معدل التقارب

المتتابعة الهندسية${\textstyle (a_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots ,{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{k},\dots }$ يتقارب إلى${\displaystyle L=0}$بتطبيق المتتالية على تعريف التقارب الخطي من الرتبة Q (أي رتبة التقارب 1)، يتضح أن

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|1/2^{k+1}-0\right|}{\left|1/2^{k}-0\right|}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {2^{k}}{2^{k+1}}}={\frac {1}{2}}.}$$

هكذا${\displaystyle (a_{k})}$يتقارب بشكل خطي Q بمعدل تقارب قدره${\displaystyle \mu =1/2}$انظر إلى الرسم البياني الأول في الشكل أدناه.

وبشكل أعم، لأي قيمة ابتدائية${\displaystyle a}$في الأعداد الحقيقية ونسبة عددية مشتركة حقيقية${\displaystyle r}$بين -1 و 1، متتابعة هندسية${\displaystyle (ar^{k})}$يتقارب خطيًا بمعدل${\displaystyle |r|}$ومتتالية المجاميع الجزئية للمتسلسلة الهندسية${\textstyle {\bigl (}\sum _{n=0}^{k}ar^{n}{\bigr )}}$كما أنها تتقارب خطيًا بمعدل${\displaystyle |r|}$وينطبق الأمر نفسه على المتواليات الهندسية والمتسلسلات الهندسية التي تُعطى معاملاتها بأي أعداد مركبة .${\displaystyle a\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {C} ,|r|<1.}$

التتابع الهندسي المتدرج${\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\bigr )}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor },\ldots ,}$باستخدام دالة الأرضية${\textstyle \lfloor x\rfloor }$وهذا يعطي أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي${\displaystyle x,}$يتقارب هذا المتتالية خطيًا من الدرجة R إلى الصفر بمعدل 1/2، ولكنه لا يتقارب خطيًا من الدرجة Q؛ انظر الرسم البياني الثاني في الشكل أدناه. لا توجد حدود تقارب خطي من الدرجة Q لهذه المتتالية لأن إحدى المتتاليات الفرعية من معاملات الخطأ، التي تبدأ من خطوات فردية، تتقارب إلى 1، بينما تتقارب متتالية فرعية أخرى من معاملات الخطأ، التي تبدأ من خطوات زوجية، إلى 1/4. عندما تتقارب متتاليتان فرعيتان من متتالية ما إلى حدود مختلفة، فإن المتتالية نفسها لا تتقارب إلى حد. عمومًا، بالنسبة لأي متتالية هندسية متداخلة${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$لن يتقارب المتتالية خطيًا وفقًا لـ Q، ولكنه سيتقارب خطيًا وفقًا لـ R بمعدل${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}$توضح هذه الأمثلة لماذا يشير الحرف "R" في R-linear convergence إلى "root".

التسلسل $${\displaystyle (c_{k})={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots }$$ يتقارب إلى الصفر بشكل فائق الخطية Q. في الواقع، هو متقارب تربيعيًا بمعدل تقارب تربيعي يساوي 1. يظهر ذلك في الرسم البياني الثالث من الشكل أدناه.

وأخيرًا، التسلسل $${\displaystyle (d_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots ,{\frac {1}{k+1}},\ldots }$$ يتقارب إلى الصفر بشكل شبه خطي ولوغاريتمي ويظهر تقاربه في الرسم البياني الرابع من الشكل أدناه.

التسلسلات المتكررة${\textstyle x_{k+1}:=f(x_{k})}$تُعرف هذه العمليات ، التي تُسمى تكرارات النقطة الثابتة ، بأنها تُعرّف أنظمة ديناميكية مستقلة ذات زمن منفصل، ولها تطبيقات عامة مهمة في الرياضيات من خلال العديد من نظريات النقطة الثابتة المتعلقة بسلوك تقاربها. عندما تكون الدالة f قابلة للتفاضل باستمرار ، وبمعرفة نقطة ثابتة p ،${\textstyle f(p)=p,}$بحيث${\textstyle |f'(p)|<1}$، النقطة الثابتة هي نقطة ثابتة جاذبة ، وسيتقارب التسلسل التكراري خطيًا على الأقل إلى p لأي قيمة ابتدائية${\displaystyle x_{0}}$قريب بما فيه الكفاية من p . إذا${\displaystyle |f'(p)|=0}$و${\textstyle |f''(p)|<1}$إذا كان ، فإن المتتالية المتكررة ستتقارب على الأقل بشكل تربيعي، وهكذا.${\displaystyle |f'(p)|>1}$، عندئذٍ تكون النقطة الثابتة نقطة ثابتة تنافرية ولا يمكن للمتتاليات أن تتقارب إلى p من جوارها المباشر ، على الرغم من أنها قد تقفز إلى p مباشرة من خارج جوارها المحلي.

