الطيف (التحليل الوظيفي)

يترك${\displaystyle T}$ليكن مؤثرًا خطيًا محدودًا يعمل على فضاء باناخ${\displaystyle X}$على الحقل القياسي المعقد${\displaystyle \mathbb {C} }$، و${\displaystyle I}$كن عامل الهوية على${\displaystyle X}$طيف​​${\displaystyle T}$هي مجموعة الكل${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$والتي يقوم المشغل بها${\displaystyle T-\lambda I}$ليس له معكوس يكون مؤثرًا خطيًا محدودًا.

منذ${\displaystyle T-\lambda I}$إذا كان المؤثر خطيًا، فإن معكوسه يكون خطيًا إن وُجد؛ وبحسب نظرية المعكوس المحدود ، فهو محدود. لذلك، يتكون الطيف تحديدًا من تلك الكميات العددية.${\displaystyle \lambda }$والتي${\displaystyle T-\lambda I}$ليست تقابلية .

طيف مؤثر معين${\displaystyle T}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \sigma (T)}$، ومكملتها، مجموعة الحلول ، يُرمز لها بـ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$. (${\displaystyle \rho (T)}$يُستخدم أحيانًا للدلالة على نصف القطر الطيفي لـ${\displaystyle T}$)

لو${\displaystyle \lambda }$هي قيمة ذاتية لـ${\displaystyle T}$ثم يقوم المشغل${\displaystyle T-\lambda I}$ليست علاقة واحد لواحد، وبالتالي فإن معكوسها${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$غير مُعرَّف. ومع ذلك، فإن العبارة العكسية غير صحيحة: العامل${\displaystyle T-\lambda I}$قد لا يكون لها عكس، حتى لو${\displaystyle \lambda }$ليست قيمة ذاتية. وبالتالي، فإن طيف المؤثر يحتوي دائمًا على جميع قيمه الذاتية، ولكنه لا يقتصر عليها.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك فضاء هيلبرت${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$، التي تتكون من جميع المتتاليات الثنائية اللانهائية من الأعداد الحقيقية

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

التي لها مجموع مربعات محدود${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$. مشغل المناوبة الثنائية${\displaystyle T}$ببساطة، يقوم بإزاحة كل عنصر من عناصر التسلسل بمقدار موضع واحد؛ أي إذا${\displaystyle u=T(v)}$ثم${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$لكل عدد صحيح${\displaystyle i}$معادلة القيم الذاتية${\displaystyle T(v)=\lambda v}$ليس له حل غير صفري في هذا الفضاء، لأنه يعني أن جميع القيم${\displaystyle v_{i}}$لها نفس القيمة المطلقة (إذا${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$) أو تشكل متتالية هندسية (إذا${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$في كلتا الحالتين، لن يكون مجموع مربعاتهما محدودًا. ومع ذلك، فإن المؤثر${\displaystyle T-\lambda I}$لا يمكن عكسها إذا${\displaystyle |\lambda |=1}$على سبيل المثال، التسلسل${\displaystyle u}$بحيث${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$هو في${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$لكن لا يوجد تسلسل${\displaystyle v}$في${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$بحيث${\displaystyle (TI)v=u}$(إنه،${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$للجميع${\displaystyle i}$).

طيف المؤثر المحدود ${\displaystyle T}$ هي دائماً مجموعة فرعية مغلقة ومحدودة من المستوى المركب .

إذا كان الطيف فارغًا، فإن دالة التحليل

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

ستكون معرفة في كل مكان على المستوى المركب ومحدودة. ولكن يمكن إثبات أن دالة الحل${\displaystyle R}$الدالة تحليلية الشكل على مجالها. وبحسب الصيغة المتجهة لنظرية ليوفيل ، فإن هذه الدالة ثابتة، وبالتالي تساوي صفرًا في كل مكان لأنها تساوي صفرًا عند اللانهاية. وهذا يُعد تناقضًا.

تنتج محدودية الطيف من توسيع متسلسلة نيومان في${\displaystyle \lambda }$الطيف${\displaystyle \sigma (T)}$يحدها${\displaystyle \left\|T\right\|}$. وتُظهر نتيجة مماثلة انغلاق الطيف.

