دالة سلسة غير تحليلية

في الرياضيات ، تعد الدوال السلسة (والتي تسمى أيضًا الدوال القابلة للاشتقاق بلا حدود ) والدوال التحليلية نوعين مهمين جدًا من الدوال . يمكن للمرء أن يثبت بسهولة أن أي دالة تحليلية لحجة حقيقية سلسة . والعكس ليس صحيحًا، كما هو موضح بالمثال المضاد أدناه.

أحد أهم تطبيقات الدوال السلسة ذات الدعم المدمج هو إنشاء ما يسمى بالمخففات ، والتي تعتبر مهمة في نظريات الدوال المعممة ، مثل نظرية التوزيعات الخاصة بـ لوران شوارتز .

إن وجود دوال سلسة ولكن غير تحليلية يمثل أحد الفروق الرئيسية بين الهندسة التفاضلية والهندسة التحليلية . ومن حيث نظرية الحزمة ، يمكن صياغة هذا الاختلاف على النحو التالي: إن حزمة الدوال القابلة للاشتقاق على متعدد الشعب القابل للاشتقاق جيدة ، على النقيض من الحالة التحليلية.

تُستخدم الوظائف أدناه عمومًا لبناء أقسام الوحدة على المتشعبات القابلة للاشتقاق.

ضع في اعتبارك الوظيفة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x}}}&{\text{إذا}}x>0,\\0&{\text{إذا}}x\leq 0,\end{cases}}}$

مُعرفة لكل عدد حقيقي x .

تحتوي الدالة f على مشتقات متصلة من جميع الرتب عند كل نقطة x من الخط الحقيقي . صيغة هذه المشتقات هي

${\displaystyle f^{(n)}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{n}(x)}{x^{2n}}}\,f(x)&{\text{إذا}}x>0,\\0&{\text{إذا}}x\leq 0,\end{cases}}}$

حيث p _n ( x ) هي حدودية من الدرجة n  − 1 تعطى بشكل متكرر بواسطة p ₁ ( x ) = 1 و

${\displaystyle p_{n+1}(x)=x^{2}p_{n}'(x)-(2nx-1)p_{n}(x)}$

لأي عدد صحيح موجب n . من هذه الصيغة، ليس من الواضح تمامًا أن المشتقات متصلة عند 0؛ وهذا يتبع من الحد أحادي الجانب

${\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}{x^{m}}}=0}}$

لأي عدد صحيح غير سالب m .

كما رأينا سابقًا، فإن الدالة f سلسة، وكل مشتقاتها عند الأصل تساوي 0. وبالتالي، فإن متسلسلة تايلور لـ f عند الأصل تتقارب في كل مكان إلى الدالة الصفرية ،

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {0}{n!}}x^{n}=0,\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

وبالتالي فإن سلسلة تايلور لا تساوي f ( x ) عندما تكون x  > 0. وبالتالي، فإن f ليست تحليلية عند الأصل.

الوظيفة

${\displaystyle g(x)={\frac {f(x)}{f(x)+f(1-x)}},\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

يحتوي على مقام موجب تمامًا في كل مكان على الخط الحقيقي، وبالتالي فإن g سلس أيضًا. علاوة على ذلك، g ( x ) = 0 لـ x  ≤ 0 و g ( x ) = 1 لـ x  ≥ 1، وبالتالي فإنه يوفر انتقالًا سلسًا من المستوى 0 إلى المستوى 1 في الفاصل الزمني الوحدوي [0، 1]. للحصول على انتقال سلس في الفاصل الزمني الحقيقي [ a ، b ] مع a  <  b ، ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}.}$

بالنسبة للأعداد الحقيقية a < b < c < d ، فإن الدالة السلسة

${\displaystyle \mathbb {R} \ni x\mapsto g{\Bigl (}{\frac {x-a}{b-a}}{\Bigr )}\,g{\Bigl (}{\frac {d-x}{d-c}}{\Bigr )}}$

يساوي 1 على الفترة المغلقة [ b , c ] ويختفي خارج الفترة المفتوحة ( a , d )، وبالتالي يمكن أن يعمل كدالة نتوء .

من الأمثلة الأكثر مرضية الدالة القابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي والتي لا تكون تحليلية في أي نقطة . ويمكن إنشاؤها عن طريق سلسلة فورييه على النحو التالي. حدد لجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}\cos(2^{k}x)\ .}$

نظرًا لأن السلسلة تتقارب لجميع ، فمن السهل ملاحظة أن هذه الدالة من الفئة C ^∞ ، من خلال تطبيق استقرائي قياسي لاختبار Weierstrass M لإثبات التقارب المنتظم لكل سلسلة من المشتقات. ${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {N} }e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

نظهر الآن أن ليس تحليليًا عند أي مضاعف نسبي ثنائي لـ π، أي عند أي مع و . نظرًا لأن مجموع الحدود الأولى تحليلي، فما علينا سوى النظر في ، مجموع الحدود مع . لجميع أوامر الاشتقاق مع ، و لدينا ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x:=\pi \cdot p\cdot 2^{-q}}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle F_{>q}(x)}$${\displaystyle k>q}$${\displaystyle n=2^{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle m\geq 2}$${\displaystyle m>q/2}$

${\displaystyle F_{>q}^{(n)}(x):=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\cos(2^{k}x)=\sum _{k\in \mathbb {N} \atop k>q}e^{-{\sqrt {2^{k}}}}{(2^{k})}^{n}\geq e^{-n}n^{2n}\quad (\mathrm {as} \;n\to \infty )}$

حيث استخدمنا حقيقة أنه بالنسبة لجميع ، وقمنا بتحديد المجموع الأول من الأسفل بالمصطلح مع . ونتيجة لذلك، في أي وقت من الأوقات،${\displaystyle \cos(2^{k}x)=1}$${\displaystyle 2^{k}>2^{q}}$${\displaystyle 2^{k}=2^{2m}=n^{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left({\frac {|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}}\right)^{1/n}=+\infty \,,}$

بحيث يكون نصف قطر تقارب سلسلة تايلور عند 0 وفقًا لصيغة كوشي-هادامارد . ونظرًا لأن مجموعة التحليلية للدالة هي مجموعة مفتوحة، ونظرًا لأن الأعداد الكسرية الثنائية كثيفة ، فإننا نستنتج أن ، وبالتالي ، ليست تحليلية في أي مكان في . ${\displaystyle F_{>q}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F_{>q}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

لكل تسلسل α ₀ ، α ₁ ، α ₂ ، ... من الأعداد الحقيقية أو المركبة ، يُظهر البناء التالي وجود دالة سلسة F على خط الأعداد الحقيقية والتي لها هذه الأعداد كمشتقات في الأصل. ^[1] على وجه الخصوص، يمكن أن تظهر كل تسلسل من الأرقام كمعاملات لسلسلة تايلور لدالة سلسة. تُعرف هذه النتيجة باسم مبرهنة بوريل ، نسبة إلى إميل بوريل .

باستخدام دالة الانتقال السلس g كما هو موضح أعلاه، حدد

${\displaystyle h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

هذه الدالة h سلسة أيضًا؛ فهي تساوي 1 على الفترة المغلقة [−1,1] وتختفي خارج الفترة المفتوحة (−2,2). باستخدام h ، حدد لكل عدد طبيعي n (بما في ذلك الصفر) الدالة السلسة

${\displaystyle \psi _{n}(x)=x^{n}\,h(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

الذي يتفق مع أحادي الحد x ⁿ على [−1,1] ويختفي خارج الفاصل (−2,2). وبالتالي، فإن المشتقة k لـ ψ _n عند الأصل تلبي

${\displaystyle \psi _{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}n!&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\quad k,n\in \mathbb {N} _{0},}$

وتستلزم نظرية الحدود أن ψ _n وكل مشتقة من ψ _n محدودة. وبالتالي، فإن الثوابت

${\displaystyle \lambda _{n}=\max {\bigl \{}1,|\alpha _{n}|,\|\psi _{n}\|_{\infty },\|\psi _{n}^{(1)}\|_{\infty },\ldots ,\|\psi _{n}^{(n)}\|_{\infty }{\bigr \}},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},}$

تتضمن القاعدة العليا لـ ψ _n ومشتقاتها الأولى n ، وهي أعداد حقيقية محددة جيدًا. حدد الدوال المقاسة

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n}}}\psi _{n}(\lambda _{n}x),\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} .}$

من خلال التطبيق المتكرر لقاعدة السلسلة ،

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(x)={\frac {\alpha _{n}}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\psi _{n}^{(k)}(\lambda _{n}x),\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0},\;x\in \mathbb {R} ,}$

وباستخدام النتيجة السابقة للمشتقة ذات الرتبة k لـ ψ _n عند الصفر،

${\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\begin{cases}\alpha _{n}&{\text{if }}k=n,\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\qquad k,n\in \mathbb {N} _{0}.}$

يبقى أن نظهر أن الوظيفة

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ,}$

يتم تعريفها جيدًا ويمكن التمييز بينها حدًا بحدود لا نهائية من المرات. ^[2] ولتحقيق هذه الغاية، لاحظ أنه لكل k

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}^{(k)}\|_{\infty }\leq \sum _{n=0}^{k+1}{\frac {|\alpha _{n}|}{n!\,\lambda _{n}^{n-k}}}\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }+\sum _{n=k+2}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\underbrace {\frac {1}{\lambda _{n}^{n-k-2}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {|\alpha _{n}|}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}\underbrace {\frac {\|\psi _{n}^{(k)}\|_{\infty }}{\lambda _{n}}} _{\leq \,1}<\infty ,}$

حيث تتقارب السلسلة اللانهائية المتبقية عن طريق اختبار النسبة .

لكل نصف قطر r  > 0،

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\ni x\mapsto \Psi _{r}(x)=f(r^{2}-\|x\|^{2})}$

مع المعيار الإقليدي || x || يحدد دالة سلسة على فضاء إقليدي ذي أبعاد n مع دعم في الكرة ذات نصف القطر r ، ولكن . ${\displaystyle \Psi _{r}(0)>0}$

لا يمكن أن يحدث هذا المرض مع الدوال القابلة للاشتقاق لمتغير معقد بدلاً من متغير حقيقي. في الواقع، جميع الدوال المجسمة تحليلية ، وبالتالي فإن فشل الدالة f المحددة في هذه المقالة على أنها تحليلية على الرغم من كونها قابلة للاشتقاق إلى ما لا نهاية هو مؤشر على أحد أكثر الاختلافات دراماتيكية بين تحليل المتغير الحقيقي وتحليل المتغير المعقد.

لاحظ أنه على الرغم من أن الدالة f لها مشتقات من جميع الرتب على الخط الحقيقي، فإن الاستمرار التحليلي لـ f من نصف الخط الموجب x  > 0 إلى المستوى المركب ، أي أن الدالة

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}\ni z\mapsto e^{-{\frac {1}{z}}}\in \mathbb {C} ,}$

يحتوي على مفردة أساسية في الأصل، وبالتالي فهو ليس متصلاً، ناهيك عن كونه تحليليًا. وفقًا لنظرية بيكارد العظيمة ، فإنه يصل إلى كل قيمة مركبة (باستثناء الصفر) مرات لا نهائية في كل حي من الأصل.

• وظيفة النتوء
• دالة فابيوس
• وظيفة مسطحة
• مُلَطِّف

• "دالة قابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي وليست تحليلية". PlanetMath .