مساحة شوارتز

في الرياضيات ، فضاء شوارتز${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي فضاء الدوال لجميع الدوال التي تتناقص مشتقاتها من جميع الرتب بسرعة . يتميز هذا الفضاء بخاصية مهمة، وهي أن تحويل فورييه هو تشاكل ذاتي عليه. تُمكّن هذه الخاصية، من خلال الازدواجية، من تعريف تحويل فورييه لعناصر الفضاء الثنائي.${\displaystyle {\mathcal {S}}^{*}}$من​${\displaystyle {\mathcal {S}}}$أي بالنسبة للتوزيعات المعتدلة . تُسمى الدالة في فضاء شوارتز أحيانًا دالة شوارتز .

سميت فضاءات شوارتز نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي لوران شوارتز .

يترك${\displaystyle \mathbb {N} }$لتكن مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة ، ولأي${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$، دع${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}:=\underbrace {\mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N} } _{n{\text{ times}}}}$كن​${\displaystyle n}$⁠ -fold Cartesian product .

فضاء شوارتز أو فضاء الدوال المتناقصة بسرعة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو فضاء الدوال$${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall {\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}<\infty \right\},}$$أين${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$هو فضاء الدوال الملساء من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى​${\displaystyle \mathbb {C} }$، و$${\displaystyle \|f\|_{{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }}}:=\sup _{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}\left|{\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}({\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\beta }}f)({\boldsymbol {x}})\right|.}$$هنا،${\displaystyle \sup }$يشير إلى القيمة العليا ، وقد استخدمنا ترميزًا متعدد المؤشرات ، أي${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}:=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$و​${\displaystyle D^{\boldsymbol {\beta }}:=\partial _{1}^{\beta _{1}}\partial _{2}^{\beta _{2}}\ldots \partial _{n}^{\beta _{n}}}$⁠ .

لتبسيط هذا التعريف، يمكن اعتبار الدالة المتناقصة بسرعة بمثابة دالة في جوهرها.${\displaystyle f}$بحيث​${\displaystyle f(x)}$،​​${\displaystyle f'(x)}$،​​${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)}$... جميعها موجودة في كل مكان على${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم انتقل إلى الصفر كـ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$أسرع من أي قوة مقلوب لـ${\displaystyle x}$. على وجه الخصوص،${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right)}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$⁠ .

• لو${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$إذا كان مؤشرًا متعددًا، وكان a عددًا حقيقيًا موجبًا ، فإن${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$⁠ .
• أي وظيفة سلسة${\displaystyle f}$مع دعم مضغوط موجود في${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$هذا واضح لأن أي مشتق من${\displaystyle f}$مستمر ومدعوم بدعم من${\displaystyle f}$لذلك​${\displaystyle ({\boldsymbol {x}}^{\boldsymbol {\alpha }}{\boldsymbol {D}}^{\boldsymbol {\alpha }})f}$له حد أقصى في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحسب نظرية القيمة القصوى .
• لأن فضاء شوارتز هو فضاء متجهي، فإن أي متعدد حدود${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})}$يمكن ضربها بمعامل${\displaystyle e^{-a\vert {\boldsymbol {x}}\vert ^{2}}}$ل${\displaystyle a>0}$ثابت حقيقي، لإعطاء عنصر من فضاء شوارتز. على وجه الخصوص، يوجد تضمين لكثيرات الحدود في فضاء شوارتز.

• وظيفة التضخيم
• دالة شوارتز-بروهات
• مساحة خضراء