تتمثل إحدى الطرق العملية لحساب رتبة التقارب لمتتالية مُولَّدة بواسطة تكرار النقطة الثابتة في حساب المتتالية التالية، التي تتقارب إلى الرتبة التالية:${\displaystyle q}$[ ^{8 ]​}$${\displaystyle q\approx {\frac {\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right|}{\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{k-2}}}\right|}}.}$$

للتقريب العددي لقيمة دقيقة من خلال طريقة عددية من الرتبة${\displaystyle q}$انظر. ^{[ 9 ]}

توجد طرق عديدة لتسريع تقارب متتالية معينة، أي لتحويل متتالية إلى متتالية أخرى تتقارب بسرعة أكبر إلى نفس النهاية. تُعرف هذه التقنيات عمومًا باسم طرق " تسريع المتسلسلة ". قد تُقلل هذه الطرق من التكاليف الحسابية لتقريب نهايات المتتاليات الأصلية. أحد الأمثلة على تسريع المتسلسلة عن طريق تحويل المتتالية هو عملية دلتا تربيع لأيتكن . لا تُحسّن هذه الطرق عمومًا، وطريقة أيتكن خصوصًا، رتبة التقارب عادةً، وبالتالي فهي مفيدة فقط إذا لم يكن التقارب في البداية أسرع من التقارب الخطي.${\displaystyle (x_{k})}$إذا تقاربت بشكل خطي، فإن طريقة أيتكن تحولها إلى متتالية${\displaystyle (a_{k})}$لا يزال هذا يتقارب خطيًا (باستثناء الحالات الخاصة المصممة بشكل مرضي)، ولكنه أسرع بمعنى أن${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }(a_{k}-L)/(x_{k}-L)=0}$من ناحية أخرى، إذا كان التقارب بالفعل من الرتبة ≥ ​​2، فلن تحقق طريقة أيتكن أي تحسن.

سلسلة من التقريبات المتقطعة${\displaystyle (y_{k})}$لبعض الدوال ذات المجال المستمر${\displaystyle S}$التي تتقارب نحو هذا الهدف، بالإضافة إلى تسلسل مطابق من معلمات مقياس التجزئة${\displaystyle (h_{k})}$يُقال إن القيم التي تتقارب إلى الصفر لها رتبة تقارب تقاربية.${\displaystyle q}$ومعدل التقارب التقاربي${\displaystyle \mu }$لو

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

بالنسبة لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle q}$وباستخدام${\displaystyle |x|}$لتمثيل مقياس مسافة مناسب على فضاء الحلول ، وغالبًا ما يكون إما المعيار المنتظم ، أو الفرق المطلق ، أو المسافة الإقليدية . قد تكون معلمات مقياس التجزئة عبارة عن تباعدات شبكة منتظمة في المكان أو الزمان، أو مقلوب عدد نقاط الشبكة في بُعد واحد، أو متوسط ​​أو أقصى مسافة بين النقاط في شبكة مضلعة ، أو تباعدات أحادية البعد لشبكة متفرقة غير منتظمة ، أو كمية مميزة من الطاقة أو الزخم في مجموعة أساس ميكانيكية كمومية .

عندما يتم توليد جميع عمليات التقطيع باستخدام طريقة مشتركة واحدة، فمن الشائع مناقشة معدل التقارب ورتبة التقارب للطريقة نفسها بدلاً من أي متواليات منفصلة محددة من الحلول المقطعة. في هذه الحالات، يتم النظر في حل مقطع مجرد واحد.${\displaystyle y_{h}}$تم إنشاؤه باستخدام الطريقة ذات معامل المقياس${\displaystyle h}$وعندها يُقال إن الطريقة لها رتبة تقارب تقاربية.${\displaystyle q}$ومعدل التقارب التقاربي${\displaystyle \mu }$لو

$${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left|y_{h}-S\right|}{h^{q}}}=\mu ,}$$

مرة أخرى لبعض الثوابت الموجبة${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle q}$ومقياس مناسب${\displaystyle |x|.}$وهذا يعني أن خطأ التقطيع يتناسب تقاربياً مع معامل مقياس التقطيع.${\displaystyle q}$القوة، أو${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=O(h^{q})}$باستخدام ترميز Big O التقاربي . وبشكل أدق، فإن هذا يعني أن خطأ الرتبة الرئيسية هو${\displaystyle \mu h^{q},}$والتي يمكن التعبير عنها باستخدام تدوين σ الصغير التقاربي كما يلي${\textstyle \left|y_{h}-S\right|=\mu h^{q}+o(h^{q}).}$

في بعض الحالات، قد يكون لتعدد معدلات ورتب التقارب لنفس الطريقة، ولكن مع اختيارات مختلفة لمعامل المقياس، أهمية بالغة، كما هو الحال في طرق الفروق المحدودة القائمة على شبكات متعددة الأبعاد حيث تختلف المسافات بين الشبكات باختلاف الأبعاد، أو في طرق العناصر المحدودة القائمة على شبكات مضلعة حيث قد يؤدي اختيار متوسط ​​المسافة بين نقاط الشبكة أو أقصى مسافة بينها كمعاملات مقياس إلى اختلاف رتب التقارب. في بعض السياقات التقنية المتخصصة، تتميز معدلات ورتب التقارب التقاربية لطرق التقطيع بعدة معاملات مقياس في آن واحد، حيث قد تؤثر قيمة كل معامل مقياس على معدل ورتبة التقارب التقاربية للطريقة بالنسبة لمعاملات المقياس الأخرى.

لنفترض المعادلة التفاضلية العادية

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\kappa y}$

مع الشرط الابتدائي${\displaystyle y(0)=y_{0}}$يمكننا تقريب حل هذه المعادلة أحادية البعد باستخدام متتالية${\displaystyle (y_{n})}$تطبيق طريقة أويلر الأمامية للتجزئة العددية باستخدام أي تباعد منتظم للشبكة${\displaystyle h}$ونقاط الشبكة المفهرسة بواسطة${\displaystyle n}$على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=-\kappa y_{n},}$

وهذا يعني التكرار الخطي من الدرجة الأولى بمعاملات ثابتة

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}(1-h\kappa ).}$

منح${\displaystyle y(0)=y_{0}}$، والمتتالية التي تحقق هذا التكرار هي المتتالية الهندسية

$${\displaystyle y_{n}=y_{0}(1-h\kappa )^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+....\right).}$$

الحل التحليلي الدقيق للمعادلة التفاضلية هو${\displaystyle y=f(x)=y_{0}\exp(-\kappa x)}$، بما يتوافق مع متسلسلة تايلور التالية في${\displaystyle nh\kappa }$: $${\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+...\right).}$$

وبالتالي فإن خطأ التقريب المتقطع عند كل نقطة منفصلة هو

$${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\frac {nh^{2}\kappa ^{2}}{2}}+\ldots }$$

لأي شيء محدد${\displaystyle x=p}$، بالنظر إلى سلسلة من تقريبات أويلر الأمامية${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$، كل منها يستخدم تباعدات الشبكة${\displaystyle h_{k}}$ذلك الانقسام${\displaystyle p}$لهذا السبب.${\displaystyle n_{p,k}=p/h_{k}}$، لدى المرء

$${\displaystyle \lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k}(p)-f(p)|}{h_{k}}}=\lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k,n_{p,k}}-f(h_{k}n_{p,k})|}{h_{k}}}={\frac {h_{k}n_{p,k}\kappa ^{2}}{2}}={\frac {p\kappa ^{2}}{2}}}$$

لأي سلسلة من الشبكات ذات مسافات شبكية أصغر تدريجياً${\displaystyle h_{k}}$. هكذا${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$يتقارب إلى${\displaystyle f(x)}$نقطة بنقطة مع رتبة تقارب${\displaystyle q=1}$وثابت الخطأ التقاربي${\displaystyle p\kappa ^{2}/2}$عند كل نقطة${\displaystyle p>0.}$وبالمثل، يتقارب المتتالية بشكل منتظم بنفس الرتبة وبنفس المعدل${\displaystyle L\kappa ^{2}/2}$على أي فترة محدودة من${\displaystyle p\leq L}$لكنها لا تتقارب بشكل منتظم على المجموعة غير المحدودة لجميع القيم الحقيقية الموجبة،${\displaystyle [0,\infty ).}$

في التحليل التقاربي بشكل عام، متتالية واحدة${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$التي تتقارب إلى حد معين${\displaystyle L}$يقال إنها تتقارب تقاربًا مقاربًا إلى${\displaystyle L}$بترتيب تقارب أسرع من تسلسل آخر${\displaystyle (b_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$ذلك يتقارب إلى${\displaystyle L}$في فضاء متري مشترك مع مقياس المسافة${\displaystyle |\cdot |,}$مثل الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة ذات مقاييس الفرق المطلق العادية ، إذا

