إمكانات يوكاوا

في فيزياء الجسيمات والذرات والمادة المكثفة ، يُعرف جهد يوكاوا (ويُسمى أيضًا جهد كولوم المحجوب ) بأنه جهد سُمي نسبةً إلى الفيزيائي الياباني هيديكي يوكاوا . ويكون هذا الجهد على الشكل التالي:

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}},}$

أين${\displaystyle g}$يمثل ثابت قياس المقدار، أي أن سعة الجهد هي m، و m كتلة الجسيم، و r المسافة الشعاعية إلى الجسيم، و α ثابت قياس آخر، بحيث${\displaystyle r\approx {\tfrac {1}{\alpha m}}}$يمثل هذا النطاق التقريبي. يتزايد الجهد بشكل مطرد مع زيادة المسافة r ، وهو سالب، مما يعني أن القوة جاذبة. في النظام الدولي للوحدات، وحدة جهد يوكاوا هي المتر العكسي .

يُعد جهد كولوم للكهرومغناطيسية مثالاً على جهد يوكاوا مع${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$العامل يساوي 1 في كل مكان. يمكن تفسير ذلك على أنه يعني أن كتلة الفوتون m تساوي صفرًا. الفوتون هو حامل القوة بين الجسيمات المشحونة المتفاعلة.

في التفاعلات بين حقل ميزون وحقل فرميون ، الثابت${\displaystyle g}$يساوي ثابت اقتران القياس بين تلك المجالات. في حالة القوة النووية ، ستكون الفرميونات عبارة عن بروتون وبروتون آخر أو نيوترون .

قبل نشر هيديكي يوكاوا بحثه عام 1935، ^{[ 1 ]} عانى الفيزيائيون في تفسير نتائج نموذج جيمس تشادويك الذري، الذي يتألف من بروتونات ونيوترونات موجبة الشحنة مُكدسة داخل نواة صغيرة، نصف قطرها في حدود 10⁻¹⁴ ^متر . كان الفيزيائيون يعلمون أن القوى الكهرومغناطيسية عند هذه الأطوال ستؤدي إلى تنافر هذه البروتونات وتفكك النواة. ^{[ 2 ]} ومن هنا جاء الدافع لمزيد من التفسير للتفاعلات بين الجسيمات الأولية. في عام 1932، اقترح فيرنر هايزنبرغ تفاعل "Platzwechsel" (الهجرة) بين النيوترونات والبروتونات داخل النواة، حيث تُعتبر النيوترونات جسيمات مركبة من بروتونات وإلكترونات. تُطلق هذه النيوترونات المركبة إلكترونات، مُحدثةً قوة تجاذب مع البروتونات، ثم تتحول إلى بروتونات بدورها. عندما اقترح هايزنبرغ تفاعله في مؤتمر سولفاي عام 1933، اشتبه الفيزيائيون في أنه سيكون على أحد شكلين:

${\displaystyle J(r)=ae^{-br}\quad {\textrm {or}}\quad J(r)=ae^{-br^{2}}}$

بسبب مداه القصير. ^{[ 3 ]} مع ذلك، كانت هناك العديد من المشكلات في نظريته. على سبيل المثال، من المستحيل أن يكون مجموع عزم إلكترون ذي عزم مغزلي 1/2 وبروتون ذي عزم مغزلي 1/2 مساويًا لعزم مغزلي نيوتروني مقداره 1/2 . وقد ساهمت طريقة هايزنبرغ في معالجة هذه المسألة في تشكيل أفكار العزم المغزلي النظائري .

أدت فكرة هايزنبرغ عن تفاعل التبادل (بدلاً من قوة كولوم) بين الجسيمات داخل النواة إلى صياغة فيرمي لأفكاره حول تحلل بيتا في عام 1934. ^{[ 3 ]} لم يكن تفاعل فيرمي بين النيوترون والبروتون قائمًا على "هجرة" النيوترونات والبروتونات فيما بينها. بدلاً من ذلك، اقترح فيرمي انبعاث وامتصاص جسيمين خفيفين: النيوترينو والإلكترون ، بدلاً من الإلكترون فقط (كما في نظرية هايزنبرغ). في حين أن تفاعل فيرمي قد حل مشكلة حفظ الزخم الخطي والزاوي ، أثبت الفيزيائيان السوفيتيان إيغور تام وديمتري إيفانينكو أن القوة المرتبطة بانبعاث النيوترينو والإلكترون لم تكن قوية بما يكفي لربط البروتونات والنيوترونات في النواة. ^{[ 4 ]}

