نظرية الرسم البياني المغلق (التحليل الوظيفي)

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، وتحديدًا في التحليل الوظيفي ، تُعدّ نظرية الرسم البياني المغلق نتيجةً تربط استمرارية المؤثر الخطي بخاصية طوبولوجية لرسمه البياني . وبالتحديد، تنص النظرية على أن المؤثر الخطي بين فضاءين من فضاءات باناخ يكون مستمرًا إذا وفقط إذا كان رسمه البياني مغلقًا (يُسمى هذا المؤثر بالمؤثر الخطي المغلق ؛ انظر أيضًا خاصية الرسم البياني المغلق ).

بما أن العامل بين فضاءين معياريين يكون عاملاً خطياً محدوداً إذا وفقط إذا كان عاملاً خطياً متصلاً، فيمكن استبدال كلمة "متصل" بكلمة "محدود" في العبارة أعلاه.

يُعدّ سؤال ما إذا كان المؤثر الخطي المعطى متصلاً (أو محدوداً) سؤالاً مهماً في التحليل الوظيفي. وتُقدّم نظرية الرسم البياني المغلق إحدى الإجابات على هذا السؤال.

توضيح

يتركتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}ليكن مؤثرًا خطيًا بين فضاءات باناخ (أو بشكل أعم فضاءات فريشيه). عندئذٍ يكون استمرارتي{\displaystyle T}هذا يعني أنتيxأنا→تيx{\displaystyle Tx_{i}\to Tx}لكل متتالية متقاربةxأنا→x{\displaystyle x_{i}\to x}من ناحية أخرى، فإن انغلاق الرسم البياني لـتي{\displaystyle T}هذا يعني أنه لكل متتالية متقاربةxأنا→x{\displaystyle x_{i}\to x}بحيثتيxأنا→y{\displaystyle Tx_{i}\to y}لديناy=تيx{\displaystyle y=Tx}وبالتالي، تنص نظرية الرسم البياني المغلق على أنه من أجل التحقق من استمراريةتي{\displaystyle T}يمكن للمرء أن يُظهرتيxأنا→تيx{\displaystyle Tx_{i}\to Tx}بافتراض إضافي هوتيxأنا{\displaystyle Tx_{i}}متقاربة.

في الواقع، لكي يكون الرسم البياني لـ T مغلقًا، يكفي أن يكونxأنا→0،تيxأنا→y{\displaystyle x_{i}\to 0,\,Tx_{i}\to y}، ثمy=0{\displaystyle y=0}في الواقع، بافتراض تحقق هذا الشرط، إذا(xأنا،تيxأنا)→(x،y){\displaystyle (x_{i},Tx_{i})\to (x,y)}، ثمxأنا-x→0{\displaystyle x_{i}-x\to 0}وتي(xأنا-x)→y-تيx{\displaystyle T(x_{i}-x)\to y-Tx}. هكذا،y=تيx{\displaystyle y=Tx}؛ أي،(x،y){\displaystyle (x,y)}يقع في الرسم البياني لـ T.

لاحظ أنه للتحقق من انغلاق الرسم البياني، ليس من الضروري استخدام طوبولوجيا المعيار: إذا كان الرسم البياني لـ T مغلقًا في طوبولوجيا أدق من طوبولوجيا المعيار، فإنه يكون مغلقًا في طوبولوجيا المعيار. [ 1 ] عمليًا، يتم ذلك على النحو التالي: T هو مؤثر ما على فضاء دوال ما. يُثبت أن T متصل بالنسبة لطوبولوجيا التوزيع ؛ وبالتالي، يكون الرسم البياني مغلقًا في تلك الطوبولوجيا، مما يعني أنه مغلق في طوبولوجيا المعيار. إذا انطبقت نظرية الرسم البياني المغلق، فإن T يكون متصلًا في ظل الطوبولوجيا الأصلية. انظر قسم  الأمثلة للاطلاع على مثال واضح.

إفادة

النظرية — [ 2 ] إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كان عاملًا خطيًا بين فضاءات باناخ (أو بشكل أعم فضاءات فريشيه )، فإن ما يلي يكون متكافئًا:

  1. تي{\displaystyle T}متصل.
  2. الرسم البياني لـتي{\displaystyle T}مغلق في بنية المنتج علىX×Y.{\displaystyle X\times Y.}

تعتمد البراهين المعتادة لنظرية الرسم البياني المغلق على نظرية التطبيق المفتوح . وهي ببساطة تستخدم طريقة عامة لاستنتاج نظرية الرسم البياني المغلق من نظرية التطبيق المفتوح؛ انظر نظرية الرسم البياني المغلق §  العلاقة بنظرية التطبيق المفتوح (هذا الاستنتاج شكلي ولا يستخدم الخطية؛ فالخطية ضرورية للاستناد إلى نظرية التطبيق المفتوح التي تعتمد على الخطية).

