مخطط الارتباط

في تحليل البيانات، يُعدّ مخطط الارتباط الذاتي رسمًا بيانيًا لإحصاءات الارتباط . على سبيل المثال، في تحليل السلاسل الزمنية ، يُستخدم رسم بياني للارتباطات الذاتية للعينة.${\displaystyle r_{h}}$عكس${\displaystyle h\,}$(الفترات الزمنية) هو مخطط الارتباط الذاتي . إذا تم رسم الارتباط المتبادل ، فإن النتيجة تسمى مخطط الارتباط المتبادل .

يُعدّ مخطط الارتباط الذاتي أداة شائعة الاستخدام للتحقق من عشوائية البيانات . فإذا كانت البيانات عشوائية، ينبغي أن تكون معاملات الارتباط الذاتي قريبة من الصفر لجميع الفواصل الزمنية. أما إذا كانت غير عشوائية، فسيكون واحد أو أكثر من معاملات الارتباط الذاتي ذا قيمة غير صفرية بشكل ملحوظ.

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم مخططات الارتباط الذاتي في مرحلة تحديد النموذج لنماذج السلاسل الزمنية ذات المتوسط ​​المتحرك للانحدار الذاتي من نوع بوكس-جينكينز . يجب أن تكون معاملات الارتباط الذاتي قريبة من الصفر لضمان العشوائية؛ فإذا لم يتحقق المحلل من العشوائية، فإن صحة العديد من الاستنتاجات الإحصائية تصبح موضع شك. يُعد مخطط الارتباط الذاتي وسيلة ممتازة للتحقق من هذه العشوائية.

في التحليل متعدد المتغيرات ، قد تُسمى مصفوفات الارتباط المعروضة كصور ملونة "مخططات الارتباط" أو "مخططات الارتباط". ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

يمكن أن يساعد مخطط الارتباط في تقديم إجابات للأسئلة التالية: ^{[ 4 ]}

• هل البيانات عشوائية؟
• هل هناك علاقة بين إحدى الملاحظات وملاحظة مجاورة لها؟
• هل ترتبط إحدى الملاحظات بملاحظة أخرى بعيدة عنها؟ (إلخ)
• هل السلسلة الزمنية المرصودة عبارة عن ضوضاء بيضاء ؟
• هل السلسلة الزمنية المرصودة جيبية؟
• هل السلسلة الزمنية المرصودة ذاتية الانحدار؟
• ما هو النموذج المناسب للسلسلة الزمنية المرصودة؟
• هل النموذج

${\displaystyle Y={\text{constant}}+{\text{error}}}$

صحيح وكافٍ؟

• هل الصيغة${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$صالح؟

تُعدّ العشوائية (إلى جانب النموذج الثابت، والتباين الثابت، والتوزيع الثابت) أحد الافتراضات الأربعة التي تقوم عليها عادةً جميع عمليات القياس. ويُعتبر افتراض العشوائية بالغ الأهمية للأسباب الثلاثة التالية:

• تعتمد معظم الاختبارات الإحصائية القياسية على العشوائية. وترتبط صحة نتائج الاختبار ارتباطًا مباشرًا بصحة فرضية العشوائية.
• تعتمد العديد من الصيغ الإحصائية الشائعة الاستخدام على افتراض العشوائية، وأكثر الصيغ شيوعًا هي صيغة تحديد الخطأ المعياري لمتوسط ​​العينة:

${\displaystyle s_{\bar {Y}}=s/{\sqrt {N}}}$

حيث يمثل s الانحراف المعياري للبيانات. على الرغم من شيوع استخدام هذه الصيغة، إلا أن نتائجها لا قيمة لها ما لم يتحقق افتراض العشوائية.

• بالنسبة للبيانات أحادية المتغير، يكون النموذج الافتراضي هو

${\displaystyle Y={\text{constant}}+{\text{error}}}$

إذا لم تكن البيانات عشوائية، فإن هذا النموذج غير صحيح وغير صالح، وتصبح تقديرات المعلمات (مثل الثابت) غير منطقية وغير صالحة.

