عامل وردية أحادية الجانب

الموسوعة الحرة

في نظرية المؤثرات ، يُعدّ الإزاحة أحادية الجانب مؤثر إزاحة أحادي الاتجاه ، أي مؤثر إزاحة يعمل على متتابعات أو فضاءات إزاحة أحادية الجانب . يُستخدم مصطلح " مؤثر " للتمييز بينه وبين مصفوفات الإزاحة ذات الأبعاد المحدودة . ويُستخدم مصطلح "أحادي الجانب" للتمييز بينه وبين مؤثر الإزاحة ثنائي الاتجاه ، الذي تُعدّ خريطة بيكر مثالًا عليه.

تُدرس مؤثرات الإزاحة عادةً في سياق الأنظمة الديناميكية الحافظة للقياس . في هذه السياقات العامة، يُطلق على مؤثر الإزاحة أحادي الجانب عادةً اسم مؤثر النقل أو مؤثر فروبينيوس-بيرون؛ ومعكوسه هو مؤثر كوبمان . تعتمد خصائص مؤثرات الإزاحة اعتمادًا كبيرًا على طوبولوجيا الفضاءات التي تعمل عليها؛ فعلى سبيل المثال، من المعروف أن إزاحة برنولي لها طيف منفصل يُعطى بواسطة كثيرات حدود برنولي عند تطبيقها على فضاء الدوال الملساء المحدودة على الفترة [0, 1]، ولكنها لها طيف متصل (على قرص الوحدة) عند تطبيقها على فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي. عند تطبيقها على فضاء قياس ، تكون الدوال الذاتية لمؤثرات الإزاحة ذات شكل كسري مميز، وغالبًا ما تكون غير قابلة للتفاضل في أي مكان أو حتى غير متصلة في أي مكان. ترتبط القيم الذاتية على دائرة الوحدة بالتطور الزمني الوحدوي ، بينما تُعرَّف تلك الموجودة داخل قرص الوحدة تقليديًا بالأنماط المتلاشية في الأنظمة الإحصائية. في ميكانيكا الكم ، فإن عامل الإزاحة أحادي الجانب النموذجي هو عامل الإفناء للمذبذب التوافقي الكمي ؛ وتتوافق دوالها الذاتية مع الحالات المتماسكة .

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي التحولات أحادية الجانب التي تؤثر على فضاء هيلبرت ، وتحديدًا في تمثيلين: كمؤثر على فضاء المتتالياتℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}أو كعامل ضرب على فضاء هاردي . خصائصه، ولا سيما فضاءاته الجزئية الثابتة ، مفهومة جيدًا وتُستخدم كنموذج لنظريات أكثر عمومية. [ 1 ] [ 2 ]

تعريف

يتركℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}ليكن فضاء هيلبرت للمتتاليات القابلة للتربيع من الأعداد المركبة ، أيℓ2={(أ0،أ1،أ2،...):أن∈ج و ∑ن=0∞|أن|2<∞}{\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ):a_{n}\in \mathbb {C} {\text{ و }}\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \right\}}الإزاحة أحادية الجانب هي المؤثر الخطيS:ℓ2→ℓ2{\displaystyle S:\ell ^{2}\to \ell ^{2}}مُعرَّف بواسطة: S(أ0،أ1،أ2،...)=(0،أ0،أ1،أ2،...){\displaystyle S(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=(0,a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}يُطلق على هذا العامل أيضًا اسم الإزاحة الأمامية .

فيما يتعلق بالأساس المتعامد القياسي(هـن)ن=0∞{\displaystyle (e_{n})_{n=0}^{\infty }}لℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}، أينهـن{\displaystyle e_{n}}هي المتتالية التي تحتوي على 1 في الموضع n و0 في باقي المواضع، وهي نتيجة فعلS{\displaystyle S}يكونSهـن=هـن+1{\displaystyle Se_{n}=e_{n+1}}. تمثيلها المصفوفي هو:S=[0000⋯1000⋯0100⋯0010⋯⋮⋮⋮⋮⋱]{\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\cdots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\0&0&1&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}هذا عامل توبليتز ورمزه هو الدالةو(z)=z{\displaystyle f(z)=z}يمكن اعتبارها مصفوفة إزاحة سفلية لا نهائية الأبعاد .

