دالة الارتباط (نظرية الحقل الكمومي)

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعرف دوال الارتباط ، التي يُشار إليها غالبًا باسم دوال الارتباط أو دوال غرين ، بأنها القيم المتوقعة في الفراغ لحاصل ضرب مؤثرات الحقل المرتبة زمنيًا . وهي عنصر أساسي في دراسة نظرية الحقل الكمومي، حيث يمكن استخدامها لحساب العديد من الكميات القابلة للرصد ، مثل عناصر مصفوفة التشتت (S-matrix) ، على الرغم من أنها ليست كميات قابلة للرصد بحد ذاتها. ويعود ذلك إلى أنها ليست بالضرورة ثابتة تحت التحويلات القياسية ، كما أنها ليست فريدة ، إذ قد تُنتج دوال ارتباط مختلفة نفس مصفوفة التشتت، وبالتالي تصف نفس الظاهرة الفيزيائية . ^{[ 1 ]} وهي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بدوال الارتباط بين المتغيرات العشوائية ، على الرغم من أنها تختلف عنها، إذ تُعرَّف في فضاء مينكوفسكي الزمكاني وعلى المؤثرات الكمومية.

بالنسبة لنظرية الحقل القياسي ذات الحقل الواحد${\displaystyle \phi (x)}$وحالة فراغ${\displaystyle |\أوميغا \rangle }$في كل حدث x في الزمكان، تكون دالة الارتباط ذات النقاط n هي القيمة المتوقعة للفراغ لحاصل الضرب المرتب زمنيًا لـ n من مؤثرات المجال في صورة هايزنبرغ$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

هنا${\displaystyle T\{\cdots \}}$هو عامل ترتيب الوقت الذي يرتب عوامل الحقل بحيث تظهر عوامل الحقل ذات الوقت الأقدم على يمين عوامل الحقل ذات الوقت الأحدث. وبتحويل الحقول والحالات إلى صورة التفاعل ، يُعاد كتابة ذلك على النحو التالي ^{[ 2 ].}$$//$$ أين${\displaystyle |0\rangle }$هي الحالة الأساسية للنظرية الحرة و${\displaystyle S[\phi ]}$هو الفعل . التوسع${\displaystyle e^{iS[\phi ]}}$باستخدام متسلسلة تايلور ، تصبح دالة الارتباط ذات النقاط n مجموع دوال ارتباط صور التفاعل، والتي يمكن حسابها باستخدام نظرية ويك . ويمكن تمثيل المجموع الناتج تخطيطيًا باستخدام مخططات فاينمان ، حيث يمكن حساب كل حد باستخدام قواعد فاينمان في فضاء الموضع.

مخطط فاينمان المتصل الذي يساهم في دالة الارتباط المتصلة ذات النقاط الست.

مخطط فاينمان غير متصل لا يساهم في دالة الارتباط المتصلة ذات النقاط الست.

سلسلة المخططات الناتجة عن${\displaystyle \langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$هي مجموعة جميع مخططات الفقاعات الفراغية ، وهي مخططات بدون أرجل خارجية. في الوقت نفسه،${\displaystyle \langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$يُعطى هذا المجموع بمجموعة جميع المخططات الممكنة التي تحتوي على n من الأرجل الخارجية بالضبط. وبما أن هذا المجموع يشمل أيضًا المخططات المنفصلة التي تحتوي على فقاعات فراغية، فإن البسط يتحلل إلى

(مجموع جميع مخططات الفقاعات)${\displaystyle \times }$(مجموع جميع الرسوم البيانية التي لا تحتوي على فقاعات).

ثم يُلغى العامل الأول مع عامل التوحيد في المقام، مما يعني أن دالة الارتباط ذات النقاط n هي مجموع جميع مخططات فاينمان باستثناء فقاعات الفراغ.

$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.}$$

مع استبعاد فقاعات الفراغ، يشمل المجموع المخططات غير المتصلة، وهي المخططات التي لا يكون فيها أحد الأرجل الخارجية متصلاً بجميع الأرجل الخارجية الأخرى عبر مسار متصل. وباستبعاد هذه المخططات غير المتصلة، يتم تعريف دوال الارتباط المتصلة ذات النقاط n.$${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}}$$

غالباً ما يُفضّل العمل مباشرةً مع هذه المخططات لأنها تحتوي على جميع المعلومات التي تحتويها دوال الارتباط الكاملة، إذ أن أي مخطط منفصل هو مجرد نتاج لمخططات متصلة. وباستبعاد مجموعات أخرى من المخططات، يمكن تعريف دوال ارتباط أخرى، مثل دوال الارتباط غير القابلة للاختزال للجسيم الواحد .