الحدود${\displaystyle \left\|T\right\|}$يمكن تحسين الطيف إلى حد ما. نصف القطر الطيفي ،${\displaystyle r(T)}$، ل${\displaystyle T}$يمثل نصف قطر أصغر دائرة في المستوى المركب والتي مركزها نقطة الأصل وتحتوي على الطيف${\displaystyle \sigma (T)}$داخلها، أي

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

تنص صيغة نصف القطر الطيفي ^{[ 2 ]} على أنه لأي عنصر${\displaystyle T}$من جبر باناخ ،

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

ليكن X فضاء باناخ و${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$ليكن مؤثرًا خطيًا معرفًا على المجال${\displaystyle D(T)\subseteq X}$يُقال إن العدد المركب λ ينتمي إلى مجموعة الحلول (وتسمى أيضًا المجموعة المنتظمة ) لـ${\displaystyle T}$إذا كان المشغل

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

له معكوس محدود معرف في كل مكان، أي إذا كان هناك مؤثر محدود

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

بحيث

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

يكون العدد المركب λ موجودًا في الطيف إذا لم يكن λ موجودًا في مجموعة الحلول.

لكي يكون λ في المُحلِّل (أي ليس في الطيف)، تمامًا كما هو الحال في الحالة المحدودة،${\displaystyle T-\lambda I}$يجب أن تكون الدالة تقابلية، إذ لا بد أن يكون لها معكوس ثنائي الجانب. وكما سبق، إذا وُجد معكوس، فإن خطيته تكون واضحة، ولكن عمومًا قد لا تكون محدودة، لذا يجب التحقق من هذا الشرط بشكل منفصل.

بحسب نظرية الرسم البياني المغلق ، فإن محدودية${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ويترتب ذلك مباشرةً من وجوده عندما يكون T مغلقًا . عندئذٍ، كما هو الحال في الحالة المحدودة، يقع العدد المركب λ في طيف المؤثر المغلق T إذا وفقط إذا${\displaystyle T-\lambda I}$ليست تقابلية. لاحظ أن فئة المؤثرات المغلقة تشمل جميع المؤثرات المحدودة.

إن طيف المؤثر غير المحدود هو عمومًا مجموعة فرعية مغلقة، وربما فارغة، من المستوى المركب. إذا لم يكن المؤثر T مغلقًا ، فإن${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$.

يوضح المثال التالي أن المؤثرات غير المغلقة قد يكون لها أطياف فارغة. ليكن${\displaystyle T}$يرمز إلى عامل التفاضل على${\displaystyle L^{2}([0,1])}$، والتي يُعرَّف نطاقها بأنه إغلاق${\displaystyle C_{c}^{\infty }((0,1])}$فيما يتعلق بـ${\displaystyle H^{1}}$- معيار فضاء سوبوليف . يمكن وصف هذا الفضاء بأنه جميع الدوال في${\displaystyle H^{1}([0,1])}$التي تساوي صفرًا عند${\displaystyle t=0}$. ثم،${\displaystyle Tz}$يحتوي على نواة تافهة في هذا المجال، مثل أي${\displaystyle H^{1}([0,1])}$الدالة في نواتها هي مضاعف ثابت لـ${\displaystyle e^{zt}}$، وهو يساوي صفرًا عند${\displaystyle t=0}$إذا وفقط إذا كان يساوي صفرًا تمامًا. لذلك، فإن مكمل الطيف هو كل${\displaystyle \mathbb {C} .}$

إذا لم يكن المؤثر أحاديًا (أي يوجد عدد غير صفري x بحيث يكون T ( x )  =  0)، فمن الواضح أنه غير قابل للعكس. لذا، إذا كانت λ قيمة ذاتية للمؤثر T ، فمن الضروري أن تكون λ  ∈ σ ( T ). تُسمى مجموعة القيم الذاتية للمؤثر T أيضًا بالطيف النقطي للمؤثر T ، ويُرمز لها بـ σp ( T ). يشير بعض الباحثين إلى إغلاق الطيف النقطي باسم الطيف النقطي البحت _. ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$بينما يفكر آخرون ببساطة${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

بشكلٍ أعم، وفقًا لنظرية المعكوس المحدود ، فإن T غير قابلة للعكس إذا لم تكن محدودة من الأسفل؛ أي إذا لم يكن هناك عدد صحيح موجب c بحيث يكون || Tx || ≥ c || x || لكل x ∈ X. _{لذا ،} يشمل الطيف مجموعة القيم الذاتية التقريبية ، وهي تلك القيم λ التي تجعل T - λI غير محدودة من الأسفل؛ أو بعبارة أخرى، هي مجموعة λ التي يوجد _من أجلها متتالية من متجهات الوحدة x₁ , x₂ , ... والتي    

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$.

تُعرف مجموعة القيم الذاتية التقريبية باسم طيف النقاط التقريبي ، ويُرمز لها بـ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$.

