صيغة اختزال LSZ

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعدّ صيغة ليمان-سيمانزيك-زيمرمان ( LSZ ) طريقةً لحساب عناصر مصفوفة التشتت ( سعات التشتت ) من دوال الارتباط المرتبة زمنيًا لنظرية الحقل الكمومي. وهي خطوةٌ في المسار الذي يبدأ من لاغرانجيان نظرية حقل كمومي معينة ويؤدي إلى التنبؤ بالكميات القابلة للقياس. سُمّيت هذه الصيغة نسبةً إلى الفيزيائيين الألمان الثلاثة: هاري ليمان ، وكورت سيمانزيك ، وولفارت زيمرمان . ^{[ 1 ]}

على الرغم من أن صيغة اختزال LSZ لا تستطيع التعامل مع الحالات المقيدة ، والجسيمات عديمة الكتلة، والسوليتونات الطوبولوجية ، إلا أنه يمكن تعميمها لتشمل الحالات المقيدة، باستخدام الحقول المركبة التي غالبًا ما تكون غير محلية. علاوة على ذلك، أثبتت هذه الطريقة، أو متغيراتها، جدواها في مجالات أخرى من الفيزياء النظرية. فعلى سبيل المثال، في الفيزياء الإحصائية، يمكن استخدامها للحصول على صياغة عامة لنظرية التذبذب والتبدد .

عناصر مصفوفة S هي سعات احتمالية الانتقالات بين حالات الدخولوحالات الخروج . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} حالة الدخول${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$يصف حالة نظام من الجسيمات التي كانت، في الماضي البعيد، قبل تفاعلها، تتحرك بحرية بزخم محدد { p }، وعلى العكس من ذلك، حالة خارجية${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {out} \rangle }$يصف حالة نظام من الجسيمات التي، بعد فترة طويلة من التفاعل، ستتحرك بحرية مع زخم محدد { p }.

تُعتبر حالات الدخول والخروج حالات في صورة هايزنبرغ، لذا لا ينبغي اعتبارها تصف الجسيمات في وقت محدد، بل تصف نظام الجسيمات في تطوره الكامل، بحيث يكون عنصر مصفوفة S:

${\displaystyle S_{\rm {fi}}=\langle \{q\}\ \mathrm {out} |\{p\}\ \mathrm {in} \rangle }$

يمثل سعة الاحتمال لمجموعة من الجسيمات التي تم تحضيرها بزخم محدد { p } للتفاعل وقياسها لاحقًا كمجموعة جديدة من الجسيمات بزخم { q }.

أسهل طريقة ^{[ ملاحظة 1 ]} لإنشاء حالات الدخول والخروج هي البحث عن عوامل الحقول المناسبة التي توفر عوامل الإنشاء والإفناء الصحيحة . تُسمى هذه الحقول على التوالي حقول الدخول وحقول الخروج :

لتوضيح الأفكار، لنفترض أننا نتعامل مع حقل كلاين-غوردون الذي يتفاعل بطريقة ما:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$قد يحتوي على تفاعل ذاتي gφ ³ أو تفاعل مع حقول أخرى، مثل تفاعل يوكاوا${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$ومن هذا اللاغرانجي ، باستخدام معادلات أويلر-لاغرانج ، تتبع معادلة الحركة:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

أين، إذا${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$لا يحتوي على اقترانات مشتقة:

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

قد نتوقع أن يشبه السلوك داخل المجال السلوك التقاربي للمجال الحر كما${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$بافتراض أن التفاعل الموصوف بالتيار j₀ في الماضي البعيد ضئيل، نظرًا لبُعد الجسيمات عن بعضها، تُسمى هذه الفرضية _{بالفرضية} الأديباتية . مع ذلك، _لا يتلاشى التفاعل الذاتي أبدًا، وإلى جانب العديد من التأثيرات الأخرى، فإنه يُحدث فرقًا بين الكتلة اللاغرانجية m₀ والكتلة الفيزيائية m لبوزون φ . يجب أخذ هذه الحقيقة في الحسبان بإعادة كتابة معادلة الحركة على النحو التالي:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

يمكن حل هذه المعادلة رسميًا باستخدام دالة غرين المتأخرة لمؤثر كلاين-غوردون${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

مما يسمح لنا بفصل التفاعل عن السلوك التقاربي. الحل هو:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

العامل${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$هو عامل توحيد سيكون مفيدًا لاحقًا، المجال${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$هو حل للمعادلة المتجانسة المرتبطة بمعادلة الحركة:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {in} }(x)=0,}$

وبالتالي فهو مجال حر يصف موجة واردة غير مضطربة، بينما يعطي الحد الأخير من الحل اضطراب الموجة بسبب التفاعل.

