حالة مقيدة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 53 صور
الموسوعة الحرة

الحالة المرتبطة هي عبارة عن مركب من اثنين أو أكثر من اللبنات الأساسية، مثل الجسيمات أو الذرات أو الأجسام، والتي تتصرف كجسم واحد، ويتطلب فصلها طاقة. [ 1 ]

في فيزياء الكم ، تُعرَّف الحالة المقيدة بأنها حالة كمومية لجسيم يخضع لجهدٍ ما ، بحيث يميل الجسيم إلى البقاء متمركزًا في منطقة أو أكثر من الفضاء. [ 2 ] قد يكون هذا الجهد خارجيًا، أو قد يكون ناتجًا عن وجود جسيم آخر؛ في الحالة الأخيرة، يمكن تعريف الحالة المقيدة، بشكل مكافئ، بأنها حالة تمثل جسيمين أو أكثر تتجاوز طاقة تفاعلهما الطاقة الكلية لكل جسيم على حدة. ومن النتائج المترتبة على ذلك أنه عند انعدام الجهد عند اللانهاية ، فإن الحالات ذات الطاقة السالبة تكون بالضرورة مقيدة. ويكون طيف طاقة مجموعة الحالات المقيدة منفصلًا في أغلب الأحيان، على عكس حالات تشتت الجسيمات الحرة ، التي يكون طيفها متصلًا.

على الرغم من أنها ليست حالات مقيدة بالمعنى الدقيق، إلا أن الحالات شبه المستقرة ذات طاقة التفاعل الموجبة الصافية، ولكن بزمن اضمحلال طويل، تُعتبر في كثير من الأحيان حالات مقيدة غير مستقرة أيضاً، وتُسمى "حالات شبه مقيدة". [ 3 ] ومن الأمثلة على ذلك النويدات المشعة وذرات ريدبيرغ . [ 4 ]

في نظرية الحقل الكمومي النسبية ، حالة ارتباط مستقرة لـ n جسيمًا بكتل{مك}ك=1ن{\displaystyle \{m_{k}\}_{k=1}^{n}}يتوافق مع قطب في مصفوفة S بطاقة مركز كتلة أقل من∑كمك{\displaystyle \textstyle \sum _{k}m_{k}}. تظهر حالة الارتباط غير المستقرة على شكل قطب ذي طاقة مركز كتلة معقدة .

أمثلة

نظرة عامة على مختلف عائلات الجسيمات الأولية والمركبة، والنظريات التي تصف تفاعلاتها

تعريف

ليكن σ فضاء قياس منتهٍ(X،أ،μ){\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}ليكن فضاء احتمالي مرتبطًا بفضاء هيلبرت المركب القابل للفصلح{\displaystyle H}عرّف مجموعة ذات مُعامل واحد من المؤثرات الوحدوية(يوت)ت∈R{\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}، عامل الكثافةρ=ρ(ت0){\displaystyle \rho =\rho (t_{0})}وشيء قابل للملاحظةتي{\displaystyle T}علىح{\displaystyle H}. يتركμ(تي،ρ){\displaystyle \mu (T,\rho )}ليكن التوزيع الاحتمالي المستحث لـتي{\displaystyle T}بالنسبة إلىρ{\displaystyle \rho }ثم التطور

ρ(ت0)↦[يوت(ρ)](ت0)=ρ(ت0+ت){\displaystyle \rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)}

ملزم فيما يتعلق بـتي{\displaystyle T}لو

ليمR→∞رشفةت≥ت0μ(تي،ρ(ت))(R>R)=0{\displaystyle \lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0}،

أينR>R={x∈R|x>R}{\displaystyle \mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace }[ 9 ]​

تكون الجسيمات الكمومية في حالة مقيدة إذا لم يتم العثور عليها في أي لحظة زمنية "بعيدة جدًا" عن أي منطقة محدودةR⊂X{\displaystyle R\subset X}باستخدام تمثيل دالة الموجة ، على سبيل المثال، هذا يعني [ 10 ]

0=ليمR→∞P(تم قياس الجسيمات في الداخل X∖R)=ليمR→∞∫X∖R|ψ(x)|2دμ(x)،{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{الجسيم المقاس داخل }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}}

بحيث

∫X|ψ(x)|2دμ(x)<∞.{\displaystyle \int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .}

