مشغل فردي تمامًا

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، فإن المؤثر المنفرد تمامًا هو مؤثر خطي محدود بين الفضاءات المعيارية غير محدود من الأسفل على أي فضاء فرعي لا نهائي الأبعاد.

التعريفات.

ليكن X و Y فضاءين خطيين معياريين ، ولنرمز بـ B(X,Y) إلى فضاء المؤثرات المحدودة من الشكلتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}. يتركأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}ليكن T أي مجموعة جزئية. نقول إن T محدودة من الأسفل علىأ{\displaystyle A}كلما كان هناك ثابتج∈(0،∞){\displaystyle c\in (0,\infty )}بحيث يكون ذلك لجميعx∈أ{\displaystyle x\in A}عدم المساواة‖تيx‖≥ج‖x‖{\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}إذا كانت A=X ، نقول ببساطة أن T محدودة من الأسفل .

لنفترض الآن أن X و Y فضاءات باناخ، وبطاقة تعريفX∈ب(X){\displaystyle \operatorname {Id} _{X}\in B(X)}وبطاقة تعريفY∈ب(Y){\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}\in B(Y)}تشير إلى عوامل الهوية المعنية. عاملتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}يُطلق عليه اسم غير ضروري كلمابطاقة تعريفX-Sتي{\displaystyle \operatorname {Id} _{X}-ST}يوجد مشغل فريدهولم لكلS∈ب(Y،X){\displaystyle S\in B(Y,X)}بصورة مكافئة، يكون T غير أساسي إذا وفقط إذابطاقة تعريفY-تيS{\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}-TS}فريدهولم للجميعS∈ب(Y،X){\displaystyle S\in B(Y,X)}. يُرمز إليه بـهـ(X،Y){\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}مجموعة جميع العوامل غير الأساسية فيب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}.

مشغلتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}يُطلق عليها اسم "منفردة تمامًا" عندما لا تكون محدودة من الأسفل على أي فضاء جزئي لا نهائي الأبعاد من X. نرمز لها بـSS(X،Y){\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}مجموعة جميع المؤثرات المنفردة تمامًا فيب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}نقول ذلكتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}تكون مفردة تمامًا عندما يكون لكلϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}يوجدن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }بحيث يكون لكل فضاء جزئي E من X يحققخافت(هـ)≥ن{\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}، هنالكx∈هـ{\displaystyle x\in E}بحيث‖تيx‖<ϵ‖x‖{\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}. يُرمز إليه بـFSS(X،Y){\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}مجموعة جميع المؤثرات المنفردة تمامًا والمحدودة فيب(X،Y){\displaystyle B(X,Y)}.

يتركبX={x∈X:‖x‖≤1}{\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}يرمز إلى الكرة المغلقة ذات الوحدة في X. مؤثرتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}يكون صغير الحجم كلماتيبX={تيx:x∈بX}{\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}هي مجموعة فرعية متراصة نسبياً من Y ، ونرمز لها بـك(X،Y){\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}مجموعة جميع هذه العوامل المدمجة.

ملكيات.

يمكن اعتبار المؤثرات المنفردة تمامًا تعميمًا للمؤثرات المدمجة ، حيث أن كل مؤثر مدمج هو مؤثر منفرد تمامًا. تشترك هاتان الفئتان في بعض الخصائص المهمة. على سبيل المثال، إذا كان X فضاء باناخ وكان T مؤثرًا منفردًا تمامًا في B(X)، فإن طيفهσ(تي){\displaystyle \sigma (T)}يستوفي الخصائص التالية: (1) عدد عناصرσ(تي){\displaystyle \sigma (T)}(ii) يكون قابلاً للعد على الأكثر؛0∈σ(تي){\displaystyle 0\in \sigma (T)}(باستثناء الحالة البسيطة حيث يكون X محدود الأبعاد)؛ (ثالثًا) الصفر هو نقطة النهاية الوحيدة الممكنة لـσ(تي){\displaystyle \sigma (T)}و (رابعاً) كل قيمة غير صفريةλ∈σ(تي){\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}هي قيمة ذاتية. يتم تحقيق نفس "النظرية الطيفية" التي تتكون من (i)-(iv) للمؤثرات غير الأساسية في B(X) .

الصفوف الدراسيةك{\displaystyle {\mathcal {K}}}،FSS{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}،SS{\displaystyle {\mathcal {SS}}}، وهـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}تشكل جميعها مثاليات مؤثرات مغلقة معيارياً . هذا يعني أنه كلما كان X و Y فضاءات باناخ، فإن الفضاءات المكونةك(X،Y){\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}،FSS(X،Y){\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}،SS(X،Y){\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}، وهـ(X،Y){\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}كل منها فضاءات فرعية مغلقة (في معيار المؤثر) من B(X,Y) ، بحيث تكون الفئات ثابتة تحت التركيب مع المؤثرات الخطية المحدودة التعسفية.

بشكل عام، لديناك(X،Y)⊂FSS(X،Y)⊂SS(X،Y)⊂هـ(X،Y){\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}وقد يكون كل من هذه العناصر صارمًا أو غير صارم ، اعتمادًا على اختيارات X و Y.

أمثلة.

