مصفوفة الإزاحة

في الرياضيات ، مصفوفة الإزاحة هي مصفوفة ثنائية تحتوي على عناصر قيمتها 1 فقط على القطر العلوي أو القطر السفلي ، وعناصر قيمتها صفر في باقي الأقطار. تُسمى مصفوفة الإزاحة U التي تحتوي على عناصر قيمتها 1 على القطر العلوي بمصفوفة الإزاحة العلوية . أما مصفوفة القطر السفلي البديلة L ، فتُعرف، كما هو متوقع، بمصفوفة الإزاحة السفلية . العنصر ( i , j ) في كل من U و L هو

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هو رمز دلتا كرونيكر .

على سبيل المثال، مصفوفات الإزاحة 5 × 5 هي

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

من الواضح أن منقول مصفوفة الإزاحة السفلية هو مصفوفة إزاحة علوية والعكس صحيح.

كتحويل خطي ، تقوم مصفوفة الإزاحة السفلية بإزاحة مكونات متجه العمود خانة واحدة إلى الأسفل، مع ظهور الصفر في الخانة الأولى. أما مصفوفة الإزاحة العلوية فتقوم بإزاحة مكونات متجه العمود خانة واحدة إلى الأعلى، مع ظهور الصفر في الخانة الأخيرة. ^{[ 1 ]}

يؤدي ضرب المصفوفة A من اليسار بمصفوفة إزاحة سفلية إلى إزاحة عناصر A إلى الأسفل بمقدار خانة واحدة، مع ظهور أصفار في الصف العلوي. أما الضرب من اليمين بمصفوفة إزاحة سفلية فيؤدي إلى إزاحة إلى اليسار. وتؤدي العمليات المماثلة التي تتضمن مصفوفة إزاحة علوية إلى الإزاحة المعاكسة.

من الواضح أن جميع مصفوفات الإزاحة ذات الأبعاد المحدودة هي مصفوفات عديمة القوة ؛ تصبح مصفوفة الإزاحة S من الرتبة n × n مصفوفة الصفر عند رفعها إلى قوة بُعدها n .

تؤثر مصفوفات الإزاحة على فضاءات الإزاحة . وتكتسب مصفوفات الإزاحة ذات الأبعاد اللانهائية أهمية خاصة في دراسة الأنظمة الإرجودية . ومن الأمثلة المهمة على الإزاحات ذات الأبعاد اللانهائية إزاحة برنولي ، التي تعمل كإزاحة على فضاء كانتور ، وخريطة غاوس ، التي تعمل كإزاحة على فضاء الكسور المستمرة (أي على فضاء باير ).

لنفترض أن L و U هما مصفوفتا الإزاحة السفلى والعليا من الرتبة n × n على التوالي. تنطبق الخصائص التالية على كل من U و L. لذا، سنذكر خصائص U فقط :

• det ( U ) = 0
• tr ( U ) = 0
• رتبة ( U ) = n − 1
• كثيرات الحدود المميزة لـ U هي

  ${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• U ⁿ = 0. وهذا يتبع من الخاصية السابقة بواسطة نظرية كايلي-هاميلتون .
• القيمة الدائمة للمصفوفة U هي 0.

توضح الخصائص التالية كيفية ارتباط U و L :

إذا كانت N أي مصفوفة عديمة القوة، فإن N تشبه مصفوفة قطرية كتلية من الشكل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}$

حيث تمثل كل كتلة من الكتل S1 _، S2 _، ... ، Sr مصفوفة إزاحة (قد تكون بأحجام مختلفة) ^{. [ 2 ]} _[ ^{3 ]}   

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

ثم،

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

من الواضح أن هناك العديد من الاحتمالات الممكنة . على سبيل المثال،${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS}$يساوي المصفوفة A بعد إزاحتها لأعلى ولليسار على طول القطر الرئيسي.

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

• مصفوفات الساعة والإزاحة
• مصفوفة عديمة القوة
• إزاحة فرعية من النوع المحدود
• عامل وردية أحادية الجانب

• مصفوفة الإزاحة - مدخل في دليل مرجع المصفوفة