ملكيات

مساعد مشغل

المرافق للتحول أحادي الجانب، ويرمز له بـS*{\displaystyle S^{*}}، هو الإزاحة العكسية . وهو يؤثر علىℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}مثل: S*(ب0،ب1،ب2،ب3،...)=(ب1،ب2،ب3،...){\displaystyle S^{*}(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3},\dots )=(b_{1},b_{2},b_{3},\dots )}التمثيل المصفوفي لـS*{\displaystyle S^{*}}هي منقولة المصفوفة المرافقة لـS{\displaystyle S}: S*=[0100⋯0010⋯0001⋯0000⋯⋮⋮⋮⋮⋱]{\displaystyle S^{*}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&1&0&\cdots \\0&0&0&1&\cdots \\0&0&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}يمكن اعتبارها مصفوفة إزاحة علوية لا نهائية الأبعاد.

الخصائص الأساسية

  • S،S*{\displaystyle S,S^{*}}كلاهما متصلان ولكنهما ليسا متراصين .
  • S*S=أنا{\displaystyle S^{*}S=I}.
  • S،S*{\displaystyle S,S^{*}}شكّل زوجًا من التكافؤ الوحدوي بينℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}ومجموعةℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}- المتتاليات التي يكون عنصرها الأول صفرًا.

للمُعامل المُحلِّل تمثيل مصفوفي(zأنا-S)-1=[z-1000⋯z-2z-100⋯z-3z-2z-10⋯z-4z-3z-2z-1⋯⋮⋮⋮⋮⋱]{\displaystyle (zI-S)^{-1}={\begin{bmatrix}z^{-1}&0&0&0&\cdots \\z^{-2}&z^{-1}&0&0&\cdots \\z^{-3}&z^{-2}&z^{-1}&0&\cdots \\z^{-4}&z^{-3}&z^{-2}&z^{-1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}والتي تكون محدودة إذا وفقط إذا|z|>1{\displaystyle |z|>1}. بصورة مماثلة،(zأنا-S*)-1=((z*أنا-S)-1)*{\displaystyle (zI-S^{*})^{-1}=((z^{*}IS)^{-1})^{*}}.

لأيz∈ج،أ∈ℓ2{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,a\in \ell ^{2}}مع‖أ‖=1{\displaystyle \|a\|=1}،‖(zأنا-S)أ‖2=1+|z|2-2ℜ(⟨Sأ،أ⟩z)،‖(zأنا-S*)أ‖2=1-|أ0|2+|z|2-2ℜ(⟨Sأ،أ⟩z*){\displaystyle \|(zI-S)a\|^{2}=1+|z|^{2}-2\Re (\langle Sa,a\rangle z),\quad \|(zI-S^{*})a\|^{2}=1-|a_{0}|^{2}+|z|^{2}-2\Re (\langle Sa,a\rangle z^{*})}أينℜ{\displaystyle \Re }هذا هو الجزء الحقيقي .

النظرية الطيفية

طيف التحول الأمامي — دعد{\displaystyle \mathbb {D} }كن قرص الوحدة المفتوح،د¯{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}القرص المغلق، وتي{\displaystyle \mathbb {T} }دائرة الوحدة.

  • طيف​​S{\displaystyle S}يكونσ(S)=د¯{\displaystyle \sigma (S)={\overline {\mathbb {D} }}}.
  • طيف النقطة لـS{\displaystyle S}فارغ:σص(S)=∅{\displaystyle \sigma _{p}(S)=\emptyset }.
  • الطيف النقطي التقريبي لـS{\displaystyle S}هل هي دائرة الوحدة؟σأص(S)=تي{\displaystyle \sigma _{ap}(S)=\mathbb {T} }.
دليل

لإظهارσ(S)=د¯{\displaystyle \sigma (S)={\overline {\mathbb {D} }}}استخدم تمثيل المصفوفة لـ(zأنا-S)-1{\displaystyle (zI-S)^{-1}}ولاحظ أنها محدودة إذا وفقط إذا|z|>1{\displaystyle |z|>1}لإظهارσص(S)=∅{\displaystyle \sigma _{p}(S)=\emptyset }، أظهر ذلك مباشرةSأ=λأ{\displaystyle Sa=\lambda a}يشير إلىأ=0{\displaystyle a=0}.