من السهل ملاحظة أن القيم الذاتية تقع في طيف النقاط التقريبي.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التحول الثنائي W على${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$محدد بواسطة

${\displaystyle W:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

أين${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$هو الأساس المتعامد القياسي في${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$تُظهر الحسابات المباشرة أن W ليس لها قيم ذاتية، ولكن كل λ لها${\displaystyle |\lambda |=1}$هي قيمة ذاتية تقريبية؛ لنفترض أن x _n هو المتجه

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

يمكن ملاحظة أن || x _n || = 1 لجميع قيم n ، ولكن

${\displaystyle \|Wx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

بما أن W مؤثر وحدوي، فإن طيفه يقع على دائرة الوحدة. لذلك، فإن طيف النقطة التقريبي لـ W هو طيفه الكامل.

هذه النتيجة صحيحة أيضًا لفئة أعم من المؤثرات. المؤثر الوحدوي يكون طبيعيًا . وبحسب نظرية الطيف ، يكون المؤثر المحدود على فضاء هيلبرت H طبيعيًا إذا وفقط إذا كان مكافئًا (بعد تعريف H بـ${\displaystyle L^{2}}$يمكن إثبات أن طيف النقاط التقريبي لمؤثر الضرب المحدود يساوي طيفه .

يُعرَّف الطيف المنفصل بأنه مجموعة القيم الذاتية الطبيعية ، أو بصورة مكافئة، بأنه مجموعة النقاط المعزولة في الطيف التي يكون فيها مُسقط ريز المقابل ذا رتبة محدودة. وبذلك، يُعد الطيف المنفصل مجموعة فرعية صارمة من طيف النقاط، أي${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

مجموعة جميع قيم λ التي تحقق${\displaystyle T-\lambda I}$الدالة T هي دالة أحادية ولها مدى كثيف، ولكنها ليست دالة شاملة، وتسمى الطيف المتصل لـ T ، ويرمز لها بـ ${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$وبالتالي، يتكون الطيف المتصل من تلك القيم الذاتية التقريبية التي ليست قيماً ذاتية ولا تقع ضمن الطيف المتبقي. أي،

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$.

على سبيل المثال،${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$،${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$، وهو حقني وله مدى كثيف، ومع ذلك${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$في الواقع، إذا${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$مع${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$بحيث${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$ليس بالضرورة أن يمتلك المرء${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$، وثم${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$.

مجموعة${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$والتي${\displaystyle T-\lambda I}$لا يمتلك نطاقًا كثيفًا ، ويُعرف باسم طيف انضغاط T ويُرمز إليه بـ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$.

مجموعة${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$والتي${\displaystyle T-\lambda I}$هي دالة حقنية ولكن مداها ليس كثيفًا، وتُعرف باسم الطيف المتبقي لـ T ويُرمز لها بـ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

قد يكون المؤثر أحاديًا، بل ومحدودًا من الأسفل، ولكنه مع ذلك غير قابل للعكس. الإزاحة إلى اليمين على${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$، مثال على ذلك. عامل الإزاحة هذا هو عملية تماثل ، وبالتالي فهو محدود من الأسفل بالقيمة 1. ولكنه غير قابل للعكس لأنه ليس شاملاً (${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$وعلاوة على ذلك${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$ليس كثيفًا في${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$ (${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$).

يُعرَّف الطيف المحيطي للمؤثر بأنه مجموعة النقاط في طيفه التي يكون لها معيار يساوي نصف قطره الطيفي. ^{[ 6 ]}

توجد خمسة تعريفات متشابهة للطيف الأساسي للمؤثر الخطي المغلق المعرف بكثافة${\displaystyle A:\,X\to X}$والتي ترضي

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

كل هذه الأطياف${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$، تتطابق في حالة المؤثرات الذاتية المرافقة.