بشكل عام، تكون الحالة الكمومية حالة مقيدة إذا وفقط إذا كانت قابلة للتطبيع بشكل محدود لجميع الأوقاتت∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} }ويظل موضعيًا مكانيًا. [ 11 ] علاوة على ذلك، تقع الحالة المقيدة ضمن الجزء النقطي البحت من طيفتي{\displaystyle T}إذا وفقط إذا كان متجهًا ذاتيًا لـتي{\displaystyle T}[ 12 ]​

بصورة غير رسمية، ينتج "التقييد" في المقام الأول عن اختيار مجال التعريف وخصائص الحالة، وليس عن الشيء القابل للملاحظة. [ ملاحظة 1 ] على سبيل المثال: ليكنح:=ل2(R){\displaystyle H:=L^{2}(\mathbb {R} )}ودعتي{\displaystyle T}ليكن عامل الموضع . معطى مدعوم بشكل مضغوطρ=ρ(0)∈ح{\displaystyle \rho =\rho (0)\in H}و[-1،1]⊆Suصص(ρ){\displaystyle [-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )}.

  • إذا كان تطور الحالةρ{\displaystyle \rho }"ينقل حزمة الموجات هذه إلى اليمين"، على سبيل المثال، إذا[ت-1،ت+1]∈Suصص(ρ(ت)){\displaystyle [t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))}للجميعت≥0{\displaystyle t\geq 0}، ثمρ{\displaystyle \rho }لا توجد حالة مقيدة فيما يتعلق بالموقع.
  • لوρ{\displaystyle \rho }لا يتغير بمرور الوقت، أيρ(ت)=ρ{\displaystyle \rho (t)=\rho }للجميعت≥0{\displaystyle t\geq 0}، ثمρ{\displaystyle \rho }مرتبط بالموقع.
  • وبشكل أعم: إذا كان تطور حالةρ{\displaystyle \rho }"مجرد تحركات"ρ{\displaystyle \rho }"داخل نطاق محدود"، إذنρ{\displaystyle \rho }مرتبط بالموقع.

ملكيات

بما أن الحالات القابلة للتطبيع المحدود يجب أن تقع ضمن الجزء النقطي النقي من الطيف، فإن الحالات المقيدة يجب أن تقع ضمن الجزء النقطي النقي أيضًا. مع ذلك، وكما أشار نيومان وويغنر ، من الممكن أن تقع طاقة الحالة المقيدة في الجزء المتصل من الطيف. تُعرف هذه الظاهرة باسم الحالة المقيدة في المتصل . [ 13 ] [ 14 ]

الحالات المرتبطة بالموقع

لنفترض معادلة شرودنغر للجسيم الواحد. إذا كانت الحالة تمتلك طاقةهـ<الأعلى(ليمx→∞V(x)،ليمx→-∞V(x)){\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}إذن، تحقق الدالة الموجية ψ ، لبعضX>0{\displaystyle X>0}

ψ′′ψ=2مℏ2(V(x)-هـ)>0 ل x>X{\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ لـ }}x>X}

بحيث يتم كبح ψ أُسّيًا عند قيم x الكبيرة . وقد دُرِس هذا السلوك جيدًا بالنسبة للجهود المتغيرة بسلاسة في تقريب WKB للدالة الموجية، حيث يُلاحَظ سلوك تذبذبي إذا كان الطرف الأيمن من المعادلة سالبًا، وسلوك متزايد/متناقص إذا كان موجبًا. [ 15 ] وبالتالي، فإن حالات الطاقة السالبة تكون مقيدة إذاV(x){\displaystyle V(x)}يختفي عند اللانهاية.

عدم الانحلال في الحالات المقيدة أحادية البعد

يمكن إثبات أن الحالات المقيدة أحادية البعد غير متحللة في الطاقة بالنسبة للدوال الموجية المنتظمة التي تتلاشى إلى الصفر عند اللانهاية. ولا يشترط أن ينطبق هذا على الدوال الموجية في الأبعاد الأعلى. وبفضل خاصية عدم التحلل، يمكن دائمًا التعبير عن الحالات المقيدة أحادية البعد كدوال موجية حقيقية.