في الواقع، يمكن استنتاج نظرية التطبيق المفتوح من نظرية الرسم البياني المغلق كما يلي. كما هو مذكور في نظرية التطبيق المفتوح (التحليل الوظيفي) §  البيان والبرهان ، يكفي إثبات نظرية التطبيق المفتوح لمؤثر خطي متصل تقابلي (وليس شاملاً فقط). ليكن T مؤثرًا من هذا النوع. إذن، بالاستمرارية، يكون الرسم البيانيΓتي{\displaystyle \Gamma _{T}}النقطة T مغلقة. إذنΓتي≃Γتي-1{\displaystyle \Gamma _{T}\simeq \Gamma _{T^{-1}}}تحت(x،y)↦(y،x){\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}وبالتالي، وفقًا لنظرية الرسم البياني المغلق،تي-1{\displaystyle T^{-1}}متصلة؛ أي أن T عبارة عن دالة مفتوحة.

بما أن نظرية الرسم البياني المغلق مكافئة لنظرية التطبيق المفتوح، فمن المعروف أن النظرية لا تصح بدون افتراض الاكتمال. ولكن بشكل أكثر تحديدًا، يوجد مؤثر ذو رسم بياني مغلق غير محدود (انظر المؤثر غير المحدود )، وبالتالي يُعد مثالًا مضادًا.

مثال

تنص متباينة هاوسدورف-يونغ على أن تحويل فورييه⋅^:لص(Rن)→لص′(Rن){\displaystyle {\widehat {\cdot }}:L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p'}(\mathbb {R} ^{n})}هو مؤثر محدود ومعروف جيدًا بمعيار مؤثر يساوي واحدًا عندما1/ص+1/ص′=1{\displaystyle 1/p+1/p'=1}تُثبت هذه النتيجة عادةً باستخدام نظرية ريز-ثورين للاستيفاء ، وهي نتيجة معقدة للغاية. ويمكن استخدام نظرية الرسم البياني المغلق لإثبات صيغة مبسطة لهذه النتيجة؛ أي أن تحويل فورييه هو مؤثر محدود ذو معيار مؤثر مجهول. [ 3 ]

إليك كيفية سير الحجة. لنفترض أن T ترمز إلى تحويل فورييه. أولًا، سنبينتي:لص→Z{\displaystyle T:L^{p}\to Z}هو مؤثر خطي متصل لـ Z = فضاء التوزيعات المعتدلة علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ثانيًا، نلاحظ أن T تُسقط فضاء دوال شوارتز على نفسه (باختصار، لأن السلاسة والتلاشي السريع يتحولان إلى تلاشي سريع وسلاسة، على التوالي). وهذا يعني أن الرسم البياني لـ T مُحتوى فيلص×لص′{\displaystyle L^{p}\times L^{p'}}وتي:لص→لص′{\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}مُعرَّفة ولكن بحدود غير معروفة. بما أنتي:لص→Z{\displaystyle T:L^{p}\to Z}إذا كانت الدالة متصلة، فإن الرسم البياني لـتي:لص→لص′{\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}مغلق في طوبولوجيا التوزيع؛ وبالتالي في طوبولوجيا المعيار. وأخيرًا، وفقًا لنظرية الرسم البياني المغلق،تي:لص→لص′{\displaystyle T:L^{p}\to L^{p'}}هو عامل محدود.

تعميم

مساحات هيلبرت

يتركح{\displaystyle H}أن تكون فضاء هيلبرت، وأ:د(أ)⊂ح→ح{\displaystyle A:D(A)\subset H\to H}قد يكون عاملًا خطيًا معرفًا جزئيًا .

عرّف الضرب الداخلي للرسم البياني علىد(أ){\displaystyle D(A)}بواسطة⟨x،y⟩جي(أ)=⟨x،y⟩+⟨أx،أy⟩{\displaystyle \langle x,y\rangle _{G(A)}=\langle x,y\rangle +\langle Ax,Ay\rangle }وبالمثل، معيار الرسم البياني‖x‖جي(أ)=‖x‖2+‖أx‖2{\displaystyle \|x\|_{G(A)}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}}}}لدينا ما يلي: [ 4 ]

  • أ{\displaystyle A}مغلق إذا(د(أ)،‖⋅‖جي(أ)){\displaystyle (D(A),\|\cdot \|_{G(A)})}هو باناش.
  • لوأ{\displaystyle A}إذا كانت محدودة،أ{\displaystyle A}مغلق إذاد(أ){\displaystyle D(A)}مغلق.