في بحثه المنشور في فبراير 1935، جمع هيديكي يوكاوا بين فكرة تفاعل القوة قصيرة المدى لهايزنبرغ وفكرة جسيم التبادل لفيرمي لحل مشكلة تفاعل النيوترون والبروتون. واستنتج جهدًا يتضمن حد اضمحلال أسي (${\displaystyle e^{-\alpha mr}}$) ومصطلح كهرومغناطيسي (${\displaystyle 1/r}$(قياسًا على نظرية الحقل الكمومي ، أدرك يوكاوا أن الجهد والمجال المقابل له لا بد أن يكونا نتيجة جسيم تبادل. في حالة الديناميكا الكهربائية الكمومية ، كان جسيم التبادل هذا فوتونًا كتلته صفر  . أما في حالة يوكاوا، فكان لجسيم التبادل كتلة معينة، مرتبطة بمدى التفاعل (المعطى بواسطة${\displaystyle {\tfrac {1}{\alpha m}}}$بما أن مدى القوة النووية كان معروفًا، استخدم يوكاوا معادلته للتنبؤ بكتلة الجسيم الوسيط بحوالي 200  ضعف كتلة الإلكترون. أطلق الفيزيائيون على هذا الجسيم اسم " الميزون "، لأن كتلته كانت متوسطة بين كتلة البروتون والإلكترون. تم اكتشاف ميزون يوكاوا عام 1947، وأصبح يُعرف باسم البيون . ^{[ 4 ]}

إذا لم يكن للجسيم كتلة (أي m = 0 )، فإن جهد يوكاوا يتحول إلى جهد كولوم، ويُقال إن مداه لانهائي. في الواقع، لدينا:

${\displaystyle m=0\Rightarrow e^{-\alpha mr}=e^{0}=1.}$

وبالتالي، فإن المعادلة

${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}(r)=-g^{2}\;{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}}$

يتبسط إلى شكل جهد كولوم

${\displaystyle V_{\text{Coulomb}}(r)=-g^{2}\;{\frac {1}{r}}.}$

حيث نحدد ثابت القياس ليكون: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle g^{2}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$

يوضح الشكل  2 مقارنة بين قوة الجهد الكامن بعيد المدى لكل من جهد يوكاوا وجهد كولوم. يتضح أن جهد كولوم يؤثر على مسافة أكبر، بينما يقترب جهد يوكاوا من الصفر بسرعة. مع ذلك، فإن أي جهد يوكاوا أو جهد كولوم لا يساوي الصفر عند أي قيمة كبيرة لـ r .

يمكن اعتبار جهد يوكاوا ناتجًا عن تعديل معادلة الموجة الكهرومغناطيسية لوصف جسيم ذي كتلة غير صفرية. ^{[ 6 ]}

معادلة الموجة الكهرومغناطيسية هي

${\displaystyle \ \Box \;\!A^{\mu }={\mathsf {source\ terms}}\ ,}$

أين${\displaystyle \ A^{\mu }\ }$هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي و${\displaystyle \ \Box \equiv {\tfrac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}\ }$هو النسخة رباعية  الأبعاد من لابلاس ، ويُسمى دالامبير . وسيتغير الجهد كما يلي:${\displaystyle \ {\tfrac {\;\!1\;\!}{r}}\ }$بالنسبة لمصدر نقطي.

تصف هذه المعادلة الموجية الفوتون . أما بالنسبة للقوة النووية، فنأمل أن نصف البيونات . يمكن وصف البيون بحقل قياسي، وليس بحقل متجه، ونعدل المعادلة الموجية بإضافة مضاعف للحقل (وهو ما لا يؤثر على الثبات النسبي).

${\displaystyle \ \Box \;\!\phi \ +\ \mu ^{2}\phi =0\ }$

لو${\displaystyle \ \phi \ }$يعتمد فقط على الإحداثي الكروي القطري،${\displaystyle \ r\ ,}$وإذا كانت مستقلة عن الزمن، فيمكننا إعادة ترتيب المعادلة للحصول على${\displaystyle \ \nabla ^{2}\phi =\mu ^{2}\phi ~.}$

باستخدام صيغة لابلاس في الإحداثيات الكروية${\displaystyle \ \nabla ^{2}\phi ={\frac {\;\!1\;\!}{r}}\ \partial _{r}^{2}{\bigl (}\;\!r\;\!\phi \;\!{\bigr )}\ }$نحصل

${\displaystyle \ \partial _{r}^{2}{\bigl (}\ r\ \phi \ {\bigr )}=\mu ^{2}\ {\bigl (}\ r\ \phi \ {\bigr )}\ }$

والتي لها حلول على شكل${\displaystyle \ r\ \phi (\;\!r\;\!)=K\ e^{-\mu \;\!r}\ }$لهذا السبب.