1. الطيف الأساسي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$يُعرَّف بأنه مجموعة النقاط${\displaystyle \lambda }$من الطيف بحيث${\displaystyle A-\lambda I}$ليست شبه فريدهولم . (يكون المؤثر شبه فريدهولم إذا كان مداه مغلقًا وكان إما نواته أو نواته المساعدة (أو كلاهما) محدود الأبعاد.) مثال 1:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$للمشغل${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$(لأن نطاق هذا العامل ليس مغلقًا: النطاق لا يشمل كل${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$(على الرغم من أن إغلاقها يفعل ذلك). مثال 2:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$ل${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$لأي${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$(لأن كل من النواة والنواة المساعدة لهذا المؤثر لا نهائية الأبعاد).
2. الطيف الأساسي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$يُعرَّف بأنه مجموعة النقاط${\displaystyle \lambda }$من الطيف بحيث يكون المشغل إما${\displaystyle A-\lambda I}$له نواة لا نهائية الأبعاد أو له مدى غير مغلق. ويمكن وصفه أيضًا بمعيار ويل : توجد متتالية${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$في الفضاء X بحيث${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$،${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ومثل ذلك${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$لا تحتوي على متتالية جزئية متقاربة . تُسمى هذه المتتالية متتالية شاذة (أو متتالية ويل شاذة ). مثال:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$للمشغل${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$إذا كان j زوجيًا و${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$عندما يكون j فرديًا (تكون النواة ذات أبعاد لا نهائية؛ وتكون النواة المساعدة ذات أبعاد صفرية). لاحظ أن${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$.
3. الطيف الأساسي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$يُعرَّف بأنه مجموعة النقاط${\displaystyle \lambda }$من الطيف بحيث${\displaystyle A-\lambda I}$ليس فريدهولم . (يكون المؤثر فريدهولم إذا كان مداه مغلقًا وكانت كل من نواته ونواته المساعدة ذات أبعاد منتهية.) مثال:${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$للمشغل${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$(النواة ذات بُعد صفري، والنواة المساعدة ذات بُعد لانهائي). لاحظ أن${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$.
4. الطيف الأساسي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$يُعرَّف بأنه مجموعة النقاط${\displaystyle \lambda }$من الطيف بحيث${\displaystyle A-\lambda I}$ليست فريدهولم ذات مؤشر صفري. ويمكن وصفها أيضاً بأنها الجزء الأكبر من طيف A الذي تحافظ عليه الاضطرابات المدمجة . بعبارة أخرى،${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$؛ هنا${\displaystyle B_{0}(X)}$يرمز إلى مجموعة جميع المؤثرات المدمجة على X. مثال :${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$أين${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$هو عامل الوردية اليمنى،${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$ل${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$(نواة المصفوفة تساوي صفرًا، ونواة المصفوفة المساعدة أحادية البعد). لاحظ أن${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$.
5. الطيف الأساسي${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$هو اتحاد${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$مع جميع مكونات${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$التي لا تتقاطع مع مجموعة الحلول${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$ويمكن وصفه أيضاً بأنه${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$مثال: لنأخذ في الاعتبار المؤثر${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$،${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$ل${\displaystyle j\neq 0}$،${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$. منذ${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$، لدى المرء${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$لأي${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$مع${\displaystyle |z|=1}$نطاق${\displaystyle T-zI}$كثيف ولكنه ليس مغلقًا، وبالتالي فإن حدود القرص الواحد تقع في النوع الأول من الطيف الأساسي:${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$لأي${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$مع${\displaystyle |z|<1}$،${\displaystyle T-zI}$لها نطاق مغلق، ونواة أحادية البعد، ونواة مشتركة أحادية البعد، لذلك${\displaystyle z\in \sigma (T)}$بالرغم من${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ل${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$؛ هكذا،${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$ل${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$هناك مكونان من${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$:${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|>1\}} و${\displaystyle \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}} . المكون${\displaystyle \{|z|<1\}}$ليس لها تقاطع مع مجموعة الحلول؛ بحسب التعريف،${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C}$ :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C}  :\,|z|\leq 1\}} .

إذا كان T مؤثرًا مضغوطًا ، أو بشكل عام مؤثرًا غير أساسي ، فإنه يمكن إثبات أن الطيف قابل للعد، وأن الصفر هو نقطة التراكم الوحيدة الممكنة ، وأن أي قيمة λ غير صفرية في الطيف هي قيمة ذاتية.

مؤثر محدود${\displaystyle A:\,X\to X}$يكون شبه عديم القدرة إذا${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$(بمعنى آخر، إذا كان نصف قطر الطيف لـ A يساوي صفرًا). يمكن وصف هذه المؤثرات بشكل مكافئ بالشرط

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

ومن أمثلة هذا النوع من العوامل ما يلي:${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$،${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$ل${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$.

إذا كان X فضاء هيلبرت و T مؤثر ذاتي الترافق (أو بشكل عام مؤثر عادي )، فإن نتيجة رائعة تُعرف باسم نظرية الطيف تعطي نظيرًا لنظرية القطرنة للمؤثرات العادية ذات الأبعاد المحدودة (المصفوفات الهرميتية، على سبيل المثال).

بالنسبة للمؤثرات الذاتية المرافقة، يمكن للمرء استخدام المقاييس الطيفية لتحديد تفكيك الطيف إلى أجزاء متصلة تمامًا، ونقاط نقية، وأجزاء مفردة.

الطيف الحقيقي لمؤثر خطي متصل${\displaystyle T}$العمل على مساحة باناش حقيقية${\displaystyle X}$، المشار إليه${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$، تُعرَّف بأنها مجموعة جميع${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$والتي${\displaystyle T-\lambda I}$لا يمكن عكسها في الجبر الحقيقي للمؤثرات الخطية المحدودة التي تعمل على${\displaystyle X}$في هذه الحالة لدينا${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$لاحظ أن الطيف الحقيقي قد يتطابق أو لا يتطابق مع الطيف المركب. وعلى وجه الخصوص، قد يكون الطيف الحقيقي فارغًا.