الارتباط المتبادل

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 112 صور
الموسوعة الحرة
مقارنة بصرية بين الالتفاف ، والارتباط التبادلي، والارتباط الذاتي . بالنسبة للعمليات التي تتضمن الدالة f ، وبافتراض أن ارتفاع f يساوي 1.0، تُشير المنطقة المظللة أسفل كل نقطة إلى قيمة النتيجة عند 5 نقاط مختلفة. كما أن التناظر الرأسي للدالة f هو السبب.و*ز{\displaystyle f*g}وو⋆ز{\displaystyle f\star g}متطابقة في هذا المثال.

في معالجة الإشارات ، يُعدّ الارتباط التبادلي مقياسًا لتشابه سلسلتين كدالة لإزاحة إحداهما بالنسبة للأخرى. يُعرف هذا أيضًا باسم الضرب النقطي المنزلق أو الضرب الداخلي المنزلق . ويُستخدم عادةً للبحث عن ميزة معروفة أقصر في إشارة طويلة. وله تطبيقات في التعرف على الأنماط ، وتحليل الجسيمات المفردة ، والتصوير المقطعي الإلكتروني ، والمتوسطات ، وتحليل الشفرات ، وعلم وظائف الأعصاب . يُشبه الارتباط التبادلي في طبيعته عملية الالتفاف بين دالتين. في الارتباط الذاتي ، وهو الارتباط التبادلي للإشارة مع نفسها، ستكون هناك دائمًا ذروة عند تأخير يساوي صفرًا، وسيكون حجمها هو طاقة الإشارة.

في علم الاحتمالات والإحصاء ، يشير مصطلح الارتباطات المتبادلة إلى الارتباطات بين عناصر متجهين عشوائيين .X{\displaystyle \mathbf {X} }وY{\displaystyle \mathbf {Y} }، بينما ارتباطات متجه عشوائيX{\displaystyle \mathbf {X} }هي الارتباطات بين مدخلاتX{\displaystyle \mathbf {X} }نفسها، تلك التي تشكل مصفوفة الارتباط لـX{\displaystyle \mathbf {X} }إذا كان كل واحد منX{\displaystyle \mathbf {X} }وY{\displaystyle \mathbf {Y} }إذا كان متغيرًا عشوائيًا قياسيًا يتكرر حدوثه في سلسلة زمنية ، فإن ارتباطات الحالات الزمنية المختلفة لـX{\displaystyle \mathbf {X} }تُعرف هذه باسم الارتباطات الذاتية لـX{\displaystyle \mathbf {X} }والارتباطات المتبادلة لـX{\displaystyle \mathbf {X} }معY{\displaystyle \mathbf {Y} }تُعرف الارتباطات الزمنية المتبادلة. في الاحتمالات والإحصاء، يتضمن تعريف الارتباط دائمًا عاملًا معياريًا بحيث تتراوح قيم الارتباطات بين -1 و+1.

لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}متغيران عشوائيان مستقلان لهما دوال كثافة احتماليةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}، على التوالي، ثم كثافة احتمال الفرقY-X{\displaystyle YX}يتم تحديدها رسميًا من خلال الارتباط المتبادل (بمعنى معالجة الإشارات)و⋆ز{\displaystyle f\star g}ومع ذلك، لا يُستخدم هذا المصطلح في الاحتمالات والإحصاء. في المقابل، الالتفافو*ز{\displaystyle f*g}(ما يعادل الارتباط المتبادل لـو(-ت)¯{\displaystyle {\overline {f(-t)}}}وز(ت){\displaystyle g(t)}) تعطي دالة كثافة الاحتمال للمجموعX+Y{\displaystyle X+Y}.

الارتباط المتبادل للإشارات الحتمية

للدوال المتصلةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}، يتم تعريف الارتباط المتبادل على النحو التالي: [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ](و⋆ز)(τ) ≜∫-∞∞و(ت)¯ز(ت+τ)دت{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}وهو ما يعادل(و⋆ز)(τ) ≜∫-∞∞و(ت-τ)¯ز(ت)دت{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}أينو(ت)¯{\displaystyle {\overline {f(t)}}}يرمز إلى المرافق المعقد لـو(ت){\displaystyle f(t)}، وτ{\displaystyle \tau }يُطلق عليه اسم الإزاحة أو التأخر .