لإظهارσأص(S)=تي{\displaystyle \sigma _{ap}(S)=\mathbb {T} }، لاحظ أن‖(zأنا-S)أ‖2≥1+|z|2-2|z|=(1-|z|)2{\displaystyle \|(zI-S)a\|^{2}\geq 1+|z|^{2}-2|z|=(1-|z|)^{2}}لأيz∈ج،أ∈ℓ2{\displaystyle z\in \mathbb {C} ,a\in \ell ^{2}}مع‖أ‖=1{\displaystyle \|a\|=1}، لذاσأص(S)⊂د¯∖د=تي{\displaystyle \sigma _{ap}(S)\subset {\overline {\mathbb {D} }}\setminus \mathbb {D} =\mathbb {T} }. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لأيz∈تي{\displaystyle z\in \mathbb {T} }قم بإنشاء متجه الوحدة التاليأ=1شمال(1،z-1،z-2،...،z-(شمال-1)،0،0،...){\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {N}}}(1,z^{-1},z^{-2},\dots ,z^{-(N-1)},0,0,\dots )}ثم‖(zأنا-S)أ‖2=2/شمال{\displaystyle \|(zI-S)a\|^{2}=2/N}، والتي تتقارب إلى 0 عندشمال→∞{\displaystyle N\to \infty }.

الخصائص الطيفية لـS*{\displaystyle S^{*}}تختلف اختلافًا كبيرًا عن تلك الخاصة بـS{\displaystyle S}: [ 1 ] : الاقتراح 5.2.4

  • σ(S*)=د¯{\displaystyle \sigma (S^{*})={\overline {\mathbb {D} }}}(منذσ(أ*)=σ(أ)¯{\displaystyle \sigma (A^{*})={\overline {\sigma (A)}}}).
  • طيف النقطةσص(S*){\displaystyle \sigma _{p}(S^{*})}القرص المفتوح بالكاملد{\displaystyle \mathbb {D} }لأيλ∈د{\displaystyle \lambda \in \mathbb {D} }، والمتجه الذاتي المقابل هو المتتالية الهندسية(1،λ،λ2،λ3،...){\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\dots )}.
  • الطيف النقطي التقريبيσأص(S*){\displaystyle \sigma _{ap}(S^{*})}هو قرص الوحدة المغلق بالكاملد¯{\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}}ولإثبات ذلك، يبقى أن نوضحتي⊂σأص(S*){\displaystyle \mathbb {T} \subset \sigma _{ap}(S^{*})}ويمكن إثبات ذلك من خلال بناء مماثل لما سبق، باستخدامأ=1شمال(1،z1،z2،...،z(شمال-1)،0،0،...){\displaystyle a={\frac {1}{\sqrt {N}}}(1,z^{1},z^{2},\dots ,z^{(N-1)},0,0,\dots )}.

نموذج هاردي الفضائي

يمكن دراسة التحول أحادي الجانب باستخدام التحليل المركب .

حدد مساحة هارديح2{\displaystyle H^{2}}باعتبارها فضاء هيلبرت للدوال التحليليةو(z)=∑ن=0∞أنzن{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}على قرص الوحدة المفتوحد{\displaystyle \mathbb {D} }والتي يكون تسلسل المعاملات لها(أن){\displaystyle (a_{n})}هو فيℓ2{\displaystyle \ell ^{2}}.

عرّف عامل الضربمz{\displaystyle M_{z}}علىح2{\displaystyle H^{2}}: (مzو)(z)=zو(z){\displaystyle (M_{z}f)(z)=zf(z)}ثمS{\displaystyle S}ومz{\displaystyle M_{z}}متكافئة وحدوياً عبر الخريطة الوحدويةيو:ℓ2→ح2{\displaystyle U:\ell ^{2}\to H^{2}}محدد بواسطة [ 1 ]يو(أ0،أ1،أ2،...)=∑ن=0∞أنzن{\displaystyle U(a_{0},a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}مما يعطييو*مzيو=S{\displaystyle U^{*}M_{z}U=S}باستخدام هذا التكافؤ الوحدوي، من الشائع في الأدبيات استخدامS{\displaystyle S}للدلالة علىمz{\displaystyle M_{z}}ولعلاجح2{\displaystyle H^{2}}باعتبارها الإعداد الأساسي للتحول أحادي الجانب. [ 1 ] : القسم 5.3