في صياغة التكامل المساري ، تُكتب دوال الارتباط ذات النقاط n كمتوسط ​​وظيفي $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.}$$

يمكن تقييمها باستخدام دالة التقسيم${\displaystyle Z[J]}$والتي تعمل كدالة مولدة ، مع${\displaystyle J}$باعتبارها حدًا مصدريًا، بالنسبة لوظائف الارتباط $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

وبالمثل، يمكن توليد دوال الارتباط المتصلة باستخدام${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$^{[ ملاحظة 1 ]} كما $${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

يمكن حساب سعات التشتت باستخدام دوال الارتباط عن طريق ربطها بمصفوفة S من خلال صيغة اختزال LSZ$${\displaystyle \langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

هنا الجسيمات في الحالة الأولية${\displaystyle |i\rangle }$استمتع بـ${\displaystyle -i}$الإشارة في الدالة الأسية، بينما الجسيمات في الحالة النهائية${\displaystyle |f\rangle }$استمتع بـ${\displaystyle +i}$جميع الحدود في مخطط فاينمان لتوسيع دالة الارتباط سيكون لها مُوَصِّل واحد لكل ساق خارجية، أي مُوَصِّل ينتهي عند${\displaystyle x_{i}}$والآخر عند رأس داخلي ما${\displaystyle x}$تتضح أهمية هذه الصيغة بعد تطبيق معاملات كلاين-غوردون على هذه الأطراف الخارجية باستخدام $${\displaystyle \left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).}$$

يُقال إن هذا يُؤدي إلى بتر المخططات بإزالة مُوَصِّلات الأرجل الخارجية ووضع الحالات الخارجية على الغلاف . تتلاشى جميع المساهمات الأخرى خارج الغلاف من دالة الارتباط. بعد تكامل دوال دلتا الناتجة، ما يتبقى من صيغة اختزال LSZ هو مجرد عملية تحويل فورييه حيث يكون التكامل على مواضع النقاط الداخلية.${\displaystyle x}$التي كانت متصلة بها مُوَصِّلات الأرجل الخارجية. في هذا الشكل، تُظهر صيغة الاختزال أن مصفوفة S هي تحويل فورييه لدوال الارتباط المبتورة مع الحالات الخارجية على الغلاف.

من الشائع التعامل مباشرة مع دالة الارتباط في فضاء الزخم${\displaystyle {\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})}$، يتم تعريفها من خلال تحويل فورييه لدالة الارتباط ^{[ 3 ]}$${\displaystyle (2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$ حيث تُوجّه الزخمات، اصطلاحًا، نحو الداخل في الرسم التخطيطي. ومن الكميات المفيدة التي يجب حسابها عند حساب سعات التشتت عنصر المصفوفة.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$والتي يتم تعريفها من مصفوفة S عبر $${\displaystyle \langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}}$$ أين${\displaystyle p_{i}}$تمثل هذه الزخمات الخارجية. ومن صيغة اختزال LSZ، يتبين أن عنصر المصفوفة مكافئ لدالة الارتباط في فضاء الزخم المتصل المبتور مع الزخمات الخارجية الموجهة بشكل صحيح ^{[ 4 ].}$${\displaystyle i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.}$$

بالنسبة للنظريات غير العددية، تُدخل صيغة الاختزال أيضًا حدودًا للحالات الخارجية، مثل متجهات الاستقطاب للفوتونات أو حالات الدوران للفيرميونات. وينشأ شرط استخدام دوال الارتباط المتصلة من تفكيك التجمعات، لأن عمليات التشتت التي تحدث عند مسافات كبيرة لا تتداخل مع بعضها البعض، وبالتالي يمكن معالجتها بشكل منفصل. ^{[ 5 ]}

• إجراء فعال
• دالة غرين (نظرية الأجسام المتعددة)
• دالة التقسيم (الرياضيات)
• حقل المصدر

• ألتلاند، أ.؛ سيمونز، ب. (2006). نظرية مجال المادة المكثفة . مطبعة جامعة كامبريدج .
• بيسكين، م.؛ شرودر، د.ف. (2018) مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . أديسون-ويسلي .