${\displaystyle \ \phi (\;\!r\;\!)\ =\ K\ {\frac {\;\!e^{-\mu \;\!r}}{r}}\ ,}$

وهذا هو إمكانات يوكاوا.

بالنسبة للفوتون، سيبدو الحل الموجي كما يلي${\displaystyle \ e^{i\left(kx-\omega t\right)}~.}$يمكننا استبدال هذا في معادلة الموجة الكهرومغناطيسية المتجانسة للحصول على

${\displaystyle \ \left({\frac {\ \omega }{\ c}}\right)^{2}=k^{2}\ ,}$

باستخدام علاقة بلانك${\displaystyle \ E=\hbar \;\!\omega \ }$وعلاقة دي برولي ${\displaystyle \ p=\hbar \;\!k~.}$نحصل

${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=p^{2}~.}$

تُخبرنا معادلة تكافؤ الكتلة والطاقة أن${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=p^{2}+m^{2}c^{2}\ ,}$وهذا يدل على أن الفوتون عديم الكتلة.

إذا كررنا هذا التحليل للبيون، فسنحصل على

${\displaystyle \ \left({\frac {\ E}{\ c}}\right)^{2}=k^{2}+\mu ^{2}\hbar ^{2}\ ,}$وهذا يدل على أن كتلة الميزون هي${\displaystyle \ m={\frac {\;\!\mu \;\!\hbar \;\!}{c}}~.}$أو بعبارة أخرى أن${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}=\lambda \!\!\!{\bar {}}^{-1}}$أين${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}}$هو طول موجة كومبتون المختزلة للميزون.

${\displaystyle \ \mu \ }$يمكن تقديرها من المدى المرصود للقوى النووية. يبلغ مدى القوة النووية رتبة الفيمتومتر (${\displaystyle \ 10^{-15}{\mathsf {m}}\ }$)، و${\displaystyle \hbar c\approx 200{\text{ MeV fm}}}$لذا يجب أن تكون كتلة البيون حوالي 170 ميغا إلكترون فولت، وهي قريبة من القيمة الفعلية التي تبلغ حوالي 140 ميغا إلكترون فولت.

أسهل طريقة لفهم أن جهد يوكاوا مرتبط بحقل ضخم هي بفحص تحويل فورييه الخاص به .

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\,\mathrm {d} ^{3}k}$

حيث يتم إجراء التكامل على جميع القيم الممكنة لعزوم المتجهات الثلاثية k . في هذه الصيغة، ومع ضبط عامل القياس على واحد،${\displaystyle \alpha =1}$، الكسر${\textstyle {\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}}$يُنظر إليه على أنه دالة الانتشار أو دالة غرين لمعادلة كلاين-غوردون .

يمكن اشتقاق جهد يوكاوا باعتباره أدنى سعة لتفاعل زوج من الفرميونات. ويربط تفاعل يوكاوا مجال الفرميون${\displaystyle \psi (x)}$إلى مجال الميزون${\displaystyle \phi (x)}$مع مصطلح الاقتران

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

سعة التشتت لفيرميونين، أحدهما ذو زخم ابتدائي${\displaystyle p_{1}}$والآخر يتمتع بالزخم${\displaystyle p_{2}}$، تبادل ميزون ذو زخم k ، يتم إعطاؤه بواسطة مخطط فاينمان على اليمين.

تربط قواعد فاينمان لكل رأس عاملًا من${\displaystyle g}$مع السعة؛ بما أن هذا الرسم البياني له رأسان، فإن السعة الكلية ستكون لها عامل من${\displaystyle g^{2}}$يمثل الخط الأوسط، الذي يربط خطي الفرميون، تبادل الميزون. تنص قاعدة فاينمان لتبادل الجسيمات على استخدام المُوَصِّل؛ والمُوَصِّل للميزون ذي الكتلة هو${\textstyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$وهكذا، نرى أن سعة فاينمان لهذا الرسم البياني ليست أكثر من

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

من القسم السابق، يتضح أن هذا هو تحويل فورييه لجهد يوكاوا.

