الحالة الأرضية

لنفترض متوسط ​​طاقة حالة لها عقدة عند x = 0 ؛ أي ψ (0) = 0. سيكون متوسط ​​الطاقة في هذه الحالة هو

$${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}$$

حيث V ( x ) هو الجهد.

مع التكامل بالأجزاء :

$$\int_{a}^{b}\psi^{*}{\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}}dx=\left[\psi^{*}{\frac{d\psi}{dx}}\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{\frac{d\psi^{*}}{dx}}{\frac{d\psi}{dx}}dx=\left[\psi^{*}{\frac{d\psi}{dx}}\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left|{\frac{d\psi}{dx}}\right|^{2}dx}$$

وبالتالي في حالة أن${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$إذا كانت القيمة تساوي صفرًا ، فإن النتيجة هي: $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

والآن، لنفترض وجود فترة زمنية صغيرة حول${\displaystyle x=0}$؛ أي،${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$لنفترض دالة موجية جديدة ( مشوهة ) ψ ' ( x ) تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$، ل${\displaystyle x<-\varepsilon }$؛ و${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$، ل${\displaystyle x>\varepsilon }$وثابت لـ​${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$. لو${\displaystyle \varepsilon }$إذا كانت صغيرة بما يكفي، فمن الممكن دائمًا القيام بذلك، بحيث تكون ψ ' ( x ) متصلة.

بافتراض${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$حول${\displaystyle x=0}$يمكن للمرء أن يكتب $${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}}$$ أين${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}}$هذا هو الوضع الطبيعي.

لاحظ أن كثافات الطاقة الحركية ثابتة${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$في كل مكان بسبب التطبيع. والأهم من ذلك، أن متوسط ​​الطاقة الحركية ينخفض ​​بواسطة${\displaystyle O(\varepsilon )}$عن طريق التشوه إلى ψ ' .

والآن، لننظر في طاقة الوضع . وللتحديد، دعونا نختار${\displaystyle V(x)\geq 0}$ثم يتضح أنه خارج الفترة${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$تكون كثافة الطاقة الكامنة أصغر بالنسبة لـ ψ ' لأن${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$هناك.

من ناحية أخرى، في الفترة الفاصلة${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$لدينا $${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ الذي يلتزم بالنظام${\displaystyle \varepsilon ^{3}}$.

ومع ذلك، فإن مساهمة هذه المنطقة في طاقة الوضع للحالة ψ ذات العقدة هي $${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ أقل، لكنها لا تزال من نفس الرتبة الأدنى${\displaystyle O(\varepsilon ^{3})}$أما بالنسبة للحالة المشوهة ψ ' ، فهي ثانوية مقارنةً بانخفاض متوسط ​​الطاقة الحركية. لذلك، تبقى طاقة الوضع ثابتة حتى رتبة معينة.${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$إذا شوهنا الدولة${\displaystyle \psi }$مع وجود عقدة في حالة ψ ' بدون عقدة، ويمكن تجاهل التغيير.

وبالتالي يمكننا إزالة جميع العقد وتقليل الطاقة عن طريق${\displaystyle O(\varepsilon )}$وهذا يعني أن${\displaystyle \psi }$لا يمكن أن تكون الحالة الأرضية. وبالتالي، لا يمكن أن تحتوي دالة الموجة للحالة الأرضية على عقدة. وهذا يُكمل البرهان. (يمكن بعد ذلك خفض متوسط ​​الطاقة بشكل أكبر عن طريق إزالة التموجات، إلى الحد الأدنى المطلق التبايني).

بما أن الحالة الأرضية لا تحتوي على عقد، فهي غير متدهورة مكانيًا ، أي لا توجد حالتان كموميتان ثابتتان لهما قيمة الطاقة الذاتية للحالة الأرضية (لنسميها${\displaystyle E_{g}}$) ونفس حالة الدوران ، وبالتالي لن يختلفا إلا في دوال الموجة الخاصة بهما في فضاء الموضع . ^{[ 1 ]}

يستند هذا الاستدلال إلى التناقض : فإذا كانت الحالة الأرضية متدهورة، فسيكون هناك حالتان ثابتتان متعامدتان ^{[ 2 ].}${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$و${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$— يتم تمثيلها لاحقًا بواسطة دوال الموجة ذات القيم المركبة في فضاء الموضع${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$و${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$— وأي تراكب${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle$ :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle } مع الأعداد المركبة${\displaystyle c_{1},c_{2}}$استيفاء الشرط${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$سيكون ذلك أيضًا حالة من هذا القبيل، أي سيكون له نفس قيمة الطاقة الذاتية${\displaystyle E_{g}}$ونفس حالة الدوران.

والآن لنبدأ${\displaystyle x_{0}}$لتكن نقطة عشوائية (حيث يتم تعريف كلتا الدالتين الموجيتين) ولنضع: $${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}}$$ و $${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}}$$ مع $${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0}$$ (وفقًا للفرضية، لا توجد عقد ).

وبالتالي، فإن دالة الموجة المكانية المكانية لـ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$يكون $${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.}$$

لذلك $${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0}$$ للجميع${\displaystyle t}$.

لكن${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$أي،${\displaystyle x_{0}}$هي عقدة من دالة الموجة للحالة الأرضية وهذا يتناقض مع الفرضية القائلة بأن دالة الموجة هذه لا يمكن أن تحتوي على عقدة.

لاحظ أن الحالة الأرضية قد تكون متدهورة بسبب حالات الدوران المختلفة مثل${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$و${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$بينما يكون لها نفس دالة الموجة المكانية: أي تراكب لهذه الحالات من شأنه أن يخلق حالة دوران مختلطة ولكنه يترك الجزء المكاني (كعامل مشترك لكليهما) دون تغيير.