الكسر المستمر

إذا كان أحد البسط الجزئي a _{n +1} يساوي صفرًا، فإن الكسر المستمر اللانهائي $${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ هي في الواقع مجرد كسر مستمر محدود ذو n حدًا كسريًا، وبالتالي دالة كسرية من a _₁ إلى a _{_n} و b _₀ إلى b_{_{n +1}} . لا يُعد هذا النوع من الكسور ذا أهمية كبيرة من وجهة النظر المتبعة في التحليل الرياضي، لذا يُفترض عادةً أن جميع قيم a_{_i} ≠ 0. ولا داعي لفرض هذا القيد على المقامات الجزئية b _{_i} .

عندما يكون التقارب النوني لكسر مستمر $${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ يمكن التعبير عنها ككسر بسيط x _n = ⁠ A _n / B _n ⁠ ويمكننا استخدام صيغة المحدد

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}$

1

لربط بسط ومقامات المتتاليات المتقاربة x _{_n} و x _{_{n -1}} ببعضها البعض. ويمكن إثبات ذلك بسهولة بالاستقراء الرياضي .

دليل

الحالة الأساسية تنتج الحالة n = 1 من عملية حسابية بسيطة للغاية. خطوات استقرائية بافتراض أن ( 1 ) صحيحة لـ n − 1 ، نحتاج إذن إلى التحقق من صحة العلاقة نفسها لـ n . بالتعويض بقيمتي A n و B n في ( 1 )، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}}$$ وهذا صحيح بسبب فرضية الاستقراء لدينا. $${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}$$ على وجه التحديد، إذا لم يكن أي من B n أو B n − 1 يساوي صفرًا ( n > 0 )، فيمكننا التعبير عن الفرق بين المتقاربين ( n − 1) و n على النحو التالي: $${\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=\left(-1\right)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.}$$

إذا كانت { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} أي متتالية لانهائية من الأعداد المركبة غير الصفرية ، فيمكننا إثبات ذلك بالاستقراء الرياضي. $${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$$ حيث يُفهم التساوي على أنه تكافؤ، أي أن المتقاربات المتتالية للكسر المستمر على اليسار هي نفسها تمامًا متقاربات الكسر على اليمين.

يُعدّ تحويل التكافؤ عامًا تمامًا، ولكن هناك حالتان خاصتان تستحقان الذكر بشكل خاص. أولًا، إذا لم يكن أي من aᵢ يساوي صفرًا، فيمكن اختيار متتالية {ci} لجعل _كل بسط جزئي يساوي ₁ : $$$$$ حيث c ₁ = 1 / a 1 _، c 2 = a 1 / a ₂ ، c ₃ = a 2 / a ₁ a ₃ ، وبشكل عام c _{n +1} = 1 / a n ₊₁ c _n .​_​​​_​​

ثانيًا، إذا لم يكن أي من المقامات الجزئية b _i يساوي صفرًا، فيمكننا استخدام إجراء مماثل لاختيار متتالية أخرى { d _i } لجعل كل مقام جزئي a يساوي 1: $$$$$ حيث d ₁ = 1 / b ₁ وإلا فإن d _{n +1} = 1 / b _n b _{n +1} .​​​

تُعد هاتان الحالتان الخاصتان لتحويل التكافؤ مفيدتين للغاية عند تحليل مشكلة التقارب العامة.

كما ذكرنا في المقدمة، الكسر المستمر $${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ يتقارب إذا كانت متتالية المتقاربات { xₙ _} تؤول إلى حد نهائي. هذا المفهوم للتقارب طبيعي جدًا، ولكنه أحيانًا يكون مقيدًا للغاية. لذلك، من المفيد تقديم مفهوم التقارب العام للكسر المستمر. باختصار، يتمثل هذا في استبدال${\displaystyle \operatorname {K} _{i=n}^{\infty }{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$نستخدم جزءًا من الكسر مقسومًا على w _n ، بدلًا من صفر، لحساب المتقاربات. تُسمى المتقاربات التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة بالمتقاربات المعدلة . نقول إن الكسر المستمر يتقارب عمومًا إذا وُجدت متتالية${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$بحيث يتقارب تسلسل المتقاربات المعدلة لجميع${\displaystyle \{w_{n}\}}$متميز بشكل كافٍ عن${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$التسلسل${\displaystyle \{w_{n}^{*}\}}$يُطلق عليها حينها اسم متتالية استثنائية للكسر المستمر. انظر الفصل الثاني من كتاب لورنتزن ووادلاند (1992) للاطلاع على تعريف دقيق.