يمكن حل معادلة شرودنغر الشعاعية ذات جهد يوكاوا بطريقة اضطرابية. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] : الفصل  16} باستخدام معادلة شرودنغر الشعاعية في الشكل

${\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

وإمكانات يوكاوا في شكلها الموسع من حيث القوة

${\displaystyle V(r)=\sum _{j=-1}^{\infty }M_{j+1}\,(-r)^{j},}$

والضبط${\displaystyle K=jk}$، نحصل على الزخم الزاوي${\displaystyle \ell }$التعبير

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\,\Delta _{n}(K)\,}{2K}}}$

ل${\displaystyle |K|\to \infty }$، أين

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta _{n}(K)=M_{0}-{\frac {1}{\,2K^{2}\,}}{\Bigl [}\,n(n+1)\,M_{2}+M_{0}\,M_{1}\,{\Bigr ]}-{\frac {\,2n+1\,}{4K^{3}}}\,M_{0}\,M_{2}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {1}{\,8K^{4}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+2)\,M_{4}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ~+~6n(n+1)\,M_{2}\,M_{1}+2\,M_{2}\,M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +{\frac {\,2n+1\,}{\,8K^{5}\,}}\,{\Bigl [}\,3(n^{2}+n-1)\,M_{4}\,M_{0}+3\,M_{3}\,M_{0}^{2}+n(n+1)\,M_{2}^{2}+4\,M_{2}\,M_{1}\,M_{0}\,{\Bigr ]}~+\\&\qquad \qquad \quad +~\operatorname {\mathcal {O}} {\Bigl (}\,{\frac {1}{\,K^{7}\,}}\,{\Bigr )}~.\end{aligned}}}$

ضبط جميع المعاملات${\displaystyle M_{j}}$يستثني${\displaystyle M_{0}}$عندما تساوي صفرًا، نحصل على التعبير المعروف للقيمة الذاتية لشرودنغر لكمون كولوم، والعدد الكمي القطري${\displaystyle \,n\,}$ تكون قيمة عددًا صحيحًا موجبًا أو صفرًا نتيجةً للشروط الحدية التي يجب أن تحققها الدوال الموجية لجهد كولوم. أما في حالة جهد يوكاوا، فإن فرض الشروط الحدية يكون أكثر تعقيدًا. لذا، في حالة يوكاوا${\displaystyle \nu =n}$إنها مجرد قيمة تقريبية، والمعامل${\displaystyle \nu }$إن استبدال العدد الصحيح n هو في الواقع توسيع تقاربي مثل التوسيع أعلاه، مع قيمة عددية صحيحة تقريبية لحالة كولوم المقابلة. التوسيع أعلاه لعزم الدوران المداري أو مسار ريجي${\displaystyle \ell (K)}$يمكن عكس العملية للحصول على قيم الطاقة الذاتية أو ما يعادلها${\displaystyle {\bigl |}K{\bigr |}^{2}}$. يحصل المرء على: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl |}K{\bigr |}^{2}~=~-M_{1}~+~{\frac {1}{\,4(\ell +n+1)^{2}\,}}\,{\biggl \{}\;M_{0}^{2}-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}\,M_{2}\,M_{0}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{\;M_{0}\,}}~+\\&\quad +~4{\frac {\;(\ell +n+1)^{4}\,}{M_{0}^{3}}}\,{\Bigl [}\,3(n-1)n(n+1)(n+5)\,M_{4}\,M_{0}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3n^{2}(n+1)^{2}\,M_{2}^{2}+2(3n^{2}+3n-1)\,M_{3}\,M_{0}^{2}+2\,M_{2}\,M_{0}^{3}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~24{\frac {\,(2n+1)(\ell +n+1)^{5}\,}{M_{0}^{4}}}\,{\Bigl [}\,(n^{2}+n-1)\,M_{0}\,M_{4}+M_{0}^{3}\,M_{3}-n(n+1)\,M_{2}^{2}\,{\Bigr ]}~+\\&\quad -~4\,{\frac {\,(\ell +n+1)^{6}\,}{M_{0}^{7}}}\,{\Bigl [}~10(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)\,M_{6}\,M_{0}^{2}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~4\,M_{3}\,M_{0}^{5}+2{\Bigl (}\,5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12\,{\Bigr )}\,M_{5}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +~2(6n^{2}+6n-11)\,M_{4}\,M_{0}^{4}+2(9n^{2}+9n-1)\,M_{2}^{2}\,M_{0}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~10n(n+1)(3n^{2}+3n+2)\,M_{3}\,M_{2}\,M_{0}^{2}+20n^{3}(n+1)^{3}\,M_{2}^{3}~+\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -~30(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)\,M_{4}\,M_{2}\,M_{0}\,{\Bigr ]}\quad +\quad \cdots {\biggr \}}\quad .\end{aligned}}}$