بالنسبة للارتباطات العاليةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}والتي لها أقصى ارتباط متبادل عند نقطة معينةτ{\displaystyle \tau }، وهي ميزة فيو{\displaystyle f}فيت{\displaystyle t}يحدث ذلك أيضًا في وقت لاحقز{\displaystyle g}فيت+τ{\displaystyle t+\tau }، لذلكز{\displaystyle g}يمكن وصفه بأنه متأخرو{\displaystyle f}بواسطةτ{\displaystyle \tau }.

لوو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}كلاهما دالتان دوريتان متصلتان ذواتا دورة زمنيةتي{\displaystyle T}، التكامل من-∞{\displaystyle -\infty }ل∞{\displaystyle \infty }يتم استبدالها بالتكامل على أي فترة[ت0،ت0+تي]{\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}من الطولتي{\displaystyle T}:(و⋆ز)(τ) ≜∫ت0ت0+تيو(ت)¯ز(ت+τ)دت{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t)}}g(t+\tau )\,dt}وهو ما يعادل(و⋆ز)(τ) ≜∫ت0ت0+تيو(ت-τ)¯ز(ت)دت{\displaystyle (f\star g)(\tau )\ \triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{\overline {f(t-\tau )}}g(t)\,dt}وبالمثل، بالنسبة للدوال المنفصلة، ​​يتم تعريف الارتباط المتبادل على النحو التالي: [ 4 ] [ 5 ](و⋆ز)[ن] ≜∑م=-∞∞و[م]¯ز[م+ن]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]}وهو ما يعادل:(و⋆ز)[ن] ≜∑م=-∞∞و[م-ن]¯ز[م]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\overline {f[m-n]}}g[m]}للدوال المنفصلة المحدودةو،ز∈جشمال{\displaystyle f,g\in \mathbb {C} ^{N}}، يتم تعريف الارتباط المتبادل (الدائري) على النحو التالي: [ 6 ](و⋆ز)[ن] ≜∑م=0شمال-1و[م]¯ز[(م+ن)تعديل شمال]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}g[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}وهو ما يعادل:(و⋆ز)[ن] ≜∑م=0شمال-1و[(م-ن)تعديل شمال]¯ز[م]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[(m-n)_{{\text{mod}}~N}]}}g[m]}للدوال المنفصلة المحدودةو∈جشمال{\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{N}}،ز∈جم{\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{M}}، يتم تعريف الارتباط المتبادل للنواة على النحو التالي: [ 7 ](و⋆ز)[ن] ≜∑م=0شمال-1و[م]¯كز[(م+ن)تعديل شمال]{\displaystyle (f\star g)[n]\ \triangleq \sum _{m=0}^{N-1}{\overline {f[m]}}K_{g}[(m+n)_{{\text{mod}}~N}]}أينكز=[ك(ز،تي0(ز))،ك(ز،تي1(ز))،...،ك(ز،تيشمال-1(ز))]{\displaystyle K_{g}=[k(g,T_{0}(g)),k(g,T_{1}(g)),\dots ,k(g,T_{N-1}(g))]}هو متجه من دوال النواةك(⋅،⋅):جم×جم→R{\displaystyle k(\cdot ,\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\times \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {R} }وتيأنا(⋅):جم→جم{\displaystyle T_{i}(\cdot )\colon \mathbb {C} ^{M}\to \mathbb {C} ^{M}}هو تحويل أفيني .

خاصة،تيأنا(⋅){\displaystyle T_{i}(\cdot )}يمكن أن يكون تحويلًا إزاحيًا دائريًا، أو تحويلًا دورانيًا، أو تحويلًا قياسيًا، وما إلى ذلك. يمتد الارتباط التبادلي للنواة من الفضاء الخطي إلى فضاء النواة. الارتباط التبادلي متغاير مع الإزاحة؛ والارتباط التبادلي للنواة متغاير مع أي تحويلات خطية، بما في ذلك الإزاحة والدوران والقياس، وما إلى ذلك.