مخفف

مُبدِّل المُشغِّل​أ{\displaystyle A}، المشار إليه{أ}′{\displaystyle \{A\}'}، هي جبر جميع المؤثرات المحدودة التي تتبادل معأ{\displaystyle A}مبدل الإزاحة أحادية الجانب هو جبر عوامل الضرب علىح2{\displaystyle H^{2}}بواسطة الدوال التحليلية المحدودة. [ 1 ] : النتيجة 5.6.2{S}′={مφ:φ∈ح∞}{\displaystyle \{S\}'=\{M_{\varphi }:\varphi \in H^{\infty }\}}هنا،ح∞{\displaystyle H^{\infty }}هو فضاء الدوال التحليلية المحدودة علىد{\displaystyle \mathbb {D} }، و(مφو)(z)=φ(z)و(z){\displaystyle (M_{\varphi }f)(z)=\varphi (z)f(z)}.

المتجهات الدورية

متجهx{\displaystyle x}هو متجه دوري لمؤثرأ{\displaystyle A}إذا كان الامتداد الخطي لمداره{أنx:ن≥0}{\displaystyle \{A^{n}x:n\geq 0\}}كثيفة في الفضاء. لدينا: [ 1 ] : القسم 5.7

  • بالنسبة للتحول من جانب واحدS{\displaystyle S}علىح2{\displaystyle H^{2}}، المتجهات الدورية هي الدوال الخارجية .
  • وظيفةو∈ح2{\displaystyle f\in H^{2}}الذي يحتوي على صفر في قرص الوحدة المفتوحد{\displaystyle \mathbb {D} }ليس متجهًا دوريًا. وذلك لأن كل دالة في امتداد مداره ستكون صفرًا عند تلك النقطة، لذا لا يمكن أن يكون الفضاء الجزئي كثيفًا.
  • وظيفةو∈ح2{\displaystyle f\in H^{2}}أي أنها محدودة بعيدًا عن الصفر (أي،معلوماتz∈د|و(z)|>0{\displaystyle \inf _{z\in \mathbb {D} }|f(z)|>0}) هو متجه دوري.
  • وظيفةو∈ح2{\displaystyle f\in H^{2}}، أي في قرص الوحدة المفتوحد{\displaystyle \mathbb {D} }غير صفري ولكنمعلوماتz∈د|و(z)|=0{\displaystyle \inf _{z\in \mathbb {D} }|f(z)|=0}قد تكون دورية أو لا. على سبيل المثال،و(z)=1-z{\displaystyle f(z)=1-z}هو متجه دوري.

المتجهات الدورية هي تحديداً الدوال الخارجية .

شبكة من الفضاءات الجزئية الثابتة

الS{\displaystyle S}الفضاءات الجزئية الثابتة لـح2{\displaystyle H^{2}}يتم تحديدها تحليليًا بشكل كامل. على وجه التحديد، فهي دقيقةمu(ح2){\displaystyle M_{u}(H^{2})}أينu{\displaystyle u}هي دالة داخلية .

الS{\displaystyle S}تشكل الفضاءات الجزئية الثابتة شبكة من الفضاءات الجزئية . ويتوافق عاملا الشبكة، الربط والالتقاء ، مع العمليات على الدوال الداخلية.

بفرض وجود فضاءين جزئيين ثابتينمu(ح2)،مv(ح2){\displaystyle M_{u}(H^{2}),M_{v}(H^{2})}لدينامu(ح2)⊂مv(ح2){\displaystyle M_{u}(H^{2})\subset M_{v}(H^{2})}إذاu/v∈ح2{\displaystyle u/v\in H^{2}}[ 1 ] : القسم 5.8

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 ( غارسيا، مشرقي وروس 2023 )
  2. ↑ هولوب، جيه آر. (1988). "حول عوامل الإزاحة". النشرة الرياضية الكندية . 31 (1): 85-94 . doi : 10.4153/CMB-1988-013-8 .