التقارب النقطي

في الرياضيات ، يُعدّ التقارب النقطي أحد المعاني المتعددة التي يمكن من خلالها أن تتقارب متتالية من الدوال إلى دالة معينة. وهو أضعف من التقارب المنتظم ، الذي يُقارن به غالبًا. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

لنفترض أن${\displaystyle X}$هي مجموعة و${\displaystyle Y}$هو فضاء طوبولوجي ، مثل فضاء الأعداد الحقيقية أو المركبة أو الفضاء المتري ، على سبيل المثال. سلسلة من الدوال${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$جميعها لها نفس النطاق${\displaystyle X}$والمجال المشترك${\displaystyle Y}$يقال إنها تتقارب نقطيًا إلى دالة معينة${\displaystyle f:X\to Y}$غالباً ما تُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$ إذا (وفقط إذا) كانت نهاية المتتالية${\displaystyle f_{n}(x)}$يتم التقييم في كل نقطة${\displaystyle x}$في مجال${\displaystyle f}$يساوي${\displaystyle f(x)}$، مكتوبة على النحو التالي $${\displaystyle \forall x\in X,\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$ الوظيفة${\displaystyle f}$يقال إنها دالة النهاية النقطية لـ${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

يمكن تعميم التعريف بسهولة من المتتاليات إلى الشبكات.${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$نقول${\displaystyle f_{\bullet }}$يتقارب نقطيًا إلى${\displaystyle f}$، مكتوبة على النحو التالي $${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$ إذا (وفقط إذا)${\displaystyle f(x)}$هي نقطة التراكم الفريدة للشبكة${\displaystyle f_{\bullet }(x)}$يتم التقييم في كل نقطة${\displaystyle x}$في مجال${\displaystyle f}$، مكتوبة على النحو التالي $${\displaystyle \forall x\in X,\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).}$$

في بعض الأحيان، يستخدم المؤلفون مصطلح التقارب النقطي المحدود عندما يكون هناك ثابت ${\displaystyle C}$بحيث ${\displaystyle \forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$ [ ^{3 ]​}

كثيراً ما يُقارن هذا المفهوم بالتقارب المنتظم . بمعنى آخر، $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}}$$ هذا يعني أن $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$ أين${\displaystyle A}$هو المجال المشترك لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle f_{n}}$، و${\displaystyle \sup }$يرمز إلى القيمة العليا . ^{[ 1 ] : ص 147-148.} هذا بيان أقوى من تأكيد التقارب النقطي: كل متتالية متقاربة بانتظام هي متقاربة نقطيًا، إلى نفس الدالة النهائية، ولكن بعض المتتاليات المتقاربة نقطيًا ليست متقاربة بانتظام. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$هي سلسلة من الدوال المعرفة بواسطة${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$ثم${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$نقطة بنقطة على الفترة${\displaystyle [0,1),}$لكن ليس بشكل موحد.

قد تكون النهاية النقطية لمتتالية من الدوال المتصلة دالة غير متصلة، ولكن فقط إذا لم يكن التقارب منتظمًا. على سبيل المثال، $${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$ يأخذ القيمة${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle x}$هو عدد صحيح و${\displaystyle 0}$متى${\displaystyle x}$ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي فهو غير متصل عند كل عدد صحيح.

قيم الدوال${\displaystyle f_{n}}$لا يشترط أن تكون أعدادًا حقيقية، بل يمكن أن تكون في أي فضاء طوبولوجي ، حتى يكون مفهوم التقارب النقطي منطقيًا. أما التقارب المنتظم، من ناحية أخرى، فلا معنى له بالنسبة للدوال التي تأخذ قيمًا في الفضاءات الطوبولوجية عمومًا، ولكنه منطقي بالنسبة للدوال التي تأخذ قيمًا في الفضاءات المترية ، وبشكل أعم، في الفضاءات المنتظمة .

يترك${\displaystyle Y^{X}}$يرمز إلى مجموعة جميع الدوال من مجموعة معينة${\displaystyle X}$إلى فضاء طوبولوجي ما${\displaystyle Y.}$ كما هو موضح في مقال توصيفات فئة الفضاءات الطوبولوجية ، إذا تحققت شروط معينة، فمن الممكن تعريف طوبولوجيا فريدة على مجموعة ما، تُحدد من خلالها الشبكات التي تتقارب وتلك التي لا تتقارب . ويلبي تعريف التقارب النقطي هذه الشروط، وبالتالي يُنتج طوبولوجيا تُسمىطوبولوجيا التقارب النقطي ، على المجموعة${\displaystyle Y^{X}}$من جميع الدوال من الشكل${\displaystyle X\to Y.}$ شبكة في${\displaystyle Y^{X}}$يتقارب في هذه الطوبولوجيا إذا وفقط إذا كان يتقارب نقطيًا.

