي، يمكننا إيجاد الكثافة باستخدام الصيغة أعلاه لتغيير المتغيرات: ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

في هذه الحالة، لا يكون التغيير رتيبًا ، لأن كل قيمة من لها قيمتان متناظرتان (واحدة موجبة وأخرى سالبة). ومع ذلك، وبسبب التناظر، سيتحول كلا النصفين بشكل متطابق، أي، ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

التحويل العكسي هو

${\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$

ومشتقه هو

${\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

ثم،

${\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}.}$

هذا توزيع مربع كاي بدرجة حرية واحدة .

افترض أن هناك متغيرًا عشوائيًا له توزيع طبيعي ، وكثافته هي ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

خذ في الاعتبار المتغير العشوائي، يمكننا إيجاد الكثافة باستخدام الصيغة أعلاه لتغيير المتغيرات: ${\displaystyle Y=X^{2}.}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

في هذه الحالة، لا يكون التغيير رتيبًا ، لأن كل قيمة لـ لها قيمتان متناظرتان لـ (واحدة موجبة وأخرى سالبة). ولكن على عكس المثال السابق، في هذه الحالة، لا يوجد تماثل وعلينا حساب الحدين المميزين: ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}(g_{1}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{1}^{-1}(y)}{dy}}\right|+f_{X}(g_{2}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{2}^{-1}(y)}{dy}}\right|.}$

التحويل العكسي هو

${\displaystyle x=g_{1,2}^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}}$

ومشتقه هو

${\displaystyle {\frac {dg_{1,2}^{-1}(y)}{dy}}=\pm {\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}.}$

ثم،

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}(e^{-({\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}+e^{-(-{\sqrt {y}}-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}).}$

هذا توزيع مربع كاي غير مركزي بدرجة حرية واحدة .

• إن توزيع احتمالات مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين هو التفاف كل من توزيعاتهما.
• توزيعات الاحتمالات ليست فضاء متجه - فهي ليست مغلقة تحت التركيبات الخطية ، حيث لا تحافظ على عدم السلبية أو التكامل الكلي 1 - ولكنها مغلقة تحت التركيبة المحدبة ، وبالتالي تشكل مجموعة فرعية محدبة من فضاء الوظائف (أو المقاييس).

هناك عدة معانٍ مختلفة يمكن من خلالها اعتبار المتغيرات العشوائية متكافئة. فقد يكون متغيران عشوائيان متساويين، أو متساويين بشكل شبه مؤكد، أو متساويين في التوزيع.

وفيما يلي التعريف الدقيق لهذه المفاهيم المتعلقة بالتكافؤ، بالترتيب التصاعدي للقوة.

إذا كانت مساحة العينة عبارة عن مجموعة جزئية من الخط الحقيقي، فإن المتغيرين العشوائيين X و Y متساويان في التوزيع (يشار إليهما بـ ) إذا كان لديهما نفس وظائف التوزيع: ${\displaystyle X{\stackrel {d}{=}}Y}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq x)=\operatorname {P} (Y\leq x)\quad {\text{for all }}x.}$

لكي تكون متساوية في التوزيع، لا يلزم تعريف المتغيرات العشوائية على نفس مساحة الاحتمال. متغيران عشوائيان لهما دوال توليد عزم متساوية لهما نفس التوزيع. يوفر هذا، على سبيل المثال، طريقة مفيدة للتحقق من مساواة دوال معينة للمتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متطابق (IID) . ومع ذلك، فإن دالة توليد العزم موجودة فقط للتوزيعات التي لها تحويل لابلاس محدد .

من المؤكد تقريبًا أن متغيرين عشوائيين X و Y متساويان (يشار إليهما بـ ) إذا، وفقط إذا، كان احتمال اختلافهما يساوي صفرًا : ${\displaystyle X\;{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\;Y}$

${\displaystyle \operatorname {P} (X\neq Y)=0.}$

ولأغراض عملية في نظرية الاحتمالات، فإن مفهوم التكافؤ هذا قوي بقدر قوة المساواة الفعلية. وهو مرتبط بالمسافة التالية:

${\displaystyle d_{\infty }(X,Y)=\operatorname {ess} \sup _{\omega }|X(\omega )-Y(\omega )|,}$

حيث يمثل "ess sup" الحد الأقصى الأساسي بمعنى نظرية القياس .

أخيرًا، يكون المتغيران العشوائيان X و Y متساويين إذا كانا متساويين كدالتين على مساحتهما القابلة للقياس:

${\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega .}$

عادةً ما يكون هذا المفهوم هو الأقل فائدة في نظرية الاحتمالات لأنه في الممارسة العملية والنظرية، نادرًا ما يتم وصف مساحة القياس الأساسية للتجربة بشكل صريح أو حتى يمكن وصفها.

إن أحد الموضوعات المهمة في الإحصاء الرياضي يتمثل في الحصول على نتائج التقارب لتسلسلات معينة من المتغيرات العشوائية؛ على سبيل المثال قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي .

هناك معانٍ مختلفة يمكن أن تتقارب فيها سلسلة من المتغيرات العشوائية لتكوين متغير عشوائي . يتم شرح ذلك في المقالة حول تقارب المتغيرات العشوائية . ${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X}$

• "المتغير العشوائي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• زوكرمان، موشيه (2014)، مقدمة إلى نظرية الطوابير ونماذج حركة المرور العشوائية (PDF) ، arXiv : 1307.2968
• زوكرمان، موشيه (2014)، موضوعات الاحتمالات الأساسية (PDF)