توضيح

كمثال على ذلك، لنفترض وجود دالتين حقيقيتينو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}يختلفان فقط بإزاحة غير معروفة على طول المحور السيني. يمكن استخدام الارتباط المتبادل لمعرفة مقدار هذه الإزاحة.ز{\displaystyle g} يجب تحريكها على طول المحور السيني لجعلها مطابقة لـو{\displaystyle f}تعتمد الصيغة أساسًا على انزلاقز{\displaystyle g}دالة على طول المحور السيني، وحساب تكامل حاصل ضربهما عند كل موضع. عندما تتطابق الدالتان، تكون قيمة(و⋆ز){\displaystyle (f\star g)}يتم تعظيم القيمة. وذلك لأن القمم (المناطق الموجبة) عندما تتراصف، تُسهم بشكل كبير في التكامل. وبالمثل، عندما تتراصف القيعان (المناطق السالبة)، فإنها تُسهم أيضًا بشكل إيجابي في التكامل لأن حاصل ضرب عددين سالبين هو عدد موجب.

رسم متحرك يوضح كيفية حساب الارتباط المتبادل. يُظهر الرسم البياني الأيسر دالة خضراء G مُزاحة طوريًا بالنسبة للدالة F بمقدار 𝜏. يُظهر الرسم البياني الأوسط الدالة F والدالة G المُزاحة طوريًا معًا كمنحنى ليساجو . ينتج عن تكامل F مضروبة في G المُزاحة طوريًا الرسم البياني الأيمن، وهو الارتباط المتبادل عبر جميع قيم 𝜏.

باستخدام الدوال ذات القيم المركبةو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}، بأخذ مرافقو{\displaystyle f}يضمن ذلك أن القمم المتراصفة (أو القيعان المتراصفة) ذات المكونات التخيلية ستساهم بشكل إيجابي في التكامل.

في الاقتصاد القياسي ، يُشار أحيانًا إلى الارتباط المتبادل المتأخر باسم الارتباط الذاتي المتبادل. [ 8 ] : ص 74

ملكيات

  • الارتباط المتبادل بين الدوالو(ت){\displaystyle f(t)}وز(ت){\displaystyle g(t)}وهو مكافئ لعملية الالتفاف (المشار إليها بـ*{\displaystyle *}) لو(-ت)¯{\displaystyle {\overline {f(-t)}}}وز(ت){\displaystyle g(t)}. إنه:
    [و(ت)⋆ز(ت)](ت)=[و(-ت)¯*ز(ت)](ت).{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {f(-t)}}*g(t)](t).}
  • [و(ت)⋆ز(ت)](ت)=[ز(ت)¯⋆و(ت)¯](-ت).{\displaystyle [f(t)\star g(t)](t)=[{\overline {g(t)}}\star {\overline {f(t)}}](-t).}
  • لوو{\displaystyle f}إذا كانت دالة هيرميتية ، فإنو⋆ز=و*ز.{\displaystyle f\star g=f*g.}
  • إذا كان كلاهماو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}إذا كانوا من أتباع هيرميت، فإنهم كذلك.و⋆ز=ز⋆و{\displaystyle f\star g=g\star f}.
  • (و⋆ز)⋆(و⋆ز)=(و⋆و)⋆(ز⋆ز){\displaystyle \left(f\star g\right)\star \left(f\star g\right)=\left(f\star f\right)\star \left(g\star g\right)}.
  • وبالمثل لنظرية الالتفاف ، فإن الارتباط المتبادل يحقق
    F{و⋆ز}=F{و}¯⋅F{ز}،{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f\star g\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f\right\}}}\cdot {\mathcal {F}}\left\{g\right\},}
    أينF{\displaystyle {\mathcal {F}}}يرمز إلى تحويل فورييه ، وو¯{\displaystyle {\overline {f}}}يشير مرة أخرى إلى المركب المترافق المعقد لـو{\displaystyle f}، منذF{و(-ت)¯}=F{و(ت)}¯{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\overline {f(-t)}}\right\}={\overline {{\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}}}}. مقترنة بخوارزميات تحويل فورييه السريع ، غالبًا ما يتم استغلال هذه الخاصية للحساب العددي الفعال للارتباطات المتبادلة [ 9 ] (انظر الارتباط المتبادل الدائري ).
  • يرتبط الارتباط المتبادل بالكثافة الطيفية (انظر نظرية وينر-خينشين ).
  • الارتباط المتبادل لعملية التفاف لـو{\displaystyle f}وح{\displaystyle h}مع وظيفةز{\displaystyle g}هو التفاف الارتباط المتبادل لـز{\displaystyle g}وو{\displaystyle f}مع النواةح{\displaystyle h}:
    ز⋆(و*ح)=(ز⋆و)*ح{\displaystyle g\star \left(f*h\right)=\left(g\star f\right)*h}.

