مشغل الموقع

في ميكانيكا الكم ، عامل الموضع هو العامل الذي يتوافق مع موضع الملاحظة للجسيم .

عندما يتم النظر إلى عامل الموضع ضمن نطاق واسع بما فيه الكفاية (مثل فضاء التوزيعات المعتدلة )، فإن قيمه الذاتية هي متجهات الموضع المحتملة للجسيم. ^{[ 1 ]}

في بُعد واحد، إذا كان بالرمز$${\displaystyle |x\rangle }$$نرمز إلى المتجه الذاتي الوحدوي لمؤثر الموضع المقابل للقيمة الذاتية${\displaystyle x}$، ثم،${\displaystyle |x\rangle }$يمثل هذا حالة الجسيم التي نعرف على وجه اليقين أننا سنجد الجسيم نفسه فيها عند الموضع${\displaystyle x}$.

لذلك، يُرمز إلى عامل الموضع بالرمز${\displaystyle X}$يمكننا الكتابة$${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$لكل وظيفة حقيقية${\displaystyle x}$.

أحد التحقيقات الممكنة للحالة الوحدوية مع الموضع${\displaystyle x}$هل توزيع دالة ديراك دلتا متمركز عند الموضع${\displaystyle x}$، ويرمز إليه غالبًا بـ${\displaystyle \delta _{x}}$.

في ميكانيكا الكم، تُعرف عائلة توزيعات ديراك المرتبة (المستمرة) بأنها عائلة توزيعات ديراك، أي عائلة $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$ يُطلق عليه اسم أساس الموضع (الوحدوي)، لمجرد أنه أساس ذاتي (وحدوي) لمؤثر الموضع${\displaystyle X}$في فضاء التوزيعات المعتدلة .

من الضروري ملاحظة أنه لا يوجد سوى مؤثر خطي متصل واحد${\displaystyle X}$في فضاء التوزيعات المعتدلة لنفسه، بحيث $${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$ لكل نقطة حقيقية${\displaystyle x}$من الممكن إثبات أن المؤثر الوحيد${\displaystyle X}$يتم تحديده بالضرورة بواسطة $${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$ لكل توزيع معتدل${\displaystyle \psi }$، أين${\displaystyle \mathrm {x} }$تشير إلى دالة الإحداثيات لخط الموضع - المعرفة على أنها تضمين الخط الحقيقي في المستوى المركب، أي  $${\displaystyle \mathrm {x}$$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}

لنفترض تمثيل الحالة الكمومية لجسيم ما في لحظة زمنية معينة بدالة موجية قابلة للتكامل التربيعي${\displaystyle \psi }$لنفترض حاليًا بُعدًا مكانيًا واحدًا (أي أن الجسيم "محصور" في خط مستقيم). إذا كانت دالة الموجة مُعَيَّرة ، فإن مربع القيمة المطلقة$${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$ يمثل كثافة الاحتمال لوجود الجسيم في موضع ما${\displaystyle x}$من الخط الحقيقي، في وقت معين. أي، إذا $${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$ ثم احتمال العثور على الجسيم في نطاق الموضع${\displaystyle [a,b]}$يكون $${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

وبالتالي فإن القيمة المتوقعة لقياس الموضع${\displaystyle X}$لأن الجسيم هو $${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$ أين${\displaystyle \mathrm {x} }$هي دالة الإحداثيات $${\displaystyle \mathrm {x}$$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,} وهو ببساطة التضمين الكنسي لخط الموضع في المستوى المركب.

بالمعنى الدقيق للكلمة، الوضع القابل للملاحظة${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$يمكن تعريفها نقطة بنقطة على النحو التالي $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$ لكل دالة موجية${\displaystyle \psi }$ولكل نقطة${\displaystyle x}$من خط الأعداد الحقيقية. في حالة فئات التكافؤ${\displaystyle \psi \in L^{2}}$يُقرأ التعريف مباشرةً على النحو التالي $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$ أي، عامل تحديد المواقع${\displaystyle X}$يضاعف أي دالة موجية${\displaystyle \psi }$بواسطة دالة الإحداثيات${\displaystyle \mathrm {x} }$.

في التعريف أعلاه، الذي يتناول حالة جسيم محصور على خط، قد يلاحظ القارئ المتفحص عدم وجود تحديد واضح للمجال والمجال المقابل لمؤثر الموضع. وفي الأدبيات، نجد، بشكل صريح أو ضمني، ثلاثة اتجاهات رئيسية لمعالجة هذه المسألة.