التوسع التقاربي أعلاه للزخم الزاوي${\displaystyle \ell (K)}$في القوى التنازلية لـ${\displaystyle K}$يمكن أيضًا اشتقاقها باستخدام طريقة WKB . ولكن في هذه الحالة، كما هو الحال في حالة جهد كولوم، يكون التعبير${\displaystyle \ell (\ell +1)}$يجب استبدال الحد المركزي في معادلة شرودنغر بـ${\displaystyle \left(\ell +{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}}$كما جادل لانجر في الأصل، ^{[ 11 ]،} فإن السبب هو أن التفرد قوي جدًا بحيث لا يمكن تطبيق طريقة WKB دون تغيير . وتتضح صحة هذا الاستدلال من اشتقاق WKB للنتيجة الصحيحة في حالة كولوم (مع تصحيح لانجر )، ^{[ 9 ] : 404} ، وحتى من التوسع المذكور أعلاه في حالة يوكاوا مع تقريبات WKB من الرتبة الأعلى. ^{[ 12 ]}

يمكننا حساب المقطع العرضي التفاضلي بين البروتون أو النيوترون والبيون باستخدام جهد يوكاوا. نستخدم تقريب بورن ، الذي ينص على أنه في جهد متناظر كرويًا، يمكننا تقريب دالة الموجة المتناثرة الخارجة كمجموع دالة الموجة المستوية الداخلة واضطراب صغير.

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A\left[(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta )\right]}$

أين${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$يمثل زخم الجسيم الوارد. الدالة${\displaystyle f(\theta )}$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,\int _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|r\right)~\mathrm {d} r}$

أين${\displaystyle {\vec {p}}'=p{\hat {r}}}$يمثل الزخم المتناثر الخارج للجسيم و${\displaystyle \mu }$كتلة الجسيمات الواردة (لا ينبغي الخلط بينها وبين${\displaystyle m,}$(كتلة البيون). نحسب${\displaystyle f(\theta )}$عن طريق التوصيل${\displaystyle V_{\text{Yukawa}}}$:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin \left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)\,\mathrm {d} r}$

بتقييم التكامل نحصل على

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]}}}$

يشير ترشيد الطاقة إلى

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

لهذا السبب.

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

عند توصيل الجهاز، نحصل على:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu g^{2}}{\hbar ^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\frac {1}{2}}\theta }\right)\right]}}}$

وبالتالي نحصل على مقطع عرضي تفاضلي من: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}\ \left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}}$

وبإجراء التكامل، يكون المقطع العرضي الكلي كما يلي:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\mathrm {d} \Omega ={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\mathrm {d} \theta }{\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\sin ^{2}\left({\frac {1}{2}}\theta \right)\right]^{2}}}={\frac {4\mu ^{2}g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

الجهد خارج غلاف كروي متجانس رقيق للغاية ذي ثابت قياس كلي${\displaystyle G}$ونصف القطر${\displaystyle R}$وهو أيضًا جهد يوكاوا، ولكن بشكل عام يكون ثابت القياس للمصدر النقطي المكافئ أكبر من نظيره للغلاف. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} وبشكل أكثر تحديدًا، فإن جهد نقطة ذات ثابت قياس${\displaystyle g}$خارج الصدفة

${\displaystyle V(r>R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mr}}{r}}{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}.}$

وهو ما يعادل استبدال الغلاف بمصدر نقطي ذي مقدار${\displaystyle G{\frac {\sinh \alpha mR}{\alpha mR}}}$. الإمكانات الداخلية هي ^{[ 14 ]}

${\displaystyle V(r<R)=Gg{\frac {e^{-\alpha mR}}{R}}{\frac {\sinh \alpha mr}{\alpha mr}}.}$

لو${\displaystyle m=0}$ثم يستعيد المرء نظرية الغلاف للجهد التربيعي العكسي.

نتيجة لذلك، في نظريات الجاذبية المعدلة حيث يكون للغرافتون كتلة غير صفرية، سيتم انتهاك مبدأ التكافؤ الضعيف ، وسيعتمد التسارع الجاذبي لجسم في حالة سقوط حر على تركيبه. ^{[ 16 ]}

• تفاعل يوكاوا
• معادلة بواسون المحجوبة
• جهد الوعاء

• براون، جي إي ؛ جاكسون، إيه دي (1976). تفاعل النيوكليون-النيوكليون . أمستردام: دار نشر نورث هولاند. ISBN 0-7204-0335-9.