الارتباط المتبادل للمتجهات العشوائية

تعريف

بالنسبة للمتجهات العشوائيةX=(X1،...،Xم){\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})}وY=(Y1،...،Yن){\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})}، كل منها يحتوي على عناصر عشوائية لها قيمة متوقعة وتباين موجودان ، مصفوفة الارتباط المتبادل لـX{\displaystyle \mathbf {X} }وY{\displaystyle \mathbf {Y} }يُعرَّف في [ 10 ] : ص 337RXY≜ هـ⁡[XY]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} \right]}وله أبعادم×ن{\displaystyle m\times n}. مكتوبة حسب المكونات:RXY=[هـ⁡[X1Y1]هـ⁡[X1Y2]⋯هـ⁡[X1Yن]هـ⁡[X2Y1]هـ⁡[X2Y2]⋯هـ⁡[X2Yن]⋮⋮⋱⋮هـ⁡[XمY1]هـ⁡[XمY2]⋯هـ⁡[XمYن]]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\end{bmatrix}}}المتجهات العشوائيةX{\displaystyle \mathbf {X} }وY{\displaystyle \mathbf {Y} }ليس بالضرورة أن يكون لهما نفس البعد، وقد يكون أي منهما قيمة عددية. حيثهـ{\displaystyle \operatorname {E} }هي القيمة المتوقعة .

مثال

على سبيل المثال، إذاX=(X1،X2،X3){\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)}وY=(Y1،Y2){\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)}إذا كانت متجهات عشوائية، فإنRXY{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}هو3×2{\displaystyle 3\times 2}مصفوفة(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}المدخل رقم -th هوهـ⁡[XأناYج]{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}.

تعريف المتجهات العشوائية المعقدة

لوZ=(Z1،...،Zم){\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})}ودبليو=(دبليو1،...،دبليون){\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})}هي متجهات عشوائية معقدة ، يحتوي كل منها على متغيرات عشوائية لها قيمة متوقعة وتباين موجودان، ومصفوفة الارتباط المتبادل لـZ{\displaystyle \mathbf {Z} }ودبليو{\displaystyle \mathbf {W} }يتم تعريفها بواسطةRZدبليو≜ هـ⁡[Zدبليوح]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}أينح{\displaystyle {}^{\rm {H}}}يشير إلى التبديل الهرميتي .

الارتباط المتبادل للعمليات العشوائية

في تحليل السلاسل الزمنية والإحصاء ، يُعرف الارتباط المتبادل بين زوج من العمليات العشوائية بأنه الارتباط بين قيم العمليات في أوقات مختلفة، كدالة للوقتين.(Xت،Yت){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}ليكن زوجًا من العمليات العشوائية، وت{\displaystyle t}في أي وقت (ت{\displaystyle t}قد يكون عددًا صحيحًا لعملية زمنية منفصلة أو عددًا حقيقيًا لعملية زمنية مستمرة . ثمXت{\displaystyle X_{t}}هي القيمة (أو التحقق ) التي ينتجها تشغيل معين للعملية في وقت معينت{\displaystyle t}.

دالة الارتباط المتبادل

لنفترض أن العملية لها وسائلμX(ت){\displaystyle \mu _{X}(t)}وμY(ت){\displaystyle \mu _{Y}(t)}والتبايناتσX2(ت){\displaystyle \sigma _{X}^{2}(t)}وσY2(ت){\displaystyle \sigma _{Y}^{2}(t)}في ذلك الوقتت{\displaystyle t}لكلت{\displaystyle t}ثم تعريف الارتباط المتبادل بين الأوقاتت1{\displaystyle t_{1}}وت2{\displaystyle t_{2}}هو [ 10 ] : ص.392RXY⁡(ت1،ت2)≜ هـ⁡[Xت1¯Yت2]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t_{1}}}}Y_{t_{2}}\right]}أينهـ{\displaystyle \operatorname {E} }هو عامل القيمة المتوقعة . لاحظ أن هذا التعبير قد لا يكون مُعرَّفاً.

دالة التغاير المتقاطع

ينتج عن طرح المتوسط ​​قبل الضرب التباين المشترك بين الأوقاتت1{\displaystyle t_{1}}وت2{\displaystyle t_{2}}[ 10 ] : ص 392كXY⁡(ت1،ت2)≜ هـ⁡[(Xت1-μX(ت1))¯(Yت2-μY(ت2))]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1})\right)}}(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))\right]}لاحظ أن هذا التعبير غير محدد جيدًا لجميع السلاسل الزمنية أو العمليات، لأن المتوسط ​​أو التباين قد لا يكون موجودًا.

تعريف العملية العشوائية الثابتة بالمعنى الواسع

يترك(Xت،Yت){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}لنفترض أن لدينا زوجًا من العمليات العشوائية التي تكون مستقرة بالمعنى الواسع . عندئذٍ، تكون دالة التغاير المشترك ودالة الارتباط المشترك دالتين فقط للتأخر الزمني.τ=ت2-ت1{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}(ليس الوقت المطلق)، ويتم تقديمها على النحو التالي.

دالة الارتباط المتبادل

RXY⁡(τ)≜ هـ⁡[Xت¯Yت+τ]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {X_{t}}}Y_{t+\tau }\right]}أو ما يعادل ذلكRXY⁡(τ)=هـ⁡[Xت-τ¯Yت]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {X_{t-\tau }}}Y_{t}\right]}

يستخدم نيولاند [ 11 ] هذا التعريف . تجدر الإشارة إلى أن بعض المراجع، بما في ذلك غوبنر [ 10 ]، تستخدم اصطلاحًا بديلًا.RXY⁡(τ)=هـ⁡[Xت+τY¯]{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {Y}}\right]}وهذا يُعادل عكس إشارة التأخير الزمني، وأخذ المرافق المركب (بالنسبة للعمليات ذات القيم المركبة). سيكون الطيف الناتج هو المرافق المركب للطيف الذي تم الحصول عليه بناءً على الاصطلاح الآخر.

دالة التغاير المتقاطع

كXY⁡(τ)≜ هـ⁡[(Xت-μX)¯(Yت+τ-μY)]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )\triangleq \ \operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}أو ما يعادل ذلككXY⁡(τ)=هـ⁡[(Xت-τ-μX)¯(Yت-μY)]{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t-\tau }-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t}-\mu _{Y}\right)\right]}أينμX{\displaystyle \mu _{X}}وσX{\displaystyle \sigma _{X}}يمثل المتوسط ​​والانحراف المعياري للعملية(Xت){\displaystyle (X_{t})}وهي ثابتة بمرور الوقت بسبب الاستقرار؛ وبالمثل بالنسبة لـ(Yت){\displaystyle (Y_{t})}، على التوالى.هـ⁡[ ]{\displaystyle \operatorname {E} [\ ]}يشير إلى القيمة المتوقعة . أن التغاير المشترك والارتباط المشترك مستقلان عنت{\displaystyle t}إن المعلومات الإضافية (إلى جانب كونها ثابتة بالمعنى الواسع للكلمة) التي ينقلها الشرط هي تحديدًا(Xت،Yت){\displaystyle (X_{t},Y_{t})}ثابتة بالمعنى الواسع .