1. يتم تعريف عامل الموضع على الفضاء الفرعي${\displaystyle D_{X}}$ل${\displaystyle L^{2}}$تتكون من فئات التكافؤ تلك${\displaystyle \psi }$المنتج الذي يتم تضمينه${\displaystyle \mathrm {x} }$يعيش في الفضاء${\displaystyle L^{2}}$في هذه الحالة، عامل تحديد الموضع$${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$يكشف عن عدم استمرارية (غير محدودة بالنسبة للطوبولوجيا المستحثة بواسطة الضرب القياسي المتعارف عليه لـ${\displaystyle L^{2}}$), بدون متجهات ذاتية، بدون قيم ذاتية، وبالتالي مع طيف نقطي فارغ .
2. يتم تعريف عامل الموضع على فضاء شوارتز${\displaystyle {\mathcal {S}}}$(أي الفضاء النووي لجميع الدوال المركبة الملساء المعرفة على خط الأعداد الحقيقية والتي تتناقص مشتقاتها بسرعة). في هذه الحالة، يكون عامل الموضع$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$يكشف عن استمرارية (بالنسبة للطوبولوجيا المتعارف عليها لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$دالة حقنية، بدون متجهات ذاتية، بدون قيم ذاتية، وبالتالي ذات طيف نقطي فارغ. وهي ذاتية الترافق (بشكل كامل) بالنسبة للجداء القياسي لـ${\displaystyle L^{2}}$بمعنى أن$${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. يتم تعريف عامل الموضع على الفضاء الثنائي${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$ل${\displaystyle {\mathcal {S}}}$(أي الفضاء النووي للتوزيعات المعتدلة ). كما${\displaystyle L^{2}}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$، وهو نتاج توزيع معتدل بواسطة التضمين${\displaystyle \mathrm {x} }$يعيش دائماً${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$في هذه الحالة، عامل تحديد الموضع$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$يكشف عن استمرارية (بالنسبة للطوبولوجيا المتعارف عليها لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$)، شاملة، مزودة بعائلات كاملة من المتجهات الذاتية المعممة والقيم الذاتية المعممة الحقيقية. وهي ذاتية الترافق بالنسبة للجداء القياسي لـ${\displaystyle L^{2}}$بمعنى أن عامل النقل الخاص به$${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$هو ذاتي الترافق، أي$${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

تُعدّ الحالة الأخيرة، عملياً، الخيار الأكثر شيوعاً في أدبيات ميكانيكا الكم، على الرغم من عدم التأكيد عليها صراحةً. وهي تعالج إمكانية غياب المتجهات الذاتية عن طريق توسيع فضاء هيلبرت إلى فضاء هيلبرت مُجهّز : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$ وبذلك يوفر مفهومًا رياضيًا دقيقًا للمتجهات الذاتية والقيم الذاتية. ^{[ 3 ]}

الدوال الذاتية لمؤثر الموضع (على فضاء التوزيعات المعتدلة)، الممثلة في فضاء الموضع ، هي دوال دلتا ديراك .

برهان غير رسمي. لإثبات أن المتجهات الذاتية المحتملة لمؤثر الموضع يجب أن تكون بالضرورة توزيعات دلتا ديراك، افترض أن${\displaystyle \psi }$هي حالة ذاتية لمؤثر الموضع بقيمة ذاتية${\displaystyle x_{0}}$نكتب معادلة القيم الذاتية في إحداثيات الموضع، $${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$ مع التذكير بأن${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}}$ببساطة، يتم ضرب الدوال الموجية بالدالة${\displaystyle \mathrm {x} }$، في تمثيل الموضع. بما أن الدالة${\displaystyle \mathrm {x} }$متغير بينما${\displaystyle x_{0}}$ثابت،${\displaystyle \psi }$يجب أن تكون القيمة صفرًا في كل مكان باستثناء النقطة${\displaystyle x_{0}}$من الواضح أنه لا توجد دالة متصلة تحقق هذه الخصائص، ولا يمكننا ببساطة تعريف دالة الموجة على أنها عدد مركب عند تلك النقطة لأن${\displaystyle L^{2}}$ستكون قيمة -norm صفرًا وليست واحدًا. وهذا يشير إلى الحاجة إلى "كائن وظيفي" مُركّز عند تلك النقطة.${\displaystyle x_{0}}$وبتكامل مختلف عن 0: أي مضاعف لدالة ديراك دلتا المتمركزة عند${\displaystyle x_{0}}$الحل المعياري للمعادلة $${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$ يكون $${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$أو أفضل$${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$ بحيث $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ في الواقع، إذا تذكرنا أن حاصل ضرب أي دالة في توزيع ديراك المتمركز عند نقطة ما يساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة مضروبة في توزيع ديراك نفسه، فإننا نحصل مباشرة على $${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$ على الرغم من أن حالات ديراك هذه غير قابلة للتحقيق فيزيائيًا، وبالمعنى الدقيق للكلمة، فهي ليست دوالًا، فإن توزيع ديراك المتمركز عند${\displaystyle x_{0}}$يمكن اعتبارها "حالة مثالية" يكون موقعها معروفًا بدقة (أي قياس للموقع يُعيد دائمًا القيمة الذاتية).${\displaystyle x_{0}}$وبالتالي، وفقًا لمبدأ عدم اليقين ، لا يُعرف شيء عن زخم هذه الحالة.

