شبكة متفرقة

الشبكات المتفرقة هي تقنيات عددية لتمثيل الدوال عالية الأبعاد أو تكاملها أو استكمالها . وقد طوّرها في الأصل عالم الرياضيات الروسي سيرجي أ. سمولياك ، تلميذ لازار ليوستيرنيك ، وهي تعتمد على بناء جداء الموترات المتفرقة. وفي وقت لاحق، طوّر كلٌّ من مايكل غريبل وكريستوف زينغر وديرك بفلوغر خوارزميات حاسوبية لتنفيذ هذه الشبكات بكفاءة .

الطريقة القياسية لتمثيل الدوال متعددة الأبعاد هي الموتر أو الشبكات الكاملة. يعتمد عدد الدوال الأساسية أو العقد (نقاط الشبكة) التي يجب تخزينها ومعالجتها بشكل أُسّي على عدد الأبعاد.

تُعبّر لعنة الأبعاد عن رتبة خطأ التكامل الذي ينتج عن تربيع المستوى${\displaystyle l}$، مع${\displaystyle N_{l}}$النقاط. تتميز الدالة بالانتظام${\displaystyle r}$، أي${\displaystyle r}$قابلة للتفاضل مرات. عدد الأبعاد هو${\displaystyle d}$.

${\displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})}$

توصل سمولياك إلى طريقة أكثر كفاءة حسابية لتكامل الدوال متعددة الأبعاد تعتمد على قاعدة تربيع أحادية المتغير${\displaystyle Q^{(1)}}$. ال${\displaystyle d}$تكامل سمولياك ذو الأبعاد${\displaystyle Q^{(d)}}$دالة${\displaystyle f}$يمكن كتابتها كصيغة تكرارية مع حاصل الضرب الموتري .

${\displaystyle Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$

فهرس إلى${\displaystyle Q}$يمثل مستوى التجزئة . إذا كان التكامل أحادي البعد على المستوى${\displaystyle i}$يتم حسابها من خلال تقييم${\displaystyle O(2^{i})}$النقاط، تقدير الخطأ لدالة الانتظام${\displaystyle r}$سيكون ${\displaystyle |E_{l}|=O\left(N_{l}^{-r}\left(\log N_{l}\right)^{(d-1)(r+1)}\right)}$

• بفلوغر، د.؛ بيرستورفر، ب.؛ بونغارتز، هـ. (2010). "شبكات متفرقة متكيفة مكانيًا لمشاكل البيانات عالية الأبعاد". مجلة التعقيد . 26 (5): 508-522 . doi : 10.1016/j.jco.2010.04.001 .
• بروم، ج.؛ شيدجر، س. (2017). "استخدام الشبكات المتفرقة التكيفية لحل النماذج الديناميكية عالية الأبعاد" (ملف PDF) . مجلة Econometrica . 85 (5): 1575-1612 . doi : 10.3982/ECTA12216 .
• جاركي، يوخن (2012). “شبكات متفرقة باختصار” (PDF) . في جاركي، يوخن؛ جريبل ، مايكل (محرران). شبكات وتطبيقات متفرقة . سبرينغر. ص 57 – 80. ISBN  978-3-642-31702-6.
• زنجر، كريستوف (1991). “شبكات متفرقة” (PDF) . في هاكبوش، وولفغانغ (محرر). الخوارزميات الموازية للمعادلات التفاضلية الجزئية . عرضeg. ص 241 – 251. ISBN  3-528-07631-3.

• بنية بيانات فعالة من حيث الذاكرة للشبكات المتفرقة المنتظمة
• مخطط الفروق المحدودة على الشبكات المتفرقة
• التصور على الشبكات المتفرقة
• التنقيب عن البيانات على الشبكات المتفرقة، J.Garcke، M.Griebel (pdf)