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=0,}$$

ويُقال إن الاثنين يتقاربان تقاربًا مقاربًا إلى${\displaystyle L}$بنفس رتبة التقارب إذا

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=\mu }$$

لبعض الثوابت الموجبة المحدودة${\displaystyle \mu ,}$ويُقال إن الاثنين يتقاربان تقاربًا مقاربًا إلى${\displaystyle L}$بنفس معدل وترتيب التقارب إذا

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|a_{k}-L\right|}{|b_{k}-L|}}=1.}$$

تُعدّ هذه التعريفات المقارنة لمعدل ورتبة التقارب التقاربي أساسية في التحليل التقاربي . ^{[ 10 ] [ 11 ]} يوجد تعبيران مرتبطان بالتعريفين الأولين في تدوين التقارب التقاربي O : الأول هو أن${\displaystyle a_{k}-L=o(b_{k}-L)}$في تدوين صغير ^{[ 12 ]} والثاني هو أن${\displaystyle a_{k}-L=\Theta (b_{k}-L)}$في تدوين كنوت. ^{[ 13 ]} يُطلق على الثالث أيضًا اسم التكافؤ التقاربي، معبرًا عنه${\displaystyle a_{k}-L\sim b_{k}-L.}$^{[ 14 ] [ 15 ]}

لأي متتابعتين هندسيتين${\displaystyle (ar^{k})_{k\in \mathbb {N} }}$و${\displaystyle (bs^{k})_{k\in \mathbb {N} },}$إذا كانت النهاية المشتركة تساوي صفرًا، فإن المتتاليتين متكافئتان تقاربيًا إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle r=s.}$يتقاربان بنفس الرتبة إذا وفقط إذا${\displaystyle r=s.}$${\displaystyle (ar^{k})}$يتقارب بترتيب أسرع من${\displaystyle (bs^{k})}$إذا وفقط إذا${\displaystyle r<s.}$إن تقارب أي متسلسلة هندسية إلى نهايتها له حدود خطأ تساوي متتابعة هندسية، لذا تسري علاقات مماثلة بين المتسلسلات الهندسية أيضًا. أي متتالية مكافئة تقاربيًا لمتتالية هندسية متقاربة يمكن القول إنها "تتقارب هندسيًا" أو "تتقارب أُسّيًا" بالنسبة للفرق المطلق عن نهايتها، أو يمكن القول إنها "تتقارب خطيًا" بالنسبة للوغاريتم الفرق المطلق، مثل "عدد المنازل العشرية للدقة". وهذا الأخير هو المعيار في التحليل العددي.

لأي سلسلتين من العناصر تتناسبان عكسياً مع قوة معينة${\displaystyle k,}$${\displaystyle (ak^{-n})_{k\in \mathbb {N} }}$و${\displaystyle (bk^{-m})_{k\in \mathbb {N} },}$إذا كانت النهاية المشتركة تساوي صفرًا، فإن المتتاليتين متكافئتان تقاربيًا إذا وفقط إذا كان كلاهما${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle n=m.}$يتقاربان بنفس الرتبة إذا وفقط إذا${\displaystyle n=m.}$${\displaystyle (ak^{-n})}$يتقارب بترتيب أسرع من${\displaystyle (bk^{-m})}$إذا وفقط إذا${\displaystyle n>m.}$

لأي تسلسل${\displaystyle (a_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$مع حد يساوي صفرًا، يمكن مقارنة تقاربها بتقارب المتتالية المزاحة${\displaystyle (a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$إعادة تحجيم التسلسل المُزاح بمقدار ثابت${\displaystyle \mu ,}$${\displaystyle (\mu a_{k-1})_{k\in \mathbb {N} },}$ومقياس${\displaystyle q}$- قوى التسلسل المُزاح،${\displaystyle (\mu a_{k-1}^{q})_{k\in \mathbb {N} }.}$تُشكّل هذه المقارنات أساس تصنيفات التقارب Q للطرق العددية التكرارية كما هو موضح أعلاه: عندما يكون تسلسل أخطاء التكرار من طريقة عددية${\displaystyle (|x_{k}-L|)_{k\in \mathbb {N} }}$يكافئ تقاربياً سلسلة أخطاء التكرار بعد إزاحتها ورفعها إلى الأس وإعادة قياسها${\displaystyle (\mu |x_{k-1}-L|^{q})_{k\in \mathbb {N} },}$يقال إنها تتقارب مع النظام${\displaystyle q}$وقيم${\displaystyle \mu .}$