يوجد أيضًا مفهوم التقارب المطلق للكسور المستمرة، والذي يستند إلى مفهوم التقارب المطلق للمتسلسلة: يُقال إن الكسر المستمر متقارب تقاربًا مطلقًا عندما تكون المتسلسلة $${\displaystyle f=\sum _{n}\left(f_{n}-f_{n-1}\right),}$$ أين${\displaystyle f_{n}=\operatorname {K} _{i=1}^{n}{\tfrac {a_{i}}{b_{i}}}}$^{[ 16 ]} توفر نظرية Śleszyński–Pringsheim شرطًا كافيًا للتقارب المطلق .

أخيرًا، يكون الكسر المستمر لمتغير واحد أو أكثر من المتغيرات المركبة متقاربًا بانتظام في جوار مفتوح Ω عندما تتقارب متقارباته بانتظام على Ω ؛ أي، عندما يكون لكل ε > 0 يوجد M بحيث أنه لكل n > M ، لكل${\displaystyle z\in \Omega }$، $${\displaystyle |f(z)-f_{n}(z)|<\varepsilon .}$$

_{قد يكون} من الضروري أحيانًا فصل الكسر المستمر إلى جزئيه الزوجي والفردي. على سبيل المثال، إذا كان الكسر المستمر يتباعد بالتذبذب بين نقطتي نهاية مختلفتين _p و q ، فإن المتتالية { x₀ _, x₂ , x₄ , ...} يجب أن تتقارب إلى إحداهما، والمتتالية { x₁ _, x₃ , x₅ _, ...} يجب أن تتقارب إلى الأخرى. في مثل هذه الحالة ، قد يكون من الملائم التعبير _عن الكسر المستمر الأصلي على هيئة كسرين مستمرين مختلفين، أحدهما يتقارب إلى p ، والآخر يتقارب إلى q .

يمكن كتابة صيغ الأجزاء الزوجية والفردية للكسر المستمر بأكثر الطرق اختصارًا إذا تم تحويل الكسر مسبقًا بحيث تكون جميع مقاماته الجزئية مساوية للواحد. تحديدًا، إذا $${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}}$$ إذا كان لدينا كسر مستمر، فإن الجزء الزوجي × _زوجي والجزء الفردي × _فردي يُعطيان بالعلاقة التالية: $${\displaystyle x_{\text{even}}={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}}$$ و $${\displaystyle x_{\text{odd}}=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}}$$ على التوالي. وبشكل أدق، إذا كانت المتقاربات المتتالية للكسر المستمر x هي { x ₁ , x ₂ , x ₃ , ...} ، فإن المتقاربات المتتالية لـ x الزوجي _كما هو مكتوب أعلاه هي { x ₂ , x ₄ , x ₆ , ...} ، والمتقاربات المتتالية لـ x _الفردي هي { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} . ^{[ 17 ]}

إذا كانت _a₁ , a₂ , _... و b₁ , b₂ , _... أعدادًا صحيحة موجبة بحيث يكون _aₖ ≤ bₖ لجميع قيم k الكبيرة بما _فيه الكفاية _، فإن $${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ يتقارب إلى حد غير منطقي. ^{[ 18 ]}

ترتبط البسط والمقامات الجزئية للمضاعفات المتتالية للكسر بصيغ التكرار الأساسية : $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\end{aligned}}}$$

تُعطى المتتاليات المتقاربة للكسر المستمر بالصيغة التالية: $${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.}$$

تُعزى هذه العلاقات التكرارية إلى جون واليس (1616-1703) وليونهارد أويلر (1707-1783). ^{[ 19 ]} وهذه العلاقات التكرارية هي ببساطة تدوين مختلف للعلاقات التي توصل إليها بيترو أنطونيو كاتالدي (1548-1626).

