الدالة الذاتية

تُعدّ المؤثرات التفاضلية على الفضاء C∞ للدوال الحقيقية أو المركبة القابلة للتفاضل بلا حدود، والتي لها وسيط حقيقي أو مركب t ، فئة شائعة الاستخدام من المؤثرات الخطية التي تعمل على فضاءات لا نهائية الأبعاد . على سبيل المثال، لنأخذ مؤثر المشتقة ^.${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$معادلة القيم الذاتية

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب طرفيها في${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$والتكامل. حلها هو الدالة الأسية

$${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

هي الدالة الذاتية لمؤثر الاشتقاق، حيث f₀ وسيط يعتمد على الشروط الحدية. لاحظ أنه في هذه الحالة، تكون الدالة الذاتية نفسها دالة لقيمتها الذاتية المرتبطة بها λ، والتي يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية أو مركبة. على وجه الخصوص، لاحظ أنه عندما λ = 0، تكون الدالة الذاتية _f ( t ) ثابتة.

لنفترض في المثال أن f ( t ) تخضع للشروط الحدية f (0) = 1 و${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ثم نجد أن

$${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

حيث λ = 2 هي القيمة الذاتية الوحيدة للمعادلة التفاضلية التي تحقق أيضًا شرط الحدود.

يمكن التعبير عن الدوال الذاتية كمتجهات عمودية، ويمكن التعبير عن المؤثرات الخطية كمصفوفات، على الرغم من أنها قد تكون ذات أبعاد لا نهائية. ونتيجة لذلك، فإن العديد من المفاهيم المتعلقة بالمتجهات الذاتية للمصفوفات تنطبق على دراسة الدوال الذاتية.

عرّف الضرب الداخلي في فضاء الدوال الذي تُعرّف عليه D على النحو التالي:

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

يتم إجراء التكامل على نطاق معين ذي أهمية لـ t يسمى Ω. تشير العلامة * إلى المرافق المركب .

لنفترض أن فضاء الدوال له أساس متعامد معياري مُعطى بمجموعة الدوال { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}، حيث قد يكون n عددًا لانهائيًا. بالنسبة للأساس المتعامد المعياري،

$${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

حيث أن δ _ij هي دلتا كرونكر ويمكن اعتبارها عناصر مصفوفة الوحدة .

يمكن كتابة الدوال كتركيبة خطية من الدوال الأساسية،

$${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

على سبيل المثال، من خلال تحليل فورييه للدالة f ( t ). يمكن تجميع المعاملات b_{_j} في متجه عمودي ذي أبعاد n × 1، وهو b = [ b _₁ b _₂ … b _{_n} ] ^{^T} . في بعض الحالات الخاصة، مثل معاملات متسلسلة فورييه لدالة جيبية، يكون لهذا المتجه العمودي بُعد محدود.

بالإضافة إلى ذلك، حدد تمثيلًا مصفوفيًا للمؤثر الخطي D بعناصر

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

يمكننا كتابة الدالة Df ( t ) إما كتركيبة خطية من الدوال الأساسية أو كـ D تعمل على توسيع f ( t ).

$${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}$$

بأخذ الضرب الداخلي لكل طرف من هذه المعادلة مع دالة أساسية اختيارية u _i ( t )،

$$\begin{aligned}\sum_{j=1}^{n}c_{j}\int_{\Omega}\u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum_{j=1}^{n}b_{j}\int_{\Omega}\u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum_{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

هذا هو ضرب المصفوفات Ab = c مكتوبًا بصيغة الجمع، وهو مكافئ مصفوفي للمؤثر D الذي يؤثر على الدالة f ( t ) المعبر عنها في الأساس المتعامد. إذا كانت f ( t ) دالة ذاتية للمؤثر D بقيمة ذاتية λ، فإن Ab = λb .

العديد من المؤثرات التي نصادفها في الفيزياء هي _مؤثرات هيرميتية . لنفترض أن المؤثر الخطي D يعمل على فضاء دوال ، وهو فضاء هيلبرت ذو أساس متعامد معياري مُعطى بمجموعة الدوال { u₁ ₍ t ), u₂ ( t ), …, uₙ ₍ t ) }، حيث قد يكون n عددًا لا نهائيًا. في هذا الأساس، يمتلك المؤثر D تمثيلًا مصفوفيًا A بعناصر

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

تم التكامل على نطاق معين من الاهتمام لـ t ويرمز له بـ Ω.

قياسًا على المصفوفات الهرميتية ، فإن D هو عامل هرميتي إذا كان A _ij = A _ji *، أو: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\begin{align}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_ {j} (t) [Du_ {i} (t)] ^ {*}.\end {محاذاة}}}$$

لنفترض المؤثر الهرميتي D ذو القيم الذاتية λ ₁ ، λ ₂ ، ... والدوال الذاتية المناظرة f ₁ ( t )، f ₂ ( t )، .... يتمتع هذا المؤثر الهرميتي بالخصائص التالية:

• قيمها الذاتية حقيقية، λ _i = λ _i * ^{[ 4 ] [ 6 ]}
• تخضع دوالها الذاتية لشرط التعامد،${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$إذا كان i ≠ j ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

