تحويل التسلسل

في الرياضيات ، يُعرَّف تحويل المتتابعات بأنه مؤثر يُطبَّق على فضاء مُعطى من المتتابعات ( فضاء المتتابعات ). تشمل تحويلات المتتابعات التحويلات الخطية ، مثل الالتفاف المتقطع مع متتابعة أخرى وإعادة تجميع متتابعة، بالإضافة إلى التحويلات غير الخطية بشكل عام. تُستخدم هذه التحويلات عادةً لتسريع تقارب المتسلسلات ، أي لتحسين معدل تقارب المتتابعات أو المتسلسلات بطيئة التقارب . كما تُستخدم تحويلات المتتابعات بشكل شائع لحساب النهاية العكسية للمتسلسلات المتباعدة عدديًا، وتُستخدم بالتزامن مع طرق الاستقراء .

تشمل الأمثلة الكلاسيكية لتحويلات المتتاليات التحويل الثنائي ، وتحويل موبيوس ، وتحويل ستيرلينغ .

بالنسبة لتسلسل معين

${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,}$

وتحويل التسلسل${\displaystyle \mathbf {T} ,}$التسلسل الناتج عن التحويل بواسطة${\displaystyle \mathbf {T} }$يكون

${\displaystyle \mathbf {T} ((s_{n}))=(s'_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$

حيث يتم عادةً حساب عناصر المتتالية المحولة من عدد محدود من عناصر المتتالية الأصلية، على سبيل المثال

${\displaystyle s_{n}'=T_{n}(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k_{n}})}$

لبعض الأعداد الطبيعية${\displaystyle k_{n}}$لكل${\displaystyle n}$ودالة متعددة المتغيرات${\displaystyle T_{n}}$ل${\displaystyle k_{n}+1}$متغيرات لكل${\displaystyle n.}$انظر على سبيل المثال إلى تحويل ذي الحدين وعملية دلتا تربيع لأيتكن . في أبسط الحالات، عناصر المتتاليات،${\displaystyle s_{n}}$و${\displaystyle s'_{n}}$، هي أعداد حقيقية أو مركبة . وبشكل أعم، قد تكون عناصر من فضاء متجهي أو جبر .

إذا كانت الدوال متعددة المتغيرات${\displaystyle T_{n}}$تكون خطية في كل وسيط من وسائطها لكل قيمة من قيم${\displaystyle n,}$على سبيل المثال إذا

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{n,m}s_{n+m}}$

بالنسبة لبعض الثوابت${\displaystyle k_{n}}$و${\displaystyle c_{n,0},\dots ,c_{n,k_{n}}}$لكل${\displaystyle n,}$ثم تحويل التسلسل${\displaystyle \mathbf {T} }$يُطلق على هذا اسم تحويل المتسلسلة الخطي . أما تحويلات المتسلسلة غير الخطية فتُسمى تحويلات المتسلسلة غير الخطية.

في سياق تسريع المتسلسلة ، عندما تكون المتسلسلة الأصلية${\displaystyle (s_{n})}$والتسلسل المحوّل${\displaystyle (s'_{n})}$يتشاركون نفس الحد${\displaystyle \ell }$مثل${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$يقال إن المتتالية المحولة تتمتع بمعدل تقارب أسرع من المتتالية الأصلية إذا

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

إذا كان التسلسل الأصلي متباعدًا ، فقد يعمل تحويل التسلسل كطريقة استقراء إلى حد مضاد${\displaystyle \ell }$.

تتضمن أبسط الأمثلة على تحويلات المتتاليات إزاحة جميع العناصر بمقدار عدد صحيح${\displaystyle k}$هذا لا يعتمد على${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$لو${\displaystyle n+k\geq 0}$وصفر فيما عدا ذلك، والضرب القياسي للمتتالية بثابت ما${\displaystyle c}$هذا لا يعتمد على${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=cs_{n}.}$هذان مثالان على تحويلات المتتابعات الخطية.

تتضمن الأمثلة الأقل وضوحًا عملية الالتفاف المنفصلة للمتتاليات مع متتالية مرجعية أخرى. ومن الأمثلة الأساسية على ذلك عامل الفرق ، وهو عبارة عن التفاف مع المتتالية${\displaystyle (-1,1,0,\ldots )}$وهي نظير منفصل للمشتقة ؛ من الناحية الفنية، يمكن كتابة عامل الإزاحة والضرب القياسي على شكل التفافات منفصلة بسيطة. يُعدّ كل من تحويل ذي الحدين وتحويل ستيرلينغ تحويلين خطيين من نوع أكثر عمومية.

من أمثلة تحويلات المتتابعات غير الخطية عملية دلتا تربيع لأيتكن ، والتي تُستخدم لتحسين معدل تقارب المتتابعات بطيئة التقارب. ويُعدّ تحويل شانكس شكلاً موسعاً لهذه العملية . كما يُعدّ تحويل موبيوس تحويلاً غير خطي، ولكنه لا يُمكن تطبيقه إلا على المتتابعات الصحيحة .

• عملية دلتا تربيع لأيتكن
• تسارع أندرسون
• استقراء متعدد الحدود الأدنى
• استقراء ريتشاردسون
• تسارع السلسلة
• طريقة ستيفنسن

• هيو ج. هاميلتون، " نظرية ميرتنز وتحويلات المتتاليات "، الجمعية الأمريكية للرياضيات (1947)

• تحويلات متواليات الأعداد الصحيحة ، صفحة فرعية من الموسوعة الإلكترونية لمتواليات الأعداد الصحيحة