أقصى قيمة للوسيط

في الرياضيات ، تُعرف وسيطات القيم العظمى ( arg max أو argmax ) ووسيطات القيم الصغرى ( arg min أو argmin ) بأنها نقاط الإدخال التي تكون عندها قيمة خرج الدالة في أعلى وأدنى قيمة لها ، على التوالي. ^{[ ملاحظة 1 ]} بينما تُعرَّف الوسيطات على مجال الدالة ، فإن الخرج جزء من مجالها المقابل .

بالنظر إلى مجموعة عشوائية${\displaystyle X}$مجموعة مرتبة تمامًا${\displaystyle Y}$ودالة ،${\displaystyle f\colon X\to Y}$، ال${\displaystyle \operatorname {argmax} }$على مجموعة فرعية${\displaystyle S}$ل${\displaystyle X}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

لو${\displaystyle S=X}$أو${\displaystyle S}$إذا كان ذلك واضحاً من السياق،${\displaystyle S}$غالباً ما يتم حذفها، كما في${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.}$بعبارة أخرى،${\displaystyle \operatorname {argmax} }$هي مجموعة النقاط${\displaystyle x}$والتي${\displaystyle f(x)}$يحقق أكبر قيمة للدالة (إن وجدت).${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$قد تكون المجموعة فارغة ، أو مجموعة مفردة ، أو تحتوي على عناصر متعددة.

في مجالي التحليل المحدب والتحليل التبايني ، يُستخدم تعريف مختلف قليلاً في الحالة الخاصة حيث${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$هي الأعداد الحقيقية الموسعة . ^{[ 2 ]} في هذه الحالة، إذا${\displaystyle f}$يساوي تمامًا${\displaystyle \infty }$على${\displaystyle S}$ثم${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$(إنه،${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty$ :=\varnothing } ) وإلا${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$يتم تعريفها كما سبق، حيث في هذه الحالة${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$ويمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

حيث يتم التأكيد على أن هذه المساواة تشمل${\displaystyle \sup {}_{S}f}$لا ينطبق إلا عندما${\displaystyle f}$ليس متطابقًا${\displaystyle \infty }$على${\displaystyle S}$[ ^{2 ]​}

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle 1-|x|,}$ثم${\displaystyle f}$تبلغ قيمتها القصوى${\displaystyle 1}$فقط عند النقطة${\displaystyle x=0.}$هكذا

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

ال${\displaystyle \operatorname {argmax} }$يختلف المشغل عن${\displaystyle \max }$المشغل. الـ${\displaystyle \max }$عند إعطاء نفس الدالة، يُعيد المعامل القيمة القصوى للدالة بدلاً من النقطة أو النقاط التي تُؤدي إلى وصول تلك الدالة إلى تلك القيمة؛ بعبارة أخرى

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$هو العنصر في${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

يحب${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$قد تكون القيمة القصوى مجموعة فارغة (وفي هذه الحالة تكون القيمة القصوى غير مُعرَّفة) أو عنصرًا منفردًا، ولكن على عكس${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$${\displaystyle \operatorname {max} }$لا يجوز أن يحتوي على عناصر متعددة: ^{[ ملاحظة 2 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle 4x^{2}-x^{4},}$ثم${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$لكن${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$لأن الدالة تحقق نفس القيمة عند كل عنصر من عناصر${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

وبعبارة أخرى، إذا${\displaystyle M}$هو الحد الأقصى لـ${\displaystyle f,}$ثم${\displaystyle \operatorname {argmax} }$هي مجموعة المستويات للحد الأقصى:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

يمكننا إعادة الترتيب للحصول على الهوية البسيطة ^{[ ملاحظة 3 ]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

إذا تم الوصول إلى الحد الأقصى عند نقطة واحدة، فغالباً ما يشار إلى هذه النقطة باسم${\displaystyle \operatorname {argmax} ,}$و${\displaystyle \operatorname {argmax} }$تُعتبر نقطة، وليست مجموعة نقاط. على سبيل المثال،

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(بدلاً من مجموعة العناصر المفردة )${\displaystyle \{5\}}$)، حيث أن القيمة القصوى لـ${\displaystyle x(10-x)}$يكون${\displaystyle 25,}$وهو ما يحدث لـ${\displaystyle x=5.}$^{[ ملاحظة 4 ]} ومع ذلك، في حالة الوصول إلى الحد الأقصى عند نقاط عديدة،${\displaystyle \operatorname {argmax} }$يجب اعتبارها مجموعة من النقاط.

على سبيل المثال

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

لأن القيمة القصوى لـ${\displaystyle \cos x}$يكون${\displaystyle 1,}$والذي يحدث في هذه الفترة لـ${\displaystyle x=0,2\pi }$أو${\displaystyle 4\pi .}$ على الخط الحقيقي بأكمله

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$إذن، مجموعة لا نهائية .

لا يشترط عموماً أن تصل الدوال إلى قيمة قصوى، وبالتالي فإن${\displaystyle \operatorname {argmax} }$قد تكون أحيانًا المجموعة الفارغة ؛ على سبيل المثال،${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,}$منذ${\displaystyle x^{3}}$هي غير محدودة على خط الأعداد الحقيقية . كمثال آخر،${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,}$بالرغم من${\displaystyle \arctan }$يحدها${\displaystyle \pm \pi /2.}$مع ذلك، وبحسب نظرية القيمة القصوى ، فإن الدالة الحقيقية المتصلة على فترة مغلقة لها قيمة عظمى، وبالتالي فهي غير فارغة.${\displaystyle \operatorname {argmax} .}$

• وسيط الدالة
• القيم العظمى والصغرى
• النمط (الإحصائيات)
• التحسين الرياضي
• النواة (الجبر الخطي)
• الصورة الأصلية
• دالة سوفتماكس

• روكافيلر, ر. تيريل ; ويتس، روجر J.-B. (26 يونيو 2009). التحليل المتغير . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  317. برلين نيويورك: سبرينغر للعلوم والإعلام التجاري . رقم ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 . 

• arg min و arg max في PlanetMath .