يمكن تقدير الارتباط المتبادل بين عمليتين عشوائيتين ثابتتين بالمعنى الواسع عن طريق حساب متوسط ​​حاصل ضرب عينات مُقاسة من إحدى العمليتين وعينات مُقاسة من الأخرى (مع مراعاة إزاحاتها الزمنية). ويمكن أن تكون العينات المُدرجة في المتوسط ​​مجموعة فرعية عشوائية من جميع عينات الإشارة (مثل عينات ضمن نافذة زمنية محددة أو عينة فرعية من إحدى الإشارتين). وبالنسبة لعدد كبير من العينات، يتقارب المتوسط ​​مع قيمة الارتباط المتبادل الحقيقية.

تطبيع

من الممارسات الشائعة في بعض التخصصات (مثل الإحصاء وتحليل السلاسل الزمنية ) تطبيع دالة الارتباط المتبادل للحصول على معامل ارتباط بيرسون المعتمد على الزمن . مع ذلك، في تخصصات أخرى (مثل الهندسة) يُستغنى عادةً عن التطبيع، ويُستخدم مصطلحا "الارتباط المتبادل" و"التغاير المتبادل" بشكل متبادل.

تعريف الارتباط المتقاطع المعياري لعملية عشوائية هوρXX(ت1،ت2)=كXX⁡(ت1،ت2)σX(ت1)σX(ت2)=هـ⁡[(Xت1-μت1)¯(Xت2-μت2)]σX(ت1)σX(ت2){\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}\right)}}\left(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}}\right)\right]}{\sigma _{X}(t_{1})\sigma _{X}(t_{2})}}}إذا كانت الدالةρXX{\displaystyle \rho _{XX}}إذا كانت محددة جيدًا، فيجب أن تقع قيمتها ضمن النطاق[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}، حيث يشير الرقم 1 إلى الارتباط التام، ويشير الرقم -1 إلى الارتباط العكسي التام .

بالنسبة للعمليات العشوائية الثابتة ذات المعنى الواسع المشترك، يكون التعريف هوρXY(τ)=كXY⁡(τ)σXσY=هـ⁡[(Xت-μX)¯(Yت+τ-μY)]σXσY{\displaystyle \rho _{XY}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XY}(\tau )}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\operatorname {E} \left[{\overline {\left(X_{t}-\mu _{X}\right)}}\left(Y_{t+\tau }-\mu _{Y}\right)\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}}إن عملية التطبيع مهمة لأن تفسير الارتباط الذاتي على أنه ارتباط يوفر مقياسًا غير مرتبط بالمقياس لقوة الاعتماد الإحصائي ، ولأن التطبيع له تأثير على الخصائص الإحصائية للارتباطات الذاتية المقدرة.

ملكيات

خاصية التناظر

بالنسبة للعمليات العشوائية الثابتة ذات المعنى الواسع المشترك، تتمتع دالة الارتباط المتبادل بخاصية التناظر التالية: [ 12 ] : ص 173RXY⁡(ت1،ت2)=RYX⁡(ت2،ت1)¯{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{YX}(t_{2},t_{1})}}}بالنسبة لعمليات WSS المشتركة على التوالي:RXY⁡(τ)=RYX⁡(-τ)¯{\displaystyle \operatorname {R} _{XY}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{YX}(-\tau )}}}

تحليل التأخير الزمني

تُعدّ الارتباطات المتبادلة مفيدةً لتحديد التأخير الزمني بين إشارتين، على سبيل المثال، لتحديد التأخيرات الزمنية لانتشار الإشارات الصوتية عبر مصفوفة ميكروفونات. [ 13 ] [ 14 ] بعد حساب الارتباط المتبادل بين الإشارتين، تُشير القيمة القصوى (أو الدنيا إذا كانت الإشارتان مرتبطتين عكسيًا) لدالة الارتباط المتبادل إلى النقطة الزمنية التي تكون فيها الإشارتان متطابقتين على أفضل وجه؛ أي أن التأخير الزمني بين الإشارتين يُحدد بواسطة وسيط القيمة القصوى، أو arg max، للارتباط المتبادل، كما في

τدهـلأy=أرزمأxت∈R((و⋆ز)(ت)){\displaystyle \tau _{\mathrm {delay} }={\underset {t\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}((f\star g)(t))}

المصطلحات في معالجة الصور

الارتباط المتقاطع المعياري الصفري (ZNCC)

