دالة الارتباط

دالة الارتباط هي دالة تُعطي الارتباط الإحصائي بين المتغيرات العشوائية ، اعتمادًا على المسافة المكانية أو الزمنية بين هذه المتغيرات. ^{[ 1 ]} إذا نظرنا إلى دالة الارتباط بين متغيرات عشوائية تُمثل نفس الكمية المقاسة عند نقطتين مختلفتين، فغالبًا ما يُشار إليها بدالة الارتباط الذاتي ، وهي تتكون من ارتباطات ذاتية . تُسمى دوال الارتباط لمتغيرات عشوائية مختلفة أحيانًا بدوال الارتباط المتبادل للتأكيد على اختلاف المتغيرات المدروسة ولأنها تتكون من ارتباطات متبادلة .

تُعدّ دوال الارتباط مؤشراً مفيداً للتبعيات كدالة للمسافة في الزمان أو المكان، ويمكن استخدامها لتقييم المسافة المطلوبة بين نقاط العينة لكي تكون القيم غير مرتبطة فعلياً. إضافةً إلى ذلك، يمكن أن تُشكّل أساساً لقواعد استيفاء القيم عند النقاط التي لا توجد لها مشاهدات.

تختلف دوال الارتباط المستخدمة في علم الفلك والتحليل المالي والاقتصاد القياسي والميكانيكا الإحصائية فقط في العمليات العشوائية المحددة التي تُطبق عليها. أما في نظرية الحقل الكمومي، فتوجد دوال ارتباط على التوزيعات الكمومية .

بالنسبة لمتغيرين عشوائيين قد يكونان مختلفين X ( s ) و Y ( t ) عند نقطتين مختلفتين s و t في فضاء ما، فإن دالة الارتباط هي

${\displaystyle C(s,t)=\operatorname {corr} (X(s),Y(t)),}$

أين${\displaystyle \operatorname {corr} }$تم شرح ذلك في مقال الارتباط . في هذا التعريف، تم افتراض أن المتغيرات العشوائية ذات قيم قياسية. إذا لم تكن كذلك، فيمكن تعريف دوال ارتباط أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، إذا كان X ( s ) متجهًا عشوائيًا مكونًا من n عنصرًا و Y (t) متجهًا مكونًا من q عنصرًا، فسيتم تعريف مصفوفة n × q من دوال الارتباط.${\displaystyle i,j}$عنصر

${\displaystyle C_{ij}(s,t)=\operatorname {corr} (X_{i}(s),Y_{j}(t)).}$

عندما يكون n = q ، يُركز أحيانًا على أثر هذه المصفوفة. إذا كانت لتوزيعات الاحتمالية أي تناظرات في فضاء الهدف، أي تناظرات في فضاء قيمة المتغير العشوائي (وتُسمى أيضًا التناظرات الداخلية )، فإن مصفوفة الارتباط ستحتوي على تناظرات مُستحثة. وبالمثل، إذا كانت هناك تناظرات في مجال المكان (أو الزمان) الذي توجد فيه المتغيرات العشوائية (وتُسمى أيضًا تناظرات الزمكان )، فإن دالة الارتباط ستحتوي على تناظرات مكانية أو زمنية مُناظرة. ومن أمثلة تناظرات الزمكان المهمة ما يلي :

• ينتج عن التناظر الانتقالي C ( s , s ' ) = C ( s − s ' ) حيث يتم تفسير s و s ' على أنهما متجهان يعطيان إحداثيات النقاط  
• بالإضافة إلى ما سبق، فإن التناظر الدوراني يعطي C ( s , s ' ) = C (| s − s ' |) حيث | x | يشير إلى معيار المتجه x (بالنسبة للدوران الفعلي، يكون هذا هو المعيار الإقليدي أو المعيار 2).  

تُعرَّف دوال الارتباط من الرتب العليا عادةً. دالة الارتباط النموذجية من الرتبة n هي (تمثل الأقواس الزاوية القيمة المتوقعة ).

${\displaystyle C_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}(s_{1},s_{2},\cdots ,s_{n})=\langle X_{i_{1}}(s_{1})X_{i_{2}}(s_{2})\cdots X_{i_{n}}(s_{n})\rangle .}$

إذا كان للمتجه العشوائي متغير مكون واحد فقط، فإن المؤشرات${\displaystyle i,j}$وهي زائدة عن الحاجة. إذا كانت هناك تناظرات، فيمكن تقسيم دالة الارتباط إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال للتناظرات - الداخلية والزمكانية على حد سواء.

بناءً على هذه التعريفات، فإن دراسة دوال الارتباط تشبه دراسة التوزيعات الاحتمالية . ويمكن وصف العديد من العمليات العشوائية وصفاً كاملاً بواسطة دوال الارتباط الخاصة بها؛ وأبرز مثال على ذلك هو فئة العمليات الغاوسية .

يمكن دائمًا تطبيع التوزيعات الاحتمالية المعرفة على عدد محدود من النقاط، ولكن عندما تُعرَّف هذه التوزيعات على فضاءات متصلة، فإن ذلك يستدعي مزيدًا من العناية. بدأت دراسة هذه التوزيعات بدراسة المسارات العشوائية وأدت إلى مفهوم حساب إيتو .

يُعمم تكامل مسار فاينمان في الفضاء الإقليدي هذا المفهوم ليشمل مسائل أخرى ذات أهمية في الميكانيكا الإحصائية . أي توزيع احتمالي يحقق شرطًا على دوال الارتباط يُسمى إيجابية الانعكاس، يؤدي إلى نظرية حقل كمومي محلية بعد دوران ويك إلى فضاء مينكوفسكي (انظر بديهيات أوستروالدر-شرادر ). عملية إعادة التطبيع هي مجموعة محددة من التحويلات من فضاء التوزيعات الاحتمالية إلى نفسه. تُسمى نظرية الحقل الكمومي قابلة لإعادة التطبيع إذا كان لهذا التحويل نقطة ثابتة تُعطي نظرية حقل كمومي.

• الارتباط الذاتي – ارتباط الإشارة بنسخة منها مُزاحة زمنيًا، كدالة للإزاحة 
• الارتباط لا يعني السببية – دحض مغالطة منطقية 
• مخطط الارتباط – مخطط إحصائيات الارتباط 
• دالة التغاير – دالة في نظرية الاحتمالات 
• معامل ارتباط بيرسون – مقياس الارتباط الخطي. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• دالة الارتباط (علم الفلك) - دالة تصف توزيع المجرات في الكون 
• دالة الارتباط (الميكانيكا الإحصائية) – مقياس لترتيب النظام 
• دالة الارتباط (نظرية الحقل الكمومي) – القيمة المتوقعة للمؤثرات الكمومية المرتبة زمنيًا 
• المعلومات المتبادلة – مقياس للارتباط بين متغيرين 
• نظرية تشويه المعدل – نظرية حول ضغط البيانات مع فقدان البيانات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• دالة التوزيع الشعاعي – وصف كثافة الجسيمات في الميكانيكا الإحصائية