تتشابه طوبولوجيا التقارب النقطي مع طوبولوجيا الضرب على الفضاء.${\displaystyle Y^{X},}$أين${\displaystyle X}$هو المجال و${\displaystyle Y}$المجال المقابل. تحديدًا، إذا${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$هي مجموعة من الدوال من مجموعة ما${\displaystyle X}$إلى فضاء طوبولوجي ما${\displaystyle Y}$ثم طوبولوجيا التقارب النقطي على${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يساوي طوبولوجيا الفضاء الجزئي التي يرثها من فضاء الضرب${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$متى${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يتم تحديدها كمجموعة فرعية من هذا المنتج الديكارتي عبر خريطة التضمين المتعارف عليها ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$محدد بواسطة${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

إذا كان المجال المشترك${\displaystyle Y}$إذا كانت متراصة ، فبحسب نظرية تيكونوف ، فإن الفضاء${\displaystyle Y^{X}}$كما أنها صغيرة الحجم.

في نظرية القياس ، يُشار إلى التقارب شبه التام في كل مكان لمتتالية من الدوال القابلة للقياس المعرفة على فضاء قابل للقياس . وهذا يعني التقارب النقطي شبه التام في كل مكان ، أي على مجموعة جزئية من المجال يكون قياس مكملها صفرًا. تنص نظرية إيغوروف على أن التقارب النقطي شبه التام في كل مكان على مجموعة ذات قياس محدود يستلزم التقارب المنتظم على مجموعة أصغر قليلًا.

في معظم الحالات، لا يُحدد التقارب النقطي على فضاء الدوال في فضاء القياس بنيةَ طوبولوجيا على فضاء الدوال القابلة للقياس في فضاء القياس (مع أنه بنية تقارب ). ففي الفضاء الطوبولوجي، عندما يكون لكل متتالية جزئية من متتالية ما متتالية جزئية أخرى لها نفس النهاية اللاحقة ، فإن المتتالية نفسها يجب أن تتقارب إلى تلك النهاية.

لكن لننظر إلى سلسلة ما يسمى بـ "دوال المستطيلات المتسارعة" (المعروفة أيضًا باسم سلسلة الآلة الكاتبة)، والتي تُعرَّف باستخدام دالة الجزء الصحيح : ليكن${\displaystyle N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)}$و${\displaystyle k=n}$تعديل${\displaystyle 2^{N},}$ودع $${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

ثم أي تسلسل فرعي من التسلسل${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$تحتوي على متتالية فرعية تتقارب بدورها تقريبًا إلى الصفر في كل مكان، على سبيل المثال، المتتالية الفرعية من الدوال التي لا تتلاشى عند${\displaystyle x=0.}$لكن المتتالية الأصلية لا تتقارب نقطيًا إلى الصفر عند أي نقطة. وبالتالي، على عكس التقارب في القياس و${\displaystyle L^{p}}$التقارب ، التقارب النقطي في كل مكان تقريبًا ليس تقاربًا لأي طوبولوجيا على فضاء الدوال.

• مفهوم الطوبولوجيا الصندوقية – مفهوم في الطوبولوجيا العامة 
• فضاء التقارب – تعميم لمفهوم التقارب الموجود في الطوبولوجيا العامة 
• مجموعة أسطوانية – مجموعة أساسية طبيعية في مساحات المنتجات 
• قائمة الطوبولوجيات – قائمة الطوبولوجيات الملموسة والفضاءات الطوبولوجية 
• أنماط التقارب (فهرس مشروح) - خاصية من خصائص التسلسل أو السلسلة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• طوبولوجيا المؤثرات القوية – الطوبولوجيا المحدبة محليًا على فضاءات الدوال 
• الطوبولوجيا على فضاءات الخرائط الخطية
• الطوبولوجيا الضعيفة – مفهوم رياضي 
• طوبولوجيا ضعيفة* – مفهوم رياضي. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه.