وظيفة التضخيم

في التحليل الرياضي ، تُعرف دالة النتوء بأنها دالة مساعدة موضعية ، وعادةً ما تُختار لتكون سلسة وذات نطاق محدود . تُستخدم دوال النتوء بشكل شائع كدوال قطع ، على سبيل المثال، الدوال التي تساوي 1 على مجموعة محددة وتتلاشى خارج مجموعة أكبر، وكأمثلة قياسية للنوى المستخدمة في بناء دوال التنعيم .

يستخدم بعض المؤلفين المصطلح بشكل أوسع ليشمل أي دالة سلسة ذات دعم مضغوط. تُعد هذه الدوال أمثلة مهمة على دوال الاختبار ، خاصة في نظرية التوزيعات ، ولكن مصطلحي "دالة النتوء" و"دالة الاختبار" ليسا مترادفين في جميع السياقات.

الوظيفة${\displaystyle \Psi$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } معطى بواسطة $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right),&{\text{ إذا كان }}|x|<1,\\0,&{\text{ إذا كان }}|x|\geq 1,\end{cases}}}$$

هذا مثال على دالة نتوء في بُعد واحد. لاحظ أن نطاق هذه الدالة هو الفترة المغلقة${\displaystyle [-1,1]}$في الواقع، بحسب تعريف الدعم ، لدينا ذلك${\displaystyle \operatorname {supp} (\Psi ):={\overline {\{x\in \mathbb {R}$ :\Psi (x)\neq 0\}}}={\overline {(-1,1)}}} ، حيث يُؤخذ الإغلاق بالنسبة للطوبولوجيا الإقليدية للخط الحقيقي. يتبع برهان السلاسة نفس النهج المتبع للدالة ذات الصلة التي نوقشت في مقالة " الدالة السلسة غير التحليلية" . يمكن تفسير هذه الدالة على أنها دالة غاوسية.${\displaystyle \exp \left(-y^{2}\right)}$تم تعديل حجمها لتناسب القرص الموحد: الاستبدال${\displaystyle y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}}$يتوافق مع الإرسال${\displaystyle x=\pm 1}$ل${\displaystyle y=\infty .}$

مثال بسيط على دالة النتوء (المربعة) في${\displaystyle n}$يتم الحصول على المتغيرات عن طريق ضرب${\displaystyle n}$نسخ من دالة التضخيم المذكورة أعلاه في متغير واحد، لذلك $${\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}$$

دالة نتوء متناظرة شعاعيًا في${\displaystyle n}$يمكن تكوين المتغيرات عن طريق أخذ الدالة${\displaystyle \Psi _{n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {x} )=\Psi (|\mathbf {x} |)}$هذه الوظيفة مدعومة على الكرة الموحدة المتمركزة عند نقطة الأصل.

كمثال آخر، خذ...${\displaystyle h}$هذا أمر إيجابي${\displaystyle (c,d)}$وصفر في أي مكان آخر، على سبيل المثال

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(xc)(dx)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$.

دوال الانتقال السلس

تُعد الوظيفة نقطة انطلاق قياسية

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{إذا كان }}x>0,\\0&{\text{إذا كان }}x\leq 0,\end{cases}}}$

معرفة لكل عدد حقيقي x .

ومن هذا، حدد

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} .}$

المقام موجب تمامًا في كل مكان على خط الأعداد الحقيقية، لذا فإن الدالة g سلسة. علاوة على ذلك، g ( x )  =  0 عندما x  ≤  0 و g ( x )  =  1 عندما x  ≥  1، لذا فإن g تعطي انتقالًا سلسًا من 0 إلى 1 على الفترة [ 0, 1 ] . إعادة التحجيم تعطي انتقالًا سلسًا على أي فترة [ a , b ] حيث a  < b . 

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {xa}{ba}}{\Bigr )}.}$

يمكن الحصول على دالة نتوء ذات دعم محدود بضرب انتقال صاعد بانتقال هابط. بالنسبة للأعداد الحقيقية a < b ≤ c < d ، فإن الدالة

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {xa}{ba}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {dx}{dc}}{\Bigr )}}$

دالة سلسة، تساوي 1 على الفترة المغلقة [ b , c ] ، وتتلاشى خارج الفترة المفتوحة ( a , d ). لذا يمكن استخدامها كدالة حدبة. عندما يكون b < c، يكون طول الهضبة موجبًا؛ وعندما يكون b = c ، تتلاشى إلى نقطة واحدة، لكن الدالة تظل سلسة.