المجال${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$هو بالفعل المجال الذي كنا نبحث عنه، لأنه يصف السلوك التقاربي للمجال المتفاعل على النحو التالي:${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$مع أن هذا البيان سيُوضَّح بدقة أكبر لاحقًا. إنه حقل قياسي حر، لذا يمكن توسيعه في موجات مستوية.

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

أين:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

يمكن بسهولة الحصول على الدالة العكسية للمعاملات بدلالة المجال ووضعها في الشكل الأنيق التالي:

${\displaystyle a_{\mathrm {in} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)}$

أين:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial _{0}}}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

تحقق معاملات فورييه جبر عوامل الإنشاء والإفناء :

${\displaystyle [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {in} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

ويمكن استخدامها للبناء في الولايات بالطريقة المعتادة:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {in} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

إن العلاقة بين المجال المتفاعل والمجال الداخلي ليست سهلة الاستخدام، ووجود دالة غرين المتأخرة يغرينا بكتابة شيء مثل:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)\qquad \mathrm {as} \quad x^{0}\to -\infty }$

يفترض هذا ضمنيًا أن جميع التفاعلات تصبح ضئيلة عندما تكون الجسيمات بعيدة عن بعضها. ومع ذلك، فإن التيار _j ( x ) يحتوي أيضًا على تفاعلات ذاتية مثل تلك التي تُنتج تغير الكتلة من m₀ إلى m . لا تتلاشى هذه التفاعلات مع ابتعاد الجسيمات، لذا يجب توخي الحذر الشديد عند تحديد العلاقات التقاربية بين المجال المتفاعل والمجال الداخلي .

تتطلب الوصفة الصحيحة، كما طورها ليمان وسيمانزيك وزيمرمان، حالتين قابلتين للتطبيع${\displaystyle |\alpha \rangle }$و${\displaystyle |\beta \rangle }$وحل قابل للتطبيع f ( x ) لمعادلة كلاين-غوردون  ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$باستخدام هذه الأجزاء، يمكن صياغة علاقة تقاربية صحيحة ومفيدة ولكنها ضعيفة للغاية:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {in} }(x)|\beta \rangle }$

العضو الثاني مستقل بالفعل عن الزمن، كما يمكن إثبات ذلك من خلال التفاضل وتذكر أن كليهما${\displaystyle \varphi _{\mathrm {in} }}$و f تحقق معادلة كلاين-غوردون .  

بإجراء التعديلات المناسبة، يمكن اتباع الخطوات نفسها لإنشاء حقل خارجي يقوم بإنشاء حالات خارجية . وعلى وجه الخصوص، تعريف الحقل الخارجي هو:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

أين${\displaystyle \Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)}$هي دالة غرين المتقدمة لمؤثر كلاين-غوردون. العلاقة التقاربية الضعيفة بين الحقل الخارجي والحقل المتفاعل هي:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\varphi _{\mathrm {out} }(x)|\beta \rangle }$

العلاقات التقاربية هي كل ما نحتاجه للحصول على صيغة اختزال LSZ. ولتسهيل الأمر لاحقًا، نبدأ بعنصر المصفوفة:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$

وهو أكثر عمومية بقليل من عنصر مصفوفة S. في الواقع،${\displaystyle {\mathcal {M}}}$القيمة المتوقعة هي حاصل الضرب المرتب زمنيًا لعدد من الحقول${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$بين حالة خارجية وحالة داخلية . يمكن أن تحتوي الحالة الخارجية على أي شيء من الفراغ إلى عدد غير محدد من الجسيمات، ويتم تلخيص زخمها بالمؤشر β . تحتوي الحالة الداخلية على جسيم واحد على الأقل ذي زخم p ، وربما العديد من الجسيمات الأخرى، ويتم تلخيص زخمها بالمؤشر α . إذا لم تكن هناك حقول في حاصل الضرب المرتب زمنيًا، فإن${\displaystyle {\mathcal {M}}}$من الواضح أن هذا عنصر من عناصر مصفوفة S. يمكن "استخراج" الجسيم ذي الزخم p من الحالة الأصلية باستخدام عامل الإنشاء:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

أين يقع رئيس الوزراء${\displaystyle \alpha }$يشير هذا إلى أنه قد تم إخراج جسيم واحد. بافتراض عدم وجود أي جسيم ذي زخم p في حالة الإخراج ، أي أننا نتجاهل التشتت الأمامي، يمكننا كتابة ما يلي:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {out} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

لأن${\displaystyle a_{\mathrm {out} }^{\dagger }}$يؤدي العمل على اليسار إلى الصفر. عند التعبير عن عوامل الإنشاء بدلالة الحقول الداخلة والخارجة ، نحصل على:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {out} {\bigg |}\left\{\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {in} }(x)-\varphi _{\mathrm {out} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\right\}{\bigg |}\alpha '\ \mathrm {in} \right\rangle }$

والآن يمكننا استخدام الشرط التقاربي لكتابة:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle \right\}}$

ثم نلاحظ أنه يمكن إدخال الحقل φ ( x ) داخل حاصل الضرب المرتب زمنيًا، لأنه يظهر على اليمين عندما x ⁰ → −∞ وعلى اليسار عندما x ⁰ → ∞ :

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

فيما يلي، يُعد اعتماد x في المنتج المرتب زمنيًا هو الأمر المهم، لذلك نحدد ما يلي:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\eta (x)}$

يمكن إثبات ذلك من خلال إجراء التكامل الزمني بشكل صريح: ^{[ ملاحظة 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

وبالتالي، من خلال الاشتقاق الزمني الصريح، لدينا:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

بحسب تعريفها، نرى أن f _p ( x ) هو حل لمعادلة كلاين-غوردون، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي:  

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

بالتعويض في التعبير عن${\displaystyle {\mathcal {M}}}$وبالتكامل على أجزاء، نصل إلى:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

إنه:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {out} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$

انطلاقًا من هذه النتيجة، وباتباع المسار نفسه، يمكن استخراج جسيم آخر من الحالة الداخلة ، مما يؤدي إلى إدخال حقل آخر في حاصل الضرب المرتب زمنيًا. ويمكن لروتين مشابه جدًا استخراج جسيمات من الحالة الخارجة ، ويمكن تكرار العمليتين للحصول على فراغ على يمين ويسار حاصل الضرب المرتب زمنيًا، مما يؤدي إلى الصيغة العامة التالية:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\Omega \rangle }$

ما هي صيغة اختزال LSZ للكميات القياسية لكلاين-غوردون؟ تكتسب هذه الصيغة مظهرًا أفضل بكثير إذا كُتبت باستخدام تحويل فورييه لدالة الارتباط.

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle \Omega |\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|\Omega \rangle }$

باستخدام التحويل العكسي للتعويض في صيغة اختزال LSZ، وببعض الجهد، يمكن الحصول على النتيجة التالية:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {out} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {in} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

وبغض النظر عن عوامل التطبيع، تؤكد هذه الصيغة أن عناصر مصفوفة S هي بقايا الأقطاب التي تنشأ في تحويل فورييه لوظائف الارتباط عندما يتم وضع الزخم الرباعي على الغلاف.

تذكر أن حلول معادلة ديراك الكمومية في المجال الحر يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle \Psi (x)=\sum _{s=\pm }\int \!\mathrm {d} {\tilde {p}}{\big (}b_{\textbf {p}}^{s}u_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}+d_{\textbf {p}}^{\dagger s}v_{\textbf {p}}^{s}\mathrm {e} ^{-ip\cdot x}{\big )},}$

حيث تكون الإشارة المترية في الغالب موجبة،${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s}}$هو عامل إفناء للجسيمات من النوع b ذات الزخم${\displaystyle {\textbf {p}}}$وتدور${\displaystyle s=\pm }$،${\displaystyle d_{\textbf {p}}^{\dagger s}}$هو عامل إنشاء لجسيمات من النوع d ذات اللف المغزلي${\displaystyle s}$والسبينورات${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$و${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$مُرضٍ${\displaystyle (p\!\!\!/+m)u_{\textbf {p}}^{s}=0}$و${\displaystyle (p\!\!\!/-m)v_{\textbf {p}}^{s}=0}$يُكتب المقياس الثابت لورنتز على النحو التالي:${\displaystyle \mathrm {d} {\tilde {p}}:=\mathrm {d} ^{3}p/(2\pi )^{3}2\omega _{\textbf {p}}}$، مع${\displaystyle \omega _{\textbf {p}}={\sqrt {{\textbf {p}}^{2}+m^{2}}}}$لنفترض الآن حدث تشتت يتكون من حالة${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$من الجسيمات غير المتفاعلة التي تقترب من منطقة التفاعل عند نقطة الأصل، حيث يحدث التشتت، متبوعًا بحالة خارجية${\displaystyle |\beta \ \mathrm {out} \rangle }$من الجسيمات الخارجة غير المتفاعلة. سعة الاحتمال لهذه العملية معطاة بـ

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle ,}$

حيث لم يتم إدخال أي ناتج إضافي مرتب زمنيًا لمؤثرات المجال، وذلك للتبسيط. ستكون الحالة المدروسة هي تشتت${\displaystyle n}$جسيمات من النوع ب إلى${\displaystyle n'}$جسيمات من النوع b. لنفترض أن الحالة الداخلية تتكون من${\displaystyle n}$جسيمات ذات زخم${\displaystyle \{{\textbf {p}}_{1},...,{\textbf {p}}_{n}\}}$ويدور${\displaystyle \{s_{1},...,s_{n}\}}$بينما تحتوي الحالة الخارجية على جسيمات ذات زخم${\displaystyle \{{\textbf {k}}_{1},...,{\textbf {k}}_{n'}\}}$ويدور${\displaystyle \{\sigma _{1},...,\sigma _{n'}\}}$ثم يتم تحديد حالتي الدخول والخروج بواسطة

${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =|{\textbf {p}}_{1}^{s_{1}},...,{\textbf {p}}_{n}^{s_{n}}\rangle \quad {\text{and}}\quad |\beta \ \mathrm {out} \rangle =|{\textbf {k}}_{1}^{\sigma _{1}},...,{\textbf {k}}_{n'}^{\sigma _{n'}}\rangle .}$

استخراج جسيم داخلي من${\displaystyle |\alpha \ \mathrm {in} \rangle }$ينتج عنه عامل إنشاء حقل حر${\displaystyle b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}}$بالتأثير على الحالة التي تحتوي على جسيم أقل. بافتراض أن أي جسيم خارج لا يمتلك نفس الزخم، يمكننا كتابة

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {out} |b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {in} }^{\dagger s_{1}}-b_{{\textbf {p}}_{1},\mathrm {out} }^{\dagger s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

أين يقع رئيس الوزراء${\displaystyle \alpha }$يشير هذا إلى أنه قد تم إخراج جسيم واحد. تذكر الآن أنه في النظرية الحرة، يمكن كتابة مؤثرات الجسيمات من النوع b بدلالة الحقل باستخدام العلاقة العكسية

${\displaystyle b_{\textbf {p}}^{\dagger s}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x\;\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s},}$

أين${\displaystyle {\bar {\Psi }}(x)=\Psi ^{\dagger }(x)\gamma ^{0}}$. نرمز إلى الحقول الحرة التقاربية بـ${\displaystyle \Psi _{\text{in}}}$و${\displaystyle \Psi _{\text{out}}}$، نجد

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}-{\bar {\Psi }}_{\text{out}}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

الشرط التقاربي الضعيف اللازم لحقل ديراك، المماثل للشرط الخاص بالحقول العددية، هو:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\rightarrow -\infty }\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ={\sqrt {Z}}\int \!\mathrm {d} ^{3}x\langle \beta |\mathrm {e} ^{ip\cdot x}{\bar {\Psi }}_{\text{in}}(x)\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s}|\alpha \rangle ,}$

وينطبق الأمر نفسه على المجال الخارجي . وتكون سعة التشتت عندئذٍ

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow -\infty }-\lim _{x_{1}^{0}\rightarrow +\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}x_{1}\;\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ,}$

حيث يظهر الآن الحقل المتفاعل في الضرب الداخلي. بإعادة كتابة النهايات بدلالة تكامل المشتقة الزمنية ، نحصل على

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\partial _{0}{\big (}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle {\big )}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}(\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\eta (x_{1})+\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}\partial _{0}\eta (x_{1}){\big )}\gamma ^{0}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}},}$

حيث يُكتب متجه الصف لعناصر مصفوفة حقل ديراك المُقيد على النحو التالي${\displaystyle \eta (x_{1}):=\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle }$والآن، تذكر ذلك${\displaystyle \mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$هو حل لمعادلة ديراك:

${\displaystyle (-i\partial \!\!\!/+m)\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}=0.}$

حل لـ${\displaystyle \gamma ^{0}\partial _{0}\mathrm {e} ^{ip\cdot x}u_{\textbf {p}}^{s}}$وباستبدالها في الحد الأول من التكامل، وإجراء التكامل بالتجزئة، ينتج

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}{\big (}i\partial _{\mu }\eta (x_{1})\gamma ^{\mu }+\eta (x_{1})m{\big )}u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}.}$

يسمح التحول إلى تدوين مؤشر ديراك (مع المجاميع على المؤشرات المتكررة) بتعبير أكثر أناقة، حيث تعتبر الكمية الموجودة بين قوسين مربعين بمثابة عامل تفاضلي:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}x_{1}\mathrm {e} ^{ip_{1}\cdot x_{1}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{1}}+m)u_{{\textbf {p}}_{1}}^{s_{1}}]_{\alpha _{1}}\langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

لننظر الآن إلى عنصر المصفوفة الظاهر في التكامل. باستخراج عامل إنشاء حالة خارجية وطرح عامل الحالة الداخلية المقابل ، بافتراض أن أي جسيم وارد لا يمتلك نفس الزخم، نحصل على

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle =\langle \beta '\ \mathrm {out} |b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {out} }^{\sigma _{1}}{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})-{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})b_{{\textbf {k}}_{1},\mathrm {in} }^{\sigma _{1}}|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

تذكر ذلك${\displaystyle ({\bar {\Psi }}\gamma ^{0}u_{\textbf {p}}^{s})^{\dagger }={\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}\gamma ^{0}\Psi }$، أين${\displaystyle {\bar {u}}_{\textbf {p}}^{s}:=u_{\textbf {p}}^{\dagger s}\beta }$يمكننا استبدال عوامل الإفناء بـ في الحقول باستخدام المرافق للعلاقة العكسية. بتطبيق العلاقة التقاربية، نجد

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {Z}}}{\Big (}\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow \infty }-\lim _{y_{1}^{0}\rightarrow -\infty }{\Big )}\int \!\mathrm {d} ^{3}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}\gamma ^{0}]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

لاحظ ظهور رمز ترتيب زمني، لأن الحد الأول يتطلب${\displaystyle \Psi _{\beta _{1}}(y_{1})}$على اليسار، بينما يتطلب الحد الثاني وجوده على اليمين. باتباع نفس الخطوات السابقة، يختزل هذا التعبير إلى

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |{\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle ={\frac {i}{\sqrt {Z}}}\int \!\mathrm {d} ^{4}y_{1}\mathrm {e} ^{-ik_{1}\cdot y_{1}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{1}}^{\sigma _{1}}(-i\partial \!\!\!/_{y_{1}}+m)]_{\beta _{1}}\langle \beta '\ \mathrm {out} |\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})]|\alpha '\ \mathrm {in} \rangle .}$

ويمكن بعد ذلك استخراج بقية حالات الدخول والخروج واختزالها بنفس الطريقة، مما يؤدي في النهاية إلى

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {out} |\alpha \ \mathrm {in} \rangle =\int \!\prod _{j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{j}{\frac {i\mathrm {e} ^{-ip_{j}x_{j}}}{\sqrt {Z}}}[(i{\partial \!\!\!/}_{x_{j}}+m)u_{{\textbf {p}}_{j}}^{s_{j}}]_{\alpha _{j}}\prod _{l=1}^{n'}\mathrm {d} ^{4}y_{l}{\frac {i\mathrm {e} ^{ik_{l}y_{l}}}{\sqrt {Z}}}[{\bar {u}}_{{\textbf {k}}_{l}}^{\sigma _{l}}(-i{\partial \!\!\!/}_{y_{l}}+m)]_{\beta _{l}}\langle 0|\mathrm {T} [\Psi _{\beta _{1}}(y_{1})...\Psi _{\beta _{n'}}(y_{n'}){\bar {\Psi }}_{\alpha _{1}}(x_{1})...{\bar {\Psi }}_{\alpha _{n}}(x_{n})]|0\rangle .}$

يمكن اتباع الإجراء نفسه لتشتت الجسيمات من النوع d، والذي${\displaystyle u_{\textbf {p}}^{s}}$يتم استبدال 's بـ${\displaystyle v_{\textbf {p}}^{s}}$'رمل${\displaystyle \Psi }$'رمل${\displaystyle {\bar {\Psi }}}$تم تبديل الحرف 's.

يمكن فهم سبب عامل التطبيع Z في تعريف الحقول الداخلية والخارجية من خلال أخذ تلك العلاقة بين الفراغ وحالة الجسيم الواحد${\displaystyle |p\rangle }$مع أربع لحظات على الصدفة:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

مع الأخذ في الاعتبار أن كلاً من φ و φ _في عبارة عن حقول قياسية مع تحويل لورنتز الخاص بها وفقًا لما يلي:

${\displaystyle \varphi (x)=e^{iP\cdot x}\varphi (0)e^{-iP\cdot x}}$

حيث P ^μ هو عامل الزخم الرباعي، يمكننا كتابة:

${\displaystyle e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {Z}}e^{-ip\cdot x}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(0)|p\rangle +\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle }$

بتطبيق مؤثر كلاين-غوردون ∂ ² + m ² على كلا الجانبين، مع الأخذ في الاعتبار أن العزم الرباعي p موجود على الغلاف وأن Δ _ret هي دالة غرين للمؤثر، نحصل على:

${\displaystyle 0=0+\int \mathrm {d} ^{4}y\delta ^{4}(x-y)\langle 0|j(y)|p\rangle$ ;\quad \Leftrightarrow \quad \langle 0|j(x)|p\rangle =0}

وهكذا نصل إلى العلاقة التالية:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (x)|p\rangle ={\sqrt {Z}}\langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle }$

وهذا ما يفسر الحاجة إلى العامل Z. المجال الداخلي هو مجال حر، لذا فهو لا يستطيع ربط سوى حالات الجسيم الواحد بالفراغ. أي أن قيمته المتوقعة بين الفراغ وحالة الجسيمات المتعددة تساوي صفرًا. من ناحية أخرى، يستطيع المجال المتفاعل أيضًا ربط حالات الجسيمات المتعددة بالفراغ، بفضل التفاعل، لذا فإن القيم المتوقعة على جانبي المعادلة الأخيرة مختلفة، وتحتاج إلى عامل توحيد بينهما. يمكن حساب الجانب الأيمن صراحةً، بتوسيع المجال الداخلي في عوامل الإنشاء والإفناء.

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{q})^{\frac {1}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )|p\rangle =\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}q}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}e^{-iq\cdot x}\langle 0|a_{\mathrm {in} }(\mathbf {q} )a_{\mathrm {in} }^{\dagger }(\mathbf {p} )|0\rangle }$

باستخدام علاقة التبادل بين a _في و${\displaystyle a_{\mathrm {in} }^{\dagger }}$نحصل على:

${\displaystyle \langle 0|\varphi _{\mathrm {in} }(x)|p\rangle ={\frac {e^{-ip\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}}}}$

مما يؤدي إلى العلاقة التالية:

${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle ={\sqrt {\frac {Z}{(2\pi )^{3}}}}}$

والتي يمكن من خلالها حساب قيمة Z ، بشرط أن يعرف المرء كيفية الحساب${\displaystyle \langle 0|\varphi (0)|p\rangle }$.