في تطبيقات معالجة الصور التي قد يختلف فيها سطوع الصورة والنموذج تبعًا لظروف الإضاءة والتعريض، يمكن أولًا تطبيع الصور. ويتم ذلك عادةً في كل خطوة عن طريق طرح المتوسط ​​والقسمة على الانحراف المعياري . أي، الارتباط المتبادل للنموذج ت(x،y){\displaystyle t(x,y)}مع صورة فرعيةو(x،y){\displaystyle f(x,y)}يكون

1نσوσت∑x،y(و(x،y)-μو)(ت(x،y)-μت){\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}\left(f(x,y)-\mu _{f}\right)\left(t(x,y)-\mu _{t}\right)}

أينن{\displaystyle n}عدد البكسلات فيت(x،y){\displaystyle t(x,y)}وو(x،y){\displaystyle f(x,y)}، μو{\displaystyle \mu _{f}}هو متوسطو{\displaystyle f}وσو{\displaystyle \sigma _{f}}الانحراف المعياري لـو{\displaystyle f}.

من منظور التحليل الوظيفي ، يمكن اعتبار هذا بمثابة الضرب النقطي لمتجهين معياريين . أي، إذاF(x،y)=و(x،y)-μو{\displaystyle F(x,y)=f(x,y)-\mu _{f}}وتي(x،y)=ت(x،y)-μت{\displaystyle T(x,y)=t(x,y)-\mu _{t}}إذن، المجموع أعلاه يساوي⟨F‖F‖،تي‖تي‖⟩{\displaystyle \left\langle {\frac {F}{\|F\|}},{\frac {T}{\|T\|}}\right\rangle }أين⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }هو المنتج الداخلي و‖⋅‖{\displaystyle \|\cdot \|}هي معيار L² . وبناءً على ذلك، فإن معيار كوشي-شفارتز يعني أن ZNCC له نطاق من[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}.

وبالتالي، إذاو{\displaystyle f}وت{\displaystyle t}إذا كانت مصفوفات حقيقية، فإن معامل الارتباط المتقاطع المعياري الخاص بها يساوي جيب تمام الزاوية بين متجهات الوحدة.F{\displaystyle F}وتي{\displaystyle T}، لكونه كذلك1{\displaystyle 1}إذا وفقط إذاF{\displaystyle F}يساويتي{\displaystyle T}مضروبًا في عدد قياسي موجب.

يُعدّ الارتباط المعياري أحد الأساليب المستخدمة في مطابقة القوالب ، وهي عملية تُستخدم للعثور على حالات نمط أو كائن داخل صورة. وهو أيضًا النسخة ثنائية الأبعاد من معامل ارتباط بيرسون .

الارتباط المتقاطع المعياري (NCC)

تتشابه NCC مع ZNCC مع الاختلاف الوحيد في عدم طرح متوسط ​​القيمة المحلية للشدة:1نσوσت∑x،yو(x،y)ت(x،y){\displaystyle {\frac {1}{n\sigma _{f}\sigma _{t}}}\sum _{x,y}f(x,y)t(x,y)}