كل خريطة خطية محدودةتي:ℓص→ℓq{\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}، ل1≤q،ص<∞{\displaystyle 1\leq q,p<\infty }،ص≠q{\displaystyle p\neq q}، مفرد تمامًا. هنا،ℓص{\displaystyle \ell _{p}}وℓq{\displaystyle \ell _{q}}هي فضاءات متتابعة . وبالمثل، كل تطبيق خطي محدودتي:ج0→ℓص{\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}وتي:ℓص→ج0{\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}، ل1≤ص<∞{\displaystyle 1\leq p<\infty }، مفرد تمامًا. هناج0{\displaystyle c_{0}}هي فضاء باناخ للمتتاليات المتقاربة إلى الصفر. هذه نتيجة لنظرية بيت، التي تنص على أن هذه T ، من أجل q  < p ، تكون متراصة. 

لو1≤ص<q<∞{\displaystyle 1\leq p<q<\infty }ثم عامل الهوية الرسميأناص،q∈ب(ℓص،ℓq){\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}هي مجموعة منتهية ومفردة تمامًا ولكنها ليست متراصة. إذا1<ص<q<∞{\displaystyle 1<p<q<\infty }ثم توجد "مؤثرات بيلتشينسكي" فيب(ℓص،ℓq){\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}والتي تكون محدودة بشكل موحد من الأسفل على نسخ منℓ2ن{\displaystyle \ell _{2}^{n}}،ن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }وبالتالي فهي مفردة تمامًا ولكنها ليست مفردة تمامًا بشكل نهائي. في هذه الحالة لديناك(ℓص،ℓq)⊊FSS(ℓص،ℓq)⊊SS(ℓص،ℓq){\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}ومع ذلك، فإن كل عامل غير أساسي ذو مجال مكملℓq{\displaystyle \ell _{q}}مفرد تمامًا، بحيثSS(ℓص،ℓq)=هـ(ℓص،ℓq){\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}من جهة أخرى، إذا كان X أي فضاء باناخ قابل للفصل، فإنه يوجد مؤثر محدود من الأسفلتي∈ب(X،ℓ∞){\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}أي منها غير أساسي ولكنه ليس مفرداً تماماً. وبالتالي، على وجه الخصوص،ك(ℓص،ℓ∞)⊊FSS(ℓص،ℓ∞)⊊SS(ℓص،ℓ∞)⊊هـ(ℓص،ℓ∞){\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}للجميع1<ص<∞{\displaystyle 1<p<\infty }.

الازدواجية.

تشكل المؤثرات المدمجة مثاليًا متناظرًا ، مما يعنيتي∈ك(X،Y){\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}إذا وفقط إذاتي*∈ك(Y*،X*){\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}لكن هذا لا ينطبق على الفصول الدراسية.FSS{\displaystyle {\mathcal {FSS}}}،SS{\displaystyle {\mathcal {SS}}}، أوهـ{\displaystyle {\mathcal {E}}}ولإقامة علاقات الازدواجية، سنقوم بإدخال فئات إضافية.

إذا كان Z فضاءً جزئياً مغلقاً من فضاء باناخ Y، فإنه يوجد تطبيق شامل "قانوني".سؤالZ:Y→Y/Z{\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}تم تحديدها من خلال التعيين الطبيعيy↦y+Z{\displaystyle y\mapsto y+Z}. مشغلتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}يُطلق عليها اسم دالة متفردة تمامًا عندما تُعطى فضاءً فرعيًا مغلقًا لانهائي الأبعاد Z من Y ، فإن الخريطةسؤالZتي{\displaystyle Q_{Z}T}لا يكون شاملاً. يُرمز إليه بـSجS(X،Y){\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}الفضاء الجزئي للمؤثرات المتفردة تمامًا في B(X,Y) .

النظرية 1. ليكن X و Y فضاءين من فضاءات باناخ، وليكنتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}إذا كانت T* مفردة تمامًا (أو مفردة تمامًا) فإن T تكون مفردة تمامًا (أو مفردة تمامًا).

تجدر الإشارة إلى وجود أمثلة على مؤثرات شاذة تمامًا، لا تكون مرافقاتها شاذة تمامًا ولا شاذة تمامًا (انظر بليتشكو، 2004). وبالمثل، توجد مؤثرات شاذة تمامًا، لا تكون مرافقاتها شاذة تمامًا، مثل خريطة التضمين.أنا:ج0→ℓ∞{\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}. لذاSS{\displaystyle {\mathcal {SS}}}لا يوجد ازدواجية كاملة معSجS{\displaystyle {\mathcal {SCS}}}.

النظرية 2. ليكن X و Y فضاءين من فضاءات باناخ، وليكنتي∈ب(X،Y){\displaystyle T\in B(X,Y)}إذا كانت T* غير أساسية، فإن T كذلك .

مراجع

أيينا، بيترو، فريدهولم ونظرية الطيف المحلي، مع تطبيقات على المضاعفات (2004)، ISBN 1-4020-1830-4.

بليتشكو، أناتولي، "المؤثرات المنفردة للغاية والمتفردة للغاية"، دراسات الرياضيات في شمال هولندا 197 (2004)، ص 239-255.