وظيفة فابيوس

في الرياضيات ، تعد دالة فابيوس مثالاً على دالة قابلة للتفاضل بلا حدود وليست تحليلية في أي مكان ، وقد اكتشفها ياب فابيوس ( 1966 ) . 

تحقق هذه الدالة الشرط الأولي${\displaystyle f(0)=0}$شرط التناظر${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$لـ​${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$والمعادلة التفاضلية الوظيفية

${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$

لـ​${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2}$وبناءً على ذلك${\displaystyle f(x)}$هل هي دالة متزايدة بشكل رتيب لـ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$، مع${\displaystyle f(1/2)=1/2}$و${\displaystyle f(1)=1}$و${\displaystyle f'(1-x)=f'(x)}$و​${\displaystyle f'(x)+f'({\tfrac {1}{2}}-x)=2}$جميع المشتقات تساوي صفرًا عند الصفر، أي${\displaystyle f'(0)=f''(0)=f'''(0)=\cdots =0}$وتكون جميعها أصفارًا عند جميع الأعداد الصحيحة الموجبة.

وقد تم تدوينها أيضًا على أنها تحويل فورييه لـ

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$

بقلم بورج جيسن وأوريل وينتنر ( 1935 ) . 

تُعرَّف دالة فابيوس على الفترة [0, 1]، وتُعطى بواسطة دالة التوزيع التراكمي لـ

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},}$

حيث تمثل ξ _n متغيرات عشوائية مستقلة موزعة توزيعًا منتظمًا على الفترة [0, 1] . ويبلغ متوسط ​​هذا التوزيع [قيمة متوقعة].${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$وتباين قدره${\displaystyle {\tfrac {1}{36}}}$⁠ .

يوجد امتداد فريد للدالة f إلى الأعداد الحقيقية يحقق نفس المعادلة التفاضلية لجميع قيم x . يمكن تعريف هذا الامتداد كما يلي: f ( x ) = 0 عندما x ≤ 0 ، و f ( x + 1) = 1 − f ( x ) عندما 0 ≤ x ≤ 1 ، و f ( x + 2r ⁾ = − f ( x ) عندما 0 ≤ x ≤ 2r ^، حيث r عدد صحيح موجب . يتبع تسلسل الفترات التي تكون فيها هذه الدالة موجبة أو سالبة نفس نمط متتالية ثو-مورس .

ترتبط دالة Rvachëv up ^{[ 1 ]} ارتباطًا وثيقًا بدالة Fabius f :$${\displaystyle u(t)={\begin{cases}f(t+1),\quad |t|<1\\0,\quad |t|\geq 1\end{cases}}.}$$إنها تحقق معادلة التفاضل التأخيري ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$ (انظر معادلة التفاضل التأخيري للحصول على مثال آخر.)

تكون دالة فابيوس ثابتة عند الصفر لجميع الوسائط غير الموجبة، وتأخذ قيمًا نسبية عند الوسائط النسبية الثنائية الموجبة . على سبيل المثال: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle f(1)=1}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{4}})={\tfrac {5}{72}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{8}})={\tfrac {1}{288}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{16}})={\tfrac {143}{2073600}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{32}})={\tfrac {19}{33177600}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{64}})={\tfrac {1153}{561842749440}}}$
• ${\displaystyle f({\tfrac {1}{128}})={\tfrac {583}{179789679820800}}}$

مع البسط المدرجة في OEIS : A272755  والمقامات في OEIS : A272757  .

${\displaystyle {\begin{aligned}\log f(x)&=-{\frac {\log ^{2}x}{2\log 2}