على سبيل المثال، أخذ${\displaystyle a=-1}$،${\displaystyle b=c=0}$، و${\displaystyle d=1}$يوفر وظيفة النتوءات السلسة

${\displaystyle u(x)={\begin{cases}1,&{\text{إذا كان }}x=0,\\0,&{\text{إذا كان }}|x|\geq 1,\\{\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}},&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

الصيغة

${\displaystyle q(x)={\frac {1}{1+e^{\frac {1-2|x|}{x^{2}-|x|}}}}}$

هل تعبير هذه الدالة موجود فقط على${\displaystyle 0<|x|<1}$لا يحدد هذا الأمر في حد ذاته قيم نقطة النهاية عند${\displaystyle x=-1,0,1}$.

التعبير الداخلي ذو المعلمات ذي الصلة هو

${\displaystyle q(x,a)={\frac {1}{1+e^{\frac {a(1-2|x|)}{x^{2}-|x|}}}}}$.

على سبيل المثال،${\displaystyle q\left(x,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)}$مع توفير قيم مناسبة لنقاط النهاية، ينتج عن ذلك منحنيات انتقال سلسة ذات حواف ذات ميل ثابت تقريبًا. يوضح هذا المثال دالة نتوء ذات ميول مستقيمة حقيقية .

يمكن أيضًا كتابة دالة الانتقال g المذكورة أعلاه بشكل صريح على النحو التالي

${\displaystyle w(x)={\begin{cases}{\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}&{\text{إذا كان }}0<x<1,\\0&{\text{إذا كان }}x\leq 0,\\1&{\text{إذا كان }}x\geq 1,\end{cases}}}$

و، على${\displaystyle 0<x<1}$، ويمكن تمثيل فرعها غير الثابت باستخدام الدوال الزائدية :

${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{\frac {2x-1}{x^{2}-x}}}}={\frac {1}{2}}\left(1-\tanh \left({\frac {2x-1}{2(x^{2}-x)}}\right)\right)}$

من الممكن إنشاء دوال التضخيم "وفقًا للمواصفات". بعبارة أخرى، إذا${\displaystyle K}$هي مجموعة مضغوطة عشوائية في${\displaystyle n}$الأبعاد و${\displaystyle U}$هي مجموعة مفتوحة تحتوي${\displaystyle K,}$توجد دالة نتوء${\displaystyle \phi }$وهو${\displaystyle 1}$على${\displaystyle K}$و${\displaystyle 0}$خارج${\displaystyle U.}$منذ${\displaystyle U}$يمكن اعتبارها منطقة صغيرة جداً من${\displaystyle K,}$وهذا يعني القدرة على بناء دالة تكون${\displaystyle 1}$على${\displaystyle K}$ويتراجع بسرعة إلى${\displaystyle 0}$خارج${\displaystyle K,}$مع الحفاظ على السلاسة.

دوال النتوءات المعرفة بدلالة الالتفاف

تتم عملية البناء على النحو التالي. يتم النظر في إنشاء حي سكني متراص.${\displaystyle V}$ل${\displaystyle K}$وارد في${\displaystyle U,}$لذا${\displaystyle K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.}$الدالة المميزة${\displaystyle \chi _{V}}$ل${\displaystyle V}$سيكون مساوياً لـ${\displaystyle 1}$على${\displaystyle V}$و${\displaystyle 0}$خارج${\displaystyle V,}$لذا على وجه الخصوص، سيكون${\displaystyle 1}$على${\displaystyle K}$و${\displaystyle 0}$خارج${\displaystyle U.}$لكن هذه الدالة ليست سلسة. الفكرة الأساسية هي جعلها سلسة.${\displaystyle \chi _{V}}$قليلاً، عن طريق أخذ التفاف${\displaystyle \chi _{V}}$مع دالة تنعيم . هذه الأخيرة هي مجرد دالة نتوء ذات نطاق صغير جدًا، وتكاملها هو${\displaystyle 1.}$يمكن الحصول على مثل هذا الملطف، على سبيل المثال، عن طريق أخذ دالة النتوء${\displaystyle \Phi }$من القسم السابق وإجراء عمليات التحجيم المناسبة.

دوال التضخيم المعرفة بدلالة دالة${\displaystyle c:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$بدعم${\displaystyle (-\infty ,0]}$

الآن، سنشرح بالتفصيل طريقة بناء بديلة لا تتضمن عملية الالتفاف. تبدأ هذه الطريقة بإنشاء دالة سلسة.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$أي موجب على مجموعة فرعية مفتوحة معينة${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ويختفي من على${\displaystyle U.}$^{[ 1 ]} دعم هذه الدالة يساوي الإغلاق${\displaystyle {\overline {U}}}$ل${\displaystyle U}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$إذا${\displaystyle {\overline {U}}}$مضغوطة، إذن${\displaystyle f}$هي دالة رفع.