يتحقق الشرط الثاني دائمًا عندما يكون λᵢ ≠ λⱼ _. بالنسبة _للدوال الذاتية المتماثلة ذات القيمة الذاتية نفسها λᵢ _، يمكن دائمًا اختيار دوال ذاتية متعامدة تغطي الفضاء الذاتي المرتبط بـ λᵢ _، على سبيل المثال باستخدام عملية غرام-شميدت . ^{[ 5 ]} اعتمادًا على ما إذا كان الطيف منفصلًا أم متصلًا، يمكن تطبيع الدوال الذاتية بجعل حاصل الضرب الداخلي للدوال الذاتية مساويًا إما لدالة دلتا كرونكر أو دالة دلتا ديراك ، على التوالي. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

بالنسبة للعديد من المؤثرات الهرميتية، ولا سيما مؤثرات ستورم-ليوفيل ، فإن الخاصية الثالثة هي

• تشكل دوالها الذاتية أساسًا لفضاء الدوال الذي يتم تعريف المؤثر عليه ^{[ 5 ]}

ونتيجةً لذلك، في العديد من الحالات المهمة، تُشكّل الدوال الذاتية للمؤثر الهيرميتي أساسًا متعامدًا. في هذه الحالات، يمكن التعبير عن أي دالة كمزيج خطي من الدوال الذاتية للمؤثر الهيرميتي.

لنفترض أن h ( x , t ) تُمثل الإزاحة العرضية لوتر مرن مُجهد، مثل أوتار آلة وترية مهتزة ، كدالة للموضع x على طول الوتر وللزمن t . بتطبيق قوانين الميكانيكا على أجزاء متناهية الصغر من الوتر، فإن الدالة h تُحقق المعادلة التفاضلية الجزئية التالية:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

وهذا ما يسمى معادلة الموجة (أحادية البعد) . هنا ، c هي سرعة ثابتة تعتمد على شد وكتلة الوتر.

يمكن حل هذه المسألة باستخدام طريقة فصل المتغيرات . إذا افترضنا أن h ( x , t ) يمكن كتابتها كحاصل ضرب على الصورة X ( x ) T ( t ) ، فيمكننا تكوين زوج من المعادلات التفاضلية العادية:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$

كل من هذه المعادلات هي معادلة قيم ذاتية ذات قيم ذاتية

${\textstyle -{\frac {\أوميغا ^{2}}{c^{2}}}}$و − ω ² على التوالي. بالنسبة لأي قيم لـ ω و c ، فإن المعادلات تتحقق بواسطة الدوال

$${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$ حيث أن زوايا الطور φ و ψ هي ثوابت حقيقية اختيارية.

إذا فرضنا شروطًا حدودية، مثل تثبيت طرفي الوتر عند x = 0 و x = L ، أي X (0) = X ( L ) = 0 ، و T (0) = 0 ، فإننا نقيد القيم الذاتية. في ظل هذه الشروط الحدودية، sin( φ ) = 0 و sin( ψ ) = 0 ، وبالتالي فإن زوايا الطور φ = ψ = 0 .

$${\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

يُقيد هذا الشرط الحدودي الأخير قيمة ω لتأخذ القيمة ω _n = ncπ / L ، حيث n أي عدد صحيح . وبالتالي، يدعم الوتر المثبت مجموعة من الموجات المستقرة على الشكل التالي :

$${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

في مثال الآلة الوترية، يكون التردد ω _n هو تردد التوافقي رقم n ، والذي يسمى النغمة التوافقية ( n − 1) .

في ميكانيكا الكم ، معادلة شرودنغر

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

مع مؤثر هاميلتوني

$${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$ يمكن حلها بفصل المتغيرات إذا لم تعتمد دالة هاميلتون بشكل صريح على الزمن. ^{[ 10 ]} في هذه الحالة، تؤدي دالة الموجة Ψ( r , t ) = φ ( r ) T ( t ) إلى المعادلتين التفاضليتين،

$${\displaystyle H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),}$$

2

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).}$$

3

كلتا المعادلتين التفاضليتين هما معادلات قيم ذاتية بقيمة ذاتية E. وكما هو موضح في مثال سابق، فإن حل المعادلة ( 3 ) هو الدالة الأسية. $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

المعادلة ( 2 ) هي معادلة شرودنغر غير المعتمدة على الزمن. الدوال الذاتية φk لمؤثر هاميلتون هي حالات مستقرة للنظام الكمومي، ولكل منها طاقة مقابلة Ek _. وهي تمثل حالات الطاقة المسموح بها للنظام، ويمكن تقييدها بشروط حدودية _.

يُعدّ المؤثر الهاميلتوني H مثالاً على مؤثر هيرميتي تُشكّل دواله الذاتية أساسًا متعامدًا. عندما لا يعتمد الهاميلتوني صراحةً على الزمن، فإن الحلول العامة لمعادلة شرودنغر هي تراكيب خطية للحالات المستقرة مضروبة في المؤثر التذبذبي T ( t ) ، ^{[ 11 ]}${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$أو، بالنسبة لنظام ذي طيف متصل،

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

يُعتبر نجاح معادلة شرودنغر في تفسير الخصائص الطيفية للهيدروجين أحد أعظم انتصارات الفيزياء في القرن العشرين.

في دراسة الإشارات والأنظمة ، الدالة الذاتية للنظام هي إشارة f ( t ) التي، عند إدخالها إلى النظام، تنتج استجابة y ( t ) = λf ( t ) ، حيث λ هي قيمة ذاتية عددية مركبة. ^{[ 12 ]}