مجال قياس كامل

يمكن تعميم نظرية الرسم البياني المغلق من فضاءات باناخ إلى فضاءات المتجهات الطوبولوجية الأكثر تجريدًا بالطرق التالية.

نظرية — مؤثر خطي من فضاء برميليX{\displaystyle X}إلى مساحة فريشيهY{\displaystyle Y}تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كان رسمها البياني مغلقًا.

بين مساحات F

توجد إصدارات لا تتطلب ذلكY{\displaystyle Y}أن يكون محدبًا محليًا.

نظرية — يكون التطبيق الخطي بين فضاءين من نوع F متصلاً إذا وفقط إذا كان رسمه البياني مغلقاً. [ 5 ] [ 6 ]

تمت إعادة صياغة هذه النظرية وتوسيعها ببعض الشروط التي يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كان الرسم البياني مغلقًا:

نظرية — إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كانت دالة خطية بين فضاءين من نوع F ، فإن ما يلي متكافئ:

  1. تي{\displaystyle T}متصل.
  2. تي{\displaystyle T}له رسم بياني مغلق.
  3. لوx∙=(xأنا)أنا=1∞→x{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to x}فيX{\displaystyle X}وإذاتي(x∙):=(تي(xأنا))أنا=1∞{\displaystyle T\left(x_{\bullet }\right):=\left(T\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}يتقارب فيY{\displaystyle Y}إلى البعضy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}ثمy=تي(x).{\displaystyle y=T(x).}[ 7 ]
  4. لوx∙=(xأنا)أنا=1∞→0{\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}فيX{\displaystyle X}وإذاتي(x∙){\displaystyle T\left(x_{\bullet }\right)}يتقارب فيY{\displaystyle Y}إلى البعضy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}ثمy=0.{\displaystyle y=0.}

مجال مشترك قابل للقياس الزائف كامل

كل فضاء طوبولوجي قابل للقياس هو فضاء شبه قابل للقياس . ويكون الفضاء شبه القابل للقياس قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان فضاء هاوسدورف .

نظرية الرسم البياني المغلق [ 8 ] - أيضًا، فإن الخريطة الخطية المغلقة من فضاء محدب محليًا فائق البرميل إلى TVS كامل قابل للقياس الزائف تكون متصلة.

نظرية الرسم البياني المغلق - يكون التطبيق الخطي المغلق والمحدود من فضاء محدب محليًا إلى فضاء محدب محليًا قابل للقياس الزائف كاملًا متصلًا. [ 8 ]

المجال المقابل غير كامل أو قابل للقياس (شبه)

النظرية [ 9 ] — لنفترض أنتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هي دالة خطية رسمها البياني مغلق. إذاX{\displaystyle X}هو حد استقرائي لـ Baire TVSs وY{\displaystyle Y}هل هي مساحة متشابكة إذنتي{\displaystyle T}متصل.

نظرية الرسم البياني المغلق [ 8 ] - إن الخريطة الخطية المغلقة الشاملة من TVS كاملة قابلة للقياس الزائف على فضاء محدب محليًا فائق البرميل تكون متصلة.

وهناك نسخة أكثر عمومية من نظرية الرسم البياني المغلق وهي

النظرية [ 10 ] — لنفترض أنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هما فضاءان متجهان طوبولوجيان (ليس بالضرورة أن يكونا فضاء هاوسدورف أو محدبين محليًا) مع الخاصية التالية:

لوجي{\displaystyle G}أي فضاء جزئي مغلق منX×Y{\displaystyle X\times Y}وu{\displaystyle u}أي خريطة متصلة لـجي{\displaystyle G}علىX،{\displaystyle X,}ثمu{\displaystyle u}هي خريطة مفتوحة.

في ظل هذا الشرط، إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كانت دالة خطية يكون رسمها البياني مغلقًا،تي{\displaystyle T}متصل.

نظرية بوريل للرسم البياني

تُبيّن نظرية بوريل للرسوم البيانية، التي أثبتها ل. شوارتز، أن نظرية الرسوم البيانية المغلقة صالحة للتطبيقات الخطية المعرفة على معظم الفضاءات التي تُصادف في التحليل والتي لها قيم فيها. [ 11 ] يُذكر أن الفضاء الطوبولوجي يُسمى فضاءً بولنديًا إذا كان فضاءً قابلاً للفصل، كاملاً، وقابلاً للقياس، وأن فضاء سوسلين هو الصورة المتصلة للفضاء البولندي. الفضاء الثنائي الضعيف لفضاء فريشيه القابل للفصل، والفضاء الثنائي القوي لفضاء فريشيه-مونتيل القابل للفصل، هما فضاءات سوسلين. كذلك، فإن فضاء التوزيعات وجميع فضاءات Lp على المجموعات الفرعية المفتوحة من الفضاء الإقليدي، بالإضافة إلى العديد من الفضاءات الأخرى التي تظهر في التحليل، هي فضاءات سوسلين. وتنص نظرية بوريل للرسوم البيانية على ما يلي:

نظرية بوريل للرسم البياني — ليكنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}ليكن تطبيقًا خطيًا بين فضاءين هاوسدورف محدبين محليًاX{\displaystyle X}وY.{\displaystyle Y.}لوX{\displaystyle X}هو الحد الاستقرائي لعائلة عشوائية من فضاءات باناخ، إذاY{\displaystyle Y}هو فضاء سوسلين، وإذا كان الرسم البياني لـu{\displaystyle u}هي مجموعة بوريل فيX×Y،{\displaystyle X\times Y,}ثمu{\displaystyle u}متصلة. [ 11 ]

يستخدم تحسين هذه النظرية، الذي أثبته أ. مارتينو، الفضاءات التحليلية K.

فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}يُطلق عليه اسمكσدلتا{\displaystyle K_{\sigma \delta }}إذا كان التقاطع القابل للعد لاتحادات قابلة للعد لمجموعات متراصة.

فضاء طوبولوجي هاوسدورفY{\displaystyle Y}يُطلق عليه اسم التحليل K إذا كان الصورة المستمرة لـكσدلتا{\displaystyle K_{\sigma \delta }}المساحة (أي إذا كان هناككσدلتا{\displaystyle K_{\sigma \delta }}فضاءX{\displaystyle X}وخريطة متصلة لـX{\displaystyle X}علىY{\displaystyle Y}).

كل مجموعة متراصة هي فضاء تحليلي من النوع K، وبالتالي توجد فضاءات تحليلية من النوع K غير قابلة للفصل. كذلك، كل فضاء بولندي، وفضاء سوسلين، وفضاء فريشيه انعكاسي هو فضاء تحليلي من النوع K، وكذلك الفضاء الثنائي الضعيف لفضاء فريشيه. تنص نظرية بوريل العامة للرسوم البيانية على ما يلي:

نظرية بوريل العامة للرسم البياني [ 12 ] — ليكنu:X→Y{\displaystyle u:X\to Y}لتكن دالة خطية بين فضاءين هاوسدورف محدبين محليًاX{\displaystyle X}وY.{\displaystyle Y.}لوX{\displaystyle X}هو الحد الاستقرائي لعائلة عشوائية من فضاءات باناخ، إذاY{\displaystyle Y}هو فضاء تحليلي من النوع K، وإذا كان الرسم البياني لـu{\displaystyle u}مغلق فيX×Y،{\displaystyle X\times Y,}ثمu{\displaystyle u}متصل.

لوF:X→Y{\displaystyle F:X\to Y}هو مؤثر خطي مغلق من فضاء قيم متغيرة محدب محليًا من نوع هاوسدورفX{\displaystyle X}إلى نظام تلفزيوني محدود الأبعاد من نوع هاوسدورفY{\displaystyle Y}ثمF{\displaystyle F}متصلة. [ 13 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ نظرية 4 من كتاب تاو. ملاحظة: تم وضع خاصية هاوسدورف هناك لضمان أن يكون الرسم البياني للدالة المتصلة مغلقًا.
  2. ↑ فوغت 2000 ، النظرية 1.8.
  3. ↑ تاو ، مثال 3
  4. ↑ مرتاد 2022 .
  5. ↑ Schaefer & Wolff 1999 ، ص 78.
  6. ↑ تريف (2006) ، ص 173
  7. ↑ رودين 1991 ، ص 50-52.
  8. 1 2 3 ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 474-476.
  9. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 479-483.
  10. ↑ تريفز 2006 ، ص 169.
  11. 1 2 Trèves 2006 ، ص. 549.
  12. ^ تريف 2006 ، ص 557-558.
  13. ↑ ناريسي وبيكنشتاين 2011 ، ص 476.

المراجع