الأنظمة غير الخطية

يجب توخي الحذر عند استخدام دالة الارتباط المتبادل التي تفترض تباينًا غاوسيًا للأنظمة غير الخطية. في بعض الحالات، التي تعتمد على خصائص المدخلات، قد يغفل الارتباط المتبادل بين مدخلات ومخرجات نظام ذي ديناميكيات غير خطية تمامًا عن بعض التأثيرات غير الخطية. [ 15 ] تنشأ هذه المشكلة لأن بعض العزوم التربيعية قد تساوي صفرًا، مما قد يوحي خطأً بوجود "ارتباط" ضعيف (بمعنى التبعية الإحصائية) بين إشارتين، بينما في الواقع ترتبط الإشارتان ارتباطًا وثيقًا بديناميكيات غير خطية.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ براسويل، ر. "تدوين النجمة الخماسية للارتباط المتبادل". تحويل فورييه وتطبيقاته. نيويورك: ماكجرو هيل، ص 46 و243، 1965.
  2. ↑ بابوليس، أ. التكامل الفورييه وتطبيقاته. نيويورك: ماكجرو هيل، ص 244-245 و252-253، 1962.
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "الارتباط المتبادل". من موقع MathWorld - أحد موارد Wolfram الإلكترونية. http://mathworld.wolfram.com/Cross-Correlation.html
  4. ↑ رابينر، إل آر؛ شيفر، آر دبليو (1978). المعالجة الرقمية لإشارات الكلام . سلسلة معالجة الإشارات. أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 147-148 . ISBN  0132136031.
  5. ↑ رابينر، لورانس ر.؛ جولد، برنارد (1975). نظرية وتطبيق معالجة الإشارات الرقمية . إنجلوود كليفس ، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 401. ISBN  0139141014.
  6. ↑ وانغ، تشين (2019). تعلم النواة للإدراك البصري، الفصل 2.2.1 (أطروحة دكتوراه). جامعة نانيانغ التكنولوجية، سنغافورة. ص 17-18 . doi : 10.32657/10220/47835 . hdl : 10356/105527 . 
  7. ↑ وانغ، تشين؛ تشانغ، لي؛ يوان، جونسونغ؛ شي، ليهوا (2018). "مُعامل الارتباط المتقاطع للنواة" . وقائع مؤتمر AAAI الثاني والثلاثين حول الذكاء الاصطناعي. 32. جمعية النهوض بالذكاء الاصطناعي: 4179-4186 . doi : 10.1609/aaai.v32i1.11710 . S2CID 3544911 . 
  8. ↑ كامبل؛ لو؛ ماكينلي (1996). الاقتصاد القياسي للأسواق المالية . نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0691043019.
  9. ↑ كابينتشيف، كونستانتين؛ برادو، أدريان؛ بارنز، فريدريك؛ بودوليانو، أدريان (2015). "تنفيذ الارتباط المتبادل باستخدام وحدة معالجة الرسومات لتوليد الصور في الوقت الحقيقي". المؤتمر الدولي التاسع لمعالجة الإشارات وأنظمة الاتصالات (ICSPCS) لعام 2015. الصفحات 1-6 . doi : 10.1109/ICSPCS.2015.7391783 . ISBN  978-1-4673-8118-5. S2CID 17108908 . 
  10. 1 2 3 4 غوبنر، جون أ. (2006). الاحتمالات والعمليات العشوائية لمهندسي الكهرباء والحاسوب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86470-1.
  11. ↑ نيولاند، دي إي (1993). مقدمة في الاهتزازات العشوائية، والتحليل الطيفي وتحليل الموجات ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN  978-0-582-21584-9.
  12. ↑ كون إيل بارك، أساسيات الاحتمالات والعمليات العشوائية مع تطبيقات في الاتصالات، سبرينغر، 2018، 978-3-319-68074-3
  13. ↑ رودي، ماثيو؛ برايان بوتشي؛ جيفري فيبرمان؛ جيفري ألاناش؛ بروس أبراهام (نوفمبر 2009). أساليب تحليل مصفوفات الميكروفونات باستخدام الارتباطات المتبادلة . وقائع مؤتمر الجمعية الأمريكية للمهندسين الميكانيكيين الدولي للهندسة الميكانيكية لعام 2009، ليك بوينا فيستا، فلوريدا. الصفحات 281-288 . doi : 10.1115/IMECE2009-10798 . ISBN  978-0-7918-4388-8.
  14. ↑ رودي، ماثيو (نوفمبر 2009). التنفيذ الفوري لمصنف النبضات العسكرية (رسالة ماجستير). جامعة بيتسبرغ.
  15. ↑ بيلينغز، إس. أ. (2013). تحديد الأنظمة غير الخطية: طرق نارماكس في مجالات الزمن والتردد والمكان والزمان . وايلي. ISBN 978-1-118-53556-1.

للمزيد من القراءة

  • طهماسبى، بيجمان؛ هزارخاني، أردشير؛ ساهيمي، محمد (2012). "النمذجة الجيولوجية الإحصائية متعددة النقاط القائمة على دوال الارتباط المتبادل". علوم الأرض الحاسوبية . 16 (3): 779-797 . Bibcode : 2012CmpGe..16..779T . doi : 10.1007/s10596-012-9287-1 . S2CID 62710397 .