نظرية العقدة

تنص نظرية العقدة على أننذ{\displaystyle n{\text{th}}}الدالة الموجية المقيدة المرتبة وفقًا لتزايد الطاقة لها بالضبطن-1{\displaystyle n-1}العقد، أي النقاطx=أ{\displaystyle x=a}أينψ(أ)=0≠ψ′(أ){\displaystyle \psi (a)=0\neq \psi '(a)}بسبب شكل معادلات شرودنغر غير المعتمدة على الزمن، فإنه من غير الممكن أن يكون للدالة الموجية الفيزيائيةψ(أ)=0=ψ′(أ){\displaystyle \psi (a)=0=\psi '(a)}لأنه يتوافق معψ(x)=0{\displaystyle \psi (x)=0}الحل. [ 16 ]

متطلبات

ينتج عن بوزون كتلته m χ يتوسط تفاعلاً ضعيف الاقتران جهد تفاعل يشبه جهد يوكاوا .

V(ر)=±αχرهـ-رλ χ{\displaystyle V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}}،

أينαχ=ز2/4π{\displaystyle \alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi }حيث g هو ثابت اقتران القياس، و ƛi = ℏ/mic هو طول موجة كومبتون المختزل . يُنتج البوزون القياسي جهدًا جاذبًا عالميًا، بينما يجذب البوزون المتجه الجسيمات إلى الجسيمات المضادة ، ولكنه يتنافر مع الأزواج المتشابهة. بالنسبة لجسيمين كتلتهما m1 و m2 ، يصبح نصف قطر بور للنظام كما يلي :

أ0=λ  _1+λ  _2αχ{\displaystyle a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}}

وينتج عنه العدد عديم الأبعاد

د=λ  _χأ0=αχλ  _χλ  _1+λ  _2=αχم1+م2مχ{\displaystyle D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}}.

لكي توجد الحالة المقيدة الأولى على الإطلاق،د≳0.8{\displaystyle D\gtrsim 0.8}بما أن الفوتون عديم الكتلة، فإن D لا نهائي في الكهرومغناطيسية . أما في التفاعل الضعيف ، فإن كتلة بوزون Z هي91.1876 ± 0.0021  GeV/ c 2 ، مما يمنع تكوين حالات الارتباط بين معظم الجسيمات، كما هو الحال كتلة تساوي 97.2 ضعف كتلة البروتون و178000  ضعف كتلة الإلكترون .

ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه إذا لم يكسر تفاعل هيغز التناظر الكهروضعيف على مقياس الكهروضعيف ، فإن التفاعل الضعيف SU(2) سيصبح مقيدًا . [ 17 ]