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك الكسر المستمر البسيط في شكله القانوني الذي يمثل النسبة الذهبية φ : $${\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$$

بتطبيق صيغ التكرار الأساسية، نجد أن البسط المتتالي A _{_n} هي {1، 2، 3، 5، 8، 13، ...} والمقام المتتالي B_{_n} هي {1، 1، 2، 3، 5، 8، ...} ، وهي أعداد فيبوناتشي . وبما أن جميع البسط الجزئية في هذا المثال تساوي واحدًا، فإن صيغة المحدد تؤكد لنا أن القيمة المطلقة للفرق بين التقاربات المتتالية تقترب من الصفر بسرعة كبيرة.

لنفترض سلسلة من التحويلات الكسرية الخطية البسيطة $$\displaystyle \begin{aligned}\tau_0(z)&=b_0+z,\\\tau_1(z)&=\frac{a_1}{b_1+z}},\\\tau_2(z)&=\frac{a_2}{b_2+z}},\\\tau_3(z)&=\frac{a_3}{b_3+z}},\\&\;\vdots \end{aligned}}}$$

نستخدم هنا الرمز τ لتمثيل كل تحويل خطي بسيط، ونعتمد الترميز الدائري التقليدي لتركيب الدوال. كما نقدم رمزًا جديدًا Τ _n لتمثيل تركيب n + 1 تحويل τ _i ؛ أي، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}{\big (}\tau _{1}(z){\big )},\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}{\Big (}\tau _{1}{\big (}\tau _{2}(z){\big )}{\Big )},\end{aligned}}}$$ وهكذا دواليك. من خلال التعويض المباشر من المجموعة الأولى من التعبيرات إلى المجموعة الثانية، نرى أن $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\[4px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\end{aligned}}}$$ وبشكل عام، $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$$ حيث يُفهم أن المقام الجزئي الأخير في الكسر المستمر المحدود K هو b _n + z . وبما أن b _n + 0 = b _n ، فإن صورة النقطة z = 0 تحت تحويل فورييه الخطي المتكرر Τ _n هي في الواقع قيمة الكسر المستمر المحدود ذي n من البسط الجزئية: $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.}$$

إن تعريف الكسر المستمر المحدود على أنه صورة نقطة تحت التحويل الكسري الخطي المتكرر Τ _n ( z ) يؤدي إلى تفسير هندسي جذاب بديهيًا للكسور المستمرة اللانهائية.

العلاقة $${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )}$$ يمكن فهم ذلك من خلال إعادة كتابة Τ _n ( z ) و Τ _{n +1} ( z ) بدلالة صيغ التكرار الأساسية : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\[6px]{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\end{aligned}}}$$

في المعادلة الأولى، تقترب النسبة من ⁠An / Bn⁠ عندما تقترب z من الصفر. وفي الثانية، تقترب النسبة من ⁠An _{/ Bn⁠} عندما تقترب z من اللانهاية . وهذا يقودنا إلى تفسيرنا الهندسي الأول. إذا كان الكسر المستمر متقاربًا، فإن المتقاربات المتتالية _{⁠An /} Bn⁠ تتقارب في النهاية تقاربًا تامًا . وبما _أن التحويل الكسري الخطي Τn ( z ₎ دالة متصلة ، فلا بد من وجود جوار لـ z = 0 يُحوّل إلى جوار صغير جدًا لـ Τn(0) = ⁠An/ _Bn⁠ . وبالمثل ، لا _بد من وجود جوار للنقطة عند اللانهاية _يُحوّل إلى جوار _صغير جدًا لـ _Τn ( _∞ ) = _⁠An − ₁ / Bn ₋ 1 . لذا إذا كان الكسر المستمر يتقارب، فإن التحويل Τ _n ( z ) يرسم كلاً من z الصغيرة جدًا و z الكبيرة جدًا في جوار صغير بشكل تعسفي لـ x ، فإن قيمة الكسر المستمر، مع ازدياد n بشكل أكبر فأكبر.

بالنسبة للقيم المتوسطة لـ z ، بما أن التقاربات المتتالية تقترب من بعضها البعض، فلا بد أن يكون لدينا $${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k}$$ حيث k ثابت، تم إدخاله للتسهيل. ولكن بعد ذلك، بالتعويض في تعبير Τ _n ( z ) نحصل على $${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$$ بحيث تُسقط حتى القيم المتوسطة لـ z (باستثناء z ≈ − k ⁻¹ ) على جوار صغير جدًا لـ x ، وهي قيمة الكسر المستمر، كلما ازدادت قيمة n . وبشكل بديهي، يبدو الأمر كما لو أن الكسر المستمر المتقارب يُسقط كامل المستوى العقدي الممتد على نقطة واحدة. ^{[ 20 ]}

لاحظ أن المتتالية { Τn _} تقع ضمن زمرة التشاكل الذاتي للمستوى العقدي الممتد، لأن كل Τn هو تحويل كسري خطي يحقق الشرط ab ≠ cd . وكل عنصر من عناصر زمرة التشاكل الذاتي هذه يُسقط المستوى العقدي الممتد على نفسه: لا يمكن لأي من Τn _{أن يُسقط المستوى على نقطة واحدة. ومع ذلك، في النهاية ،} تُعرّف المتتالية { Τn _} كسرًا مستمرًا لانهائيًا ، والذي (إذا تقارب) يُمثل نقطة واحدة في المستوى العقدي.

عندما يتقارب كسر مستمر لانهائي، فإن المتتالية المقابلة { Τn _} من تحويلات فورييه الخطية "تركز" المستوى في اتجاه x ، قيمة الكسر المستمر. في كل مرحلة من مراحل العملية، يتم رسم منطقة أكبر فأكبر من المستوى في جوار x ، وتمتد المنطقة الأصغر فأصغر المتبقية من المستوى بشكل أرق لتغطية كل شيء خارج ذلك الجوار. ^{[ 21 ]}

بالنسبة للكسور المستمرة المتباعدة، يمكننا التمييز بين ثلاث حالات:

1. قد تُعرّف المتتاليتان { Τ _{2 n −1} } و { Τ _{2 n} } كسرين مستمرين متقاربين لهما قيمتان مختلفتان، x _فردي و x _{​​زوجي} . في هذه الحالة، يتباعد الكسر المستمر المُعرّف بالمتتالية { Τ _n } بالتذبذب بين نقطتي نهاية مختلفتين. وفي الواقع، يمكن تعميم هذه الفكرة: إذ يُمكن إنشاء متتاليات { Τ _n } تتذبذب بين ثلاث أو أربع أو أي عدد من نقاط النهاية. وتظهر حالات مثيرة للاهتمام لهذه الحالة عندما تُشكّل المتتالية { Τ _n } زمرة جزئية من رتبة منتهية ضمن زمرة التشاكلات الذاتية على المستوى العقدي الممتد.
2. قد تُنتج المتتالية { Τn _} عددًا لا نهائيًا من المقامات الصفرية Bi ، _{بالإضافة} إلى متتالية فرعية من متقاربات محدودة. قد لا تتكرر هذه المتقاربات المحدودة أو تتبع نمطًا تذبذبيًا واضحًا. أو قد تتقارب إلى حدٍّ نهائي، أو حتى تتذبذب بين عدة حدود نهائية. بغض النظر عن سلوك المتقاربات المحدودة، فإن الكسر المستمر المُعرَّف بالمتتالية { Τn _} يتباعد بالتذبذب، ويكون عند نقطة اللانهاية في هذه الحالة . ^{[ 22 ]}
3. قد لا ينتج عن المتتالية { Τ _n } أكثر من عدد محدود من المقامات الصفرية B _i . بينما ترقص المتتالية الفرعية ذات التقارب المحدود بشكل جامح حول المستوى في نمط لا يتكرر أبدًا ولا يقترب أبدًا من أي حد محدود أيضًا.

يمكن بناء أمثلة مثيرة للاهتمام للحالتين 1 و3 من خلال دراسة الكسر المستمر البسيط $${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}}$$ حيث z هو أي عدد حقيقي بحيث يكون z < ⁻ 1 / 4 . ^{[ 23} ]

فيما يلي كسران مستمران يمكن بناؤهما باستخدام متطابقة أويلر .

$${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$$

فيما يلي أمثلة إضافية على الكسور المستمرة المعممة:

$${\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$$

يعتمد هذا الأخير على خوارزمية اشتقها أليكسي نيكولايفيتش خوفانسكي في سبعينيات القرن العشرين. ^{[ 24 ]}

مثال: اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, 2/3 , 7 , 1/2 , 9 , 2/5 , ... , 2k - 1 , 2 / k , ... ] ≈ 0.693147 ^... ) ^{: [} 25 ]$${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$$