ابدأ بأي وظيفة سلسة${\displaystyle c:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$التي تتلاشى على الأعداد الحقيقية السالبة وتكون موجبة على الأعداد الحقيقية الموجبة (أي،${\displaystyle c=0}$على${\displaystyle (-\infty ,0)}$و${\displaystyle c>0}$على${\displaystyle (0,\infty ),}$حيث يستلزم الاستمرار من اليسار${\displaystyle c(0)=0}$); مثال على هذه الدالة هو${\displaystyle c(x):=e^{-1/x}}$ل${\displaystyle x>0}$و${\displaystyle c(x):=0}$وإلا. ^{[ 1 ]} أصلح مجموعة فرعية مفتوحة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ورمز إلى المعيار الإقليدي المعتاد بـ${\displaystyle \|\cdot \|}$(لذا${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(مزودة بالمقياس الإقليدي المعتاد ). يحدد البناء التالي دالة سلسة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$هذا أمر إيجابي${\displaystyle U}$ويختفي خارج${\displaystyle U.}$^{[ 1 ]} لذلك على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle U}$إذا كانت هذه الدالة مضغوطة نسبيًا، فإن هذه الدالة${\displaystyle f}$ستكون وظيفة رفع.

لو${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{n}}$ثم دع${\displaystyle f=1}$بينما إذا${\displaystyle U=\varnothing }$ثم دع${\displaystyle f=0}$لذا افترض${\displaystyle U}$ليس أيًا من هذين. ليكن${\displaystyle \left(U_{k}\right)_{k=1}^{\infty }}$كن غطاءً مفتوحًا لـ${\displaystyle U}$بواسطة الكرات المفتوحة حيث الكرة المفتوحة${\displaystyle U_{k}}$له نصف قطر${\displaystyle r_{k}>0}$والمركز${\displaystyle a_{k}\in U.}$ثم الخريطة${\displaystyle f_{k}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle f_{k}(x)=c\left(r_{k}^{2}-\left\|x-a_{k}\right\|^{2}\right)}$هي دالة سلسة موجبة على${\displaystyle U_{k}}$ويختفي من على${\displaystyle U_{k}.}$^{[ 1 ]} لكل${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$يترك $${\displaystyle M_{k}=\sup \left\{\left|{\frac {\partial ^{p}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}(x)\right|~:~x\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ and }}p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ satisfy }}0\leq p_{i}\leq k{\text{ and }}p=\sum _{i}p_{i}\right\},}$$حيث لا يساوي هذا الحد الأعلى${\displaystyle +\infty }$(لذا${\displaystyle M_{k}}$(عدد حقيقي غير سالب) لأن${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus U_{k}\right)\cup {\overline {U_{k}}}=\mathbb {R} ^{n},}$جميع المشتقات الجزئية تتلاشى (متساوية)${\displaystyle 0}$) في أي${\displaystyle x}$خارج${\displaystyle U_{k},}$أثناء وجودها على المجموعة المدمجة${\displaystyle {\overline {U_{k}}},}$تكون قيم كل من المشتقات الجزئية (التي عددها محدود) محدودة (بشكل منتظم) من الأعلى بعدد حقيقي غير سالب. ^{[ ملاحظة 1 ]} المتسلسلة $${\displaystyle f~:=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}}{2^{k}M_{k}}}}$$ يتقارب بانتظام على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى وظيفة سلسة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$هذا أمر إيجابي${\displaystyle U}$ويختفي من على${\displaystyle U.}$^{[ 1 ]} علاوة على ذلك، لأي أعداد صحيحة غير سالبة${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in \mathbb {Z} ,}$^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}f~=~\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}M_{k}}}{\frac {\partial ^{p_{1}+\cdots +p_{n}}f_{k}}{\partial ^{p_{1}}x_{1}\cdots \partial ^{p_{n}}x_{n}}}}$$ حيث تتقارب هذه السلسلة أيضًا بشكل منتظم على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(لأن كلما${\displaystyle k\geq p_{1}+\cdots +p_{n}}$ثم${\displaystyle k}$القيمة المطلقة ^للحد هي${\displaystyle \leq {\tfrac {M_{k}}{2^{k}M_{k}}}={\tfrac {1}{2^{k}}}}$). وبهذا يكتمل البناء.

وكنتيجة لذلك، بالنظر إلى مجموعتين فرعيتين مغلقتين منفصلتين${\displaystyle A,B}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$يضمن البناء المذكور أعلاه وجود دوال سلسة غير سالبة${\displaystyle f_{A},f_{B}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )}$بحيث يكون لأي${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle f_{A}(x)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in A,}$وبالمثل،${\displaystyle f_{B}(x)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in B,}$ثم الدالة $${\displaystyle h~:=~{\frac {f_{A}}{f_{A}+f_{B}}}:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$$ سلس ومناسب لأي${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle h(x)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle h(x)=1}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in B,}$و${\displaystyle 0<h(x)<1}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\not \in A\cup B.}$^{[ 1 ]} على وجه الخصوص،${\displaystyle h(x)\neq 0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A,}$وإذا كان بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle U:=\mathbb {R} ^{n}\smallsetminus A}$يتميز بصغر حجمه نسبياً${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(أين${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$يشير إلى${\displaystyle B\subseteq U}$) ثم${\displaystyle h}$ستكون وظيفة نتوء سلسة مع دعم في${\displaystyle {\overline {U}}.}$

على الرغم من أن دوال النتوء سلسة، إلا أن نظرية الهوية تمنعها من أن تكون تحليلية إلا إذا انعدمت تمامًا. تُستخدم دوال النتوء غالبًا كدوال تنعيم ، وكدوال قطع سلسة ، ولتكوين تجزئات سلسة للوحدة . وهي الفئة الأكثر شيوعًا من دوال الاختبار المستخدمة في التحليل. فضاء دوال النتوء مغلق تحت العديد من العمليات. على سبيل المثال، مجموع أو ضرب أو التفاف دالتين من دوال النتوء هو دالة نتوء أخرى، وأي مؤثر تفاضلي بمعاملات سلسة، عند تطبيقه على دالة نتوء، سينتج عنه دالة نتوء أخرى.

إذا كانت حدود مجال دالة Bump هي${\displaystyle \partial x,}$لتحقيق شرط "السلاسة"، يجب الحفاظ على استمرارية جميع مشتقاتها، مما يؤدي إلى الشرط التالي عند حدود نطاقها: $${\displaystyle \lim _{x\to \partial x^{\pm }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=0,\,{\text{ for all }}n\geq 0,\,n\in \mathbb {Z} }$$

إن تحويل فورييه لدالة النتوء هو دالة تحليلية (حقيقية)، ويمكن تمديده إلى كامل المستوى العقدي ؛ لذا لا يمكن أن يكون له دعم مضغوط إلا إذا كان يساوي صفرًا، لأن دالة النتوء التحليلية الكاملة الوحيدة هي الدالة الصفرية (انظر نظرية بالي-وينر ونظرية ليوفيل ). ولأن دالة النتوء قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية، فإن تحويل فورييه الخاص بها يجب أن يتلاشى أسرع من أي قوة محدودة لـ${\displaystyle 1/k}$لتردد زاوي كبير${\displaystyle |k|.}$^{[ 2 ]} تحويل فورييه لدالة النتوء المحددة $${\displaystyle \Psi (x)=e^{-1/(1-x^{2})}\mathbf {1} _{\{|x|<1\}}}$$ يمكن تحليلها من الأعلى باستخدام طريقة نقطة السرج ، وتتلاشى بشكل تقاربي كما $${\displaystyle |k|^{-3/4}e^{-{\sqrt {|k|}}}}$$ للكبير${\displaystyle |k|.}$^{[ 3 ]}

تكامل دالة النتوء${\displaystyle \Psi (x)}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Psi (x)dx=e^{-1/2}\left(K_{1}\left({\frac {1}{2}}\right)-K_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)\right)}$$ أين${\displaystyle K_{1}(x)}$و${\displaystyle K_{0}(x)}$هي دوال بيسل المعدلة من النوع الثاني . ^{[ 4 ]}

• وظيفة القطع – نواة التكامل لتنعيم الملامح الحادة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• لابلاس المؤشر – نهاية متتالية الدوال الملساء 
• الدالة الملساء غير التحليلية – الدوال الرياضية التي تكون ملساء ولكنها ليست تحليلية 
• فضاء شوارتز – فضاء الدوال لجميع الدوال التي تتناقص مشتقاتها بسرعة 
• الدالة المسطحة – دالة تتلاشى جميع مشتقاتها عند نقطة واحدة 

• نيسترويف، جيت (10 سبتمبر 2020). المشعبات الملساء والكميات القابلة للرصد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  220. تشام، سويسرا: سبرينغر نيتشر . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718 .