نصف قطر بور

نصف قطر بور ( ⁠${\displaystyle a_{0}}$λ هو ثابت فيزيائي ، يساوي تقريبًا المسافة الأكثر احتمالًا بين نواة ذرة الهيدروجين والإلكترون فيحالتها الأرضية . سُمّي نسبةً إلى نيلز بور ، نظرًا لدوره في نموذج بور للذرة. قيمته هي5.29177210544 ( 82 ) × 10⁻¹¹ م  . ^{[ 1 ] [ 2} ] وقد ^{اقتُرح أيضًا} اسم "بور" لهذه الوحدة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يُعرَّف نصف قطر بور على النحو التالي ^{[ 5 ]}$${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c\alpha }},}$$ أين

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي سماحية الفراغ ،
• ${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ،
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$كتلة الإلكترون ،
• ${\displaystyle e}$هي الشحنة الأولية ،
• ${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ، و
• ${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة .

قيمة CODATA لنصف قطر بور هي5.291 772 105 44 (82) × 10 ⁻¹¹  م ^{‍ [1 ]} ( 52.9177210462–52.9177210626 pm ). 

في نموذج بور لبنية الذرة ، الذي طرحه نيلز بور عام 1913، تدور الإلكترونات حول نواة مركزية بفعل التجاذب الكهروستاتيكي. افترض النموذج الأصلي أن للإلكترون زخمًا زاويًا مداريًا مقيدًا بمضاعف صحيح لثابت بلانك المختزل، وهو ما يتوافق مع ملاحظة مستويات الطاقة المنفصلة في أطياف الانبعاث، كما تنبأ بنصف قطر ثابت لكل مستوى من هذه المستويات. في أبسط ذرة، وهي الهيدروجين ، يدور إلكترون واحد حول النواة، ويبلغ نصف قطر مداره الأصغر، ذي الطاقة الأدنى، ما يقارب نصف قطر بور. (مع ذلك، لا يُطابق نصف قطر بور تمامًا بسبب تأثير الكتلة المختزلة ، إذ يختلفان بنسبة 0.05% تقريبًا).

تم استبدال نموذج بور للذرة بدالة موجية إلكترونية تلتزم بمعادلة شرودنغر كما نُشرت عام ١٩٢٦. ويزداد الأمر تعقيدًا بفعل تأثيرات اللف المغزلي والفراغ الكمومي، مما يُنتج بنية دقيقة وبنية فائقة الدقة . ومع ذلك، لا تزال صيغة نصف قطر بور أساسية في حسابات الفيزياء الذرية ، نظرًا لعلاقتها البسيطة بالثوابت الأساسية (ولهذا السبب تُعرَّف باستخدام كتلة الإلكترون الحقيقية بدلًا من الكتلة المختزلة، كما ذُكر سابقًا). وبذلك، أصبحت وحدة الطول في نظام الوحدات الذرية .

في نظرية شرودنغر الكمومية لذرة الهيدروجين، يُعرَّف نصف قطر بور بأنه قيمة الإحداثي القطري الذي تكون عنده كثافة الاحتمال القطري لرصد موقع الإلكترون في أعلى مستوياتها. أما القيمة المتوقعة للمسافة القطرية للإلكترون، على النقيض من ذلك، فهي ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}a_{0}}$[ ⁶ ]^​​

يُعد نصف قطر بور أحد مجموعة من الأطوال المرتبطة به، والآخر هو طول موجة كومبتون المختزل للإلكترون (${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\mathrm {e} }}$) ، نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي (${\displaystyle r_{\mathrm {e} }}$) ، والطول الموجي الزاوي لفوتون طاقته هارتري واحد (${\displaystyle \hbar c/E_{\text{h}}=1/(4\pi R_{\infty })}$) . يمكن كتابة أي من هذه الثوابت بدلالة أي من الثوابت الأخرى باستخدام ثابت البنية الدقيقة ⁠${\displaystyle \alpha }$⁠ :

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\mathrm {e} }=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}(\hbar c/E_{\text{h}}).}$

يُعطى نصف قطر بور، بما في ذلك تأثير الكتلة المختزلة في ذرة الهيدروجين، بالعلاقة التالية:

${\displaystyle a_{0}^{*}={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0},}$

أين${\textstyle \mu =m_{\text{e}}m_{\text{p}}/(m_{\text{e}}+m_{\text{p}})}$الكتلة المختزلة لنظام الإلكترون-بروتون (مع ⁠${\displaystyle m_{\text{p}}}$( حيث تمثل كتلة البروتون). يُعد استخدام الكتلة المختزلة تعميمًا لمسألة الجسمين من الفيزياء الكلاسيكية، متجاوزًا الحالة التي تكون فيها كتلة الجسم الدائر ضئيلة مقارنة بكتلة الجسم الذي يدور حوله. ولأن الكتلة المختزلة لنظام الإلكترون-بروتون أصغر قليلًا من كتلة الإلكترون، فإن نصف قطر بور "المختزل" أكبر قليلًا من نصف قطر بور (${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$م ).

يمكن تعميم هذه النتيجة على أنظمة أخرى، مثل البوزيترونيوم (إلكترون يدور حول بوزيترون ) والميونيوم (إلكترون يدور حول مضاد الميون )، باستخدام الكتلة المختزلة للنظام مع مراعاة التغير المحتمل في الشحنة. عادةً، يمكن تعديل علاقات نموذج بور (نصف القطر، الطاقة، إلخ) بسهولة لهذه الأنظمة غير المألوفة (حتى أدنى رتبة) بمجرد استبدال كتلة الإلكترون بالكتلة المختزلة للنظام (بالإضافة إلى تعديل الشحنة عند الاقتضاء). على سبيل المثال، يبلغ نصف قطر البوزيترونيوم تقريبًا ⁠${\displaystyle 2\,a_{0}}$بما أن الكتلة المختزلة لنظام البوزيترونيوم تساوي نصف كتلة الإلكترون (${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$) .

سيكون لذرة شبيهة بالهيدروجين نصف قطر بور يتناسب بشكل أساسي مع${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$، مع​${\displaystyle Z}$يمثل عدد البروتونات في النواة. في الوقت نفسه، الكتلة المختزلة (${\displaystyle \mu }$) يصبح أقرب إلى القيمة الحقيقية فقط بواسطة${\displaystyle m_{\text{e}}}$في حالة تزايد الكتلة النووية. وتلخص هذه النتائج في المعادلة

${\displaystyle r_{Z,\mu }={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.}$

يُعرض أدناه جدول بالعلاقات التقريبية.

نظام	نصف القطر
هيدروجين	${\displaystyle a_{0}^{*}=1.00054\,a_{0}}$
البوزيترونيوم	${\displaystyle 2\,a_{0}}$
الميونيوم	${\displaystyle 1.0048\,a_{0}}$
هو +	${\displaystyle a_{0}/2}$
Li 2+	${\displaystyle a_{0}/3}$

• مغنطون بور
• طاقة ريدبيرج

• مقاييس الطول في الفيزياء: نصف قطر بور