انظر أيضاً

ملاحظات

مراجع

  1. ↑ "الحالة المقيدة - مرجع أكسفورد" .
  2. ^ بلانشارد، فيليب. برونينج ، إروين (2015). الطرق الرياضية في الفيزياء . بيركهوسر. ص. 430. ردمك  978-3-319-14044-5.
  3. ↑ ساكوراي، جون (1995). "7.8". في توان، سان (محرر). ميكانيكا الكم الحديثة ( طبعة منقحة). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ص 418-419 . ISBN   0-201-53929-2لنفترض أن الحاجز كان عاليًا بلا حدود... نتوقع حالات مقيدة، بطاقة E  >  0. ... هذه حالات مستقرة ذات عمر لانهائي. في الحالة الأكثر واقعية لحاجز محدود، يمكن أن يُحصر الجسيم داخله، لكن لا يمكن حصره إلى الأبد. تتمتع هذه الحالة المحصورة بعمر محدود بسبب النفق الكمومي. ... لنُطلق على هذه الحالة اسم حالة شبه مقيدة لأنها ستكون حالة مقيدة حقيقية إذا كان الحاجز عاليًا بلا حدود.
  4. ↑ غالاغر، توماس ف. (15-09-1994). "قوة المذبذب وأعمارها". ذرات ريدبيرغ ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 38-49 . doi : 10.1017/cbo9780511524530.005 . ISBN   978-0-521-38531-2.
  5. ^ ك. وينكلر. ج.ثالهامر؛ واو لانج؛ ر. جريم. جيه إتش دينشلاج . ايه جيه دالي . أ. كانتيان؛ إتش بي بوشلر؛ ب. زولر (2006). “أزواج ذرات مرتبطة بشكل مثير للاشمئزاز في شبكة بصرية”. طبيعة . 441 (7095): 853–856 . أرخايف : cond-mat/0605196 . بيب كود : 2006Natur.441..853W . دوى : 10.1038 / طبيعة04918 . بميد 16778884 . S2CID 2214243 .  
  6. ↑ جافانين، جوها؛ أودونغ أوتيم؛ ساندرز، جيروم سي. (أبريل 2010). "ثنائي من بوزونين في شبكة بصرية أحادية البعد". مجلة الفيزياء أ . 81 (4) 043609. arXiv : 1004.5118 . Bibcode : 2010PhRvA..81d3609J . doi : 10.1103/PhysRevA.81.043609 . S2CID 55445588 . 
  7. ↑ م. فالينتي ود. بتروسيان (2008). "حالات الجسيمين في نموذج هوبارد". مجلة الفيزياء ب: الذرية والجزيئية والبصرية . 41 (16) 161002. arXiv : 0805.1812 . Bibcode : 2008JPhB...41p1002V . doi : 10.1088/0953-4075/41/16/161002 . S2CID 115168045 . 
  8. ↑ ماكس تي سي وونغ وسي كي لو (مايو 2011). "حالات الارتباط ثنائية البولاريتون في نموذج جاينز-كامينغز-هوبارد". مجلة الفيزياء أ . 83 (5) 055802. الجمعية الفيزيائية الأمريكية . arXiv : 1101.1366 . Bibcode : 2011PhRvA..83e5802W . doi : 10.1103/PhysRevA.83.055802 . S2CID 119200554 . 
  9. ↑ ريد، م.؛ سيمون، ب. (1980). أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة: الجزء الأول: التحليل الوظيفي . دار النشر الأكاديمية. ص 303. ISBN  978-0-12-585050-6.
  10. ↑ غوستافسون، ستيفن جيه؛ سيغال، إسرائيل مايكل (2020). "الحالات المقيدة والمتلاشية". المفاهيم الرياضية لميكانيكا الكم . تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-030-59562-3 . ISBN 978-3-030-59561-6ISSN 0172-5939​​ 
  11. ↑ رويل، د. (1969). "ملاحظة حول الحالات المقيدة في نظرية التشتت الكامن" (ملف PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 ( 4). Springer Science and Business Media LLC. doi : 10.1007/bf02819607 . ISSN 0369-3546 . 
  12. ↑ سيمون، ب. (1978). "نظرة عامة على نظرية التشتت الدقيقة" . ص 3. 
  13. ↑ ستيلينجر، فرانك هـ.؛ هيريك، ديفيد ر. (1975). "الحالات المقيدة في المتصل". المراجعة الفيزيائية أ . 11 (2). الجمعية الفيزيائية الأمريكية (APS): 446-454 . doi : 10.1103/physreva.11.446 . ISSN 0556-2791 . 
  14. ↑ هسو، تشيا وي؛ تشن، بو؛ ستون، أ. دوغلاس؛ جوانوبولوس، جون د.؛ سولياشيتش، مارين (2016). "الحالات المقيدة في المتصل" . مجلة Nature Reviews Materials . 1 (9). Springer Science and Business Media LLC. doi : 10.1038/natrevmats.2016.48 . hdl : 1721.1/108400 . ISSN 2058-8437 . 
  15. ↑ هول، برايان سي. (2013). نظرية الكم للرياضيين . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. نيويورك، هايدلبرغ، دوردريخت، لندن: سبرينغر. ص 316-320. ISBN  978-1-4614-7115-8.
  16. ^ بيريزين، فا (1991). معادلة شرودنغر . دوردريخت ; بوسطن : ناشرو كلوير الأكاديميون. ص 64 – 66. ISBN    978-0-7923-1218-5.
  17. ↑ كلاودسون، م.؛ فرحي، إ.؛ جافي، ر. ل. (1 أغسطس 1986). "النموذج القياسي المقترن بقوة". مجلة Physical Review D. 34 ( 3): 873-887 . Bibcode : 1986PhRvD..34..873C . doi : 10.1103/PhysRevD.34.873 . PMID 9957220 . 

للمزيد من القراءة

  • بلانشارد، فيليب؛ برونينغ، إدوارد (2015). "بعض تطبيقات التمثيل الطيفي". الأساليب الرياضية في الفيزياء: التوزيعات، ومؤثرات فضاء هيلبرت، والأساليب التباينية، وتطبيقاتها في فيزياء الكم (  الطبعة الثانية). سويسرا: دار نشر سبرينغر الدولية. ص  431. ISBN 978-3-319-14044-5.