في ميكانيكا الكم، عادةً ما نقصد بالتمثيل في فضاء الزخم تمثيل الحالات والكميات القابلة للرصد بالنسبة إلى أساس الزخم الوحدوي المتعارف عليه. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

في فضاء الزخم ، يُعبَّر عن مؤثر الموضع في بُعد واحد بواسطة المؤثر التفاضلي التالي $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

أين:

• يتم تعريف تمثيل عامل الموضع في أساس الزخم بشكل طبيعي بواسطة${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$، لكل دالة موجية (توزيع معتدل)${\displaystyle \psi }$؛
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$يمثل دالة الإحداثيات على خط الزخم ودالة متجه الموجة${\displaystyle \mathrm {k} }$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$.

لنفترض حالة جسيم عديم الدوران يتحرك في بُعد مكاني واحد. تحتوي فضاءات الحالة لهذا الجسيم على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$؛ فضاء هيلبرت للدوال ذات القيم المركبة والقابلة للتكامل التربيعي على الخط الحقيقي .

يُعرَّف عامل الموضع بأنه العامل الذاتي المرافق$${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$ مع مجال التعريف$${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$ ودالة الإحداثيات${\displaystyle \mathrm {q}$ :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } إرسال كل نقطة${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$لنفسه، بحيث ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$ لكل نقطة محددة${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$و${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

يمكننا استنتاج أن الطيف يتكون من خط الأعداد الحقيقية بأكمله مباشرةً من التعريف، وأن${\displaystyle Q}$له طيف متصل تمامًا ، أي لا توجد مجموعة منفصلة من القيم الذاتية.

يتم تعريف الحالة ثلاثية الأبعاد بشكل مماثل. وسنحافظ على افتراض البعد الواحد في المناقشة التالية.

كما هو الحال مع أي كمية قابلة للرصد في ميكانيكا الكم، نحتاج إلى حساب الدقة الطيفية لمؤثر الموضع لمناقشة قياس الموضع.$${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$ وهو $${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$ أين${\displaystyle \mu _{X}}$هو ما يسمى بالمقياس الطيفي لمؤثر الموضع.

يترك${\displaystyle \chi _{B}}$لنرمز إلى دالة المؤشر لمجموعة بوريل الفرعية${\displaystyle B}$ل ${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم يُعطى المقياس الطيفي بالصيغة التالية $${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$أي، كضرب في دالة المؤشر لـ${\displaystyle B}$.

لذلك، إذا تم إعداد النظام في حالة${\displaystyle \psi }$ثم احتمال انتماء الموضع المقاس للجسيم إلى مجموعة بوريل${\displaystyle B}$يكون $${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$ أين${\displaystyle \mu }$هو مقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية.

بعد أي قياس يهدف إلى الكشف عن الجسيم داخل المجموعة الفرعية B، تنهار الدالة الموجية إلى إما $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$ أو $${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$ أين${\displaystyle \|\cdot \|}$هل معيار فضاء هيلبرت على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$.

• فضاء الموضع والزخم
• عامل الزخم
• عامل التحويل (ميكانيكا الكم)

• دي لا مدريد مودينو، ر. (2001). ميكانيكا الكم في لغة فضاء هيلبرت المُجهز (أطروحة دكتوراه). جامعة بلد الوليد.