معامل الارتباط الذاتي عند التأخر الزمني h يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle r_{h}=c_{h}/c_{0}\,}$

حيث c _h هي دالة التغاير الذاتي

${\displaystyle c_{h}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{Nh}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)\left(Y_{t+h}-{\bar {Y}}\right)}$

و c ₀ هي دالة التباين

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(Y_{t}-{\bar {Y}}\right)^{2}}$

ستتراوح القيمة الناتجة لـ r _h  بين -1 و +1.

في الرسم البياني نفسه، يمكن رسم حدود عليا وسفلى للارتباط الذاتي مع مستوى الدلالة.${\displaystyle \alpha \,}$:

${\displaystyle B=\pm z_{1-\alpha /2}SE(r_{h})\,}$مع${\displaystyle r_{h}\,}$باعتبارها الارتباط الذاتي المقدر عند التأخير${\displaystyle h\,}$.

إذا كان الارتباط الذاتي أعلى (أدنى) من هذا الحد الأعلى (الأدنى)، يتم رفض الفرضية الصفرية القائلة بعدم وجود ارتباط ذاتي عند فترة تأخير معينة وما بعدها عند مستوى دلالة قدره ${\displaystyle \alpha \,}$هذا الاختبار تقريبي ويفترض أن السلسلة الزمنية غاوسية .

في ما سبق، يمثل z _{1− α /2} الكمية المئوية للتوزيع الطبيعي ؛ وSE هو الخطأ المعياري، والذي يمكن حسابه بواسطة صيغة بارتليت لعمليات MA( ℓ ):

${\displaystyle SE(r_{1})={\frac {1}{\sqrt {N}}}}$

${\displaystyle SE(r_{h})={\sqrt {\frac {1+2\sum _{i=1}^{h-1}r_{i}^{2}}{N}}}}$ل${\displaystyle h>1.\,}$

في المثال الموضح، يمكننا رفض الفرضية الصفرية القائلة بعدم وجود ارتباط ذاتي بين النقاط الزمنية التي تفصل بينها فترات تأخير تصل إلى 4. بالنسبة لمعظم الفترات الأطول، لا يمكن رفض الفرضية الصفرية القائلة بعدم وجود ارتباط ذاتي.

لاحظ أن هناك صيغتين مختلفتين لتوليد نطاقات الثقة:

1. إذا تم استخدام مخطط الارتباط لاختبار العشوائية (أي، لا يوجد اعتماد زمني في البيانات)، يُوصى باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \pm {\frac {z_{1-\alpha /2}}{\sqrt {N}}}}$

حيث N هو حجم العينة ، و z هي دالة الكمية للتوزيع الطبيعي القياسي ، و α هو مستوى الدلالة . في هذه الحالة، تكون نطاقات الثقة ذات عرض ثابت يعتمد على حجم العينة.

2. تُستخدم مخططات الارتباط الذاتي أيضًا في مرحلة تحديد النموذج لتركيب نماذج ARIMA . في هذه الحالة، يُفترض نموذج متوسط ​​متحرك للبيانات، ويجب إنشاء نطاقات الثقة التالية:

${\displaystyle \pm z_{1-\alpha /2}{\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(1+2\sum _{i=1}^{k}r_{i}^{2}\right)}}}$

حيث k هو التأخير. في هذه الحالة، تزداد نطاقات الثقة مع ازدياد التأخير.

تتوفر مخططات الارتباط الذاتي في معظم المكتبات الإحصائية العامة.

مخططات الارتباط:

• بايثون بانداز : pandas.plotting.autocorrelation_plot^{[ 5 ]}
• R : الدوال acfوpacf

كورغرامز:

• مكتبة سيبورن في بايثون :heatmappairplot
• R : corrgram^{[ 2 ] [ 3 ]}

• دالة الارتباط الذاتي الجزئي
• مخطط طيفي
• حبكة المسلسل الفرعي الموسمي
• الارتباط المُقاس
• مخطط التباين

• هانكي، جون إي.؛ ريتش، آرثر جي.؛ ويشرن، دين دبليو. التنبؤ بالأعمال (  الطبعة السابعة). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول.
• بوكس، جي إي بي؛ جينكينز، جي. (1976). تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والتحكم . هولدن-داي.
• تشاتفيلد، سي. (1989). تحليل السلاسل الزمنية: مقدمة (  الطبعة الرابعة). نيويورك، نيويورك: تشابمان وهول.

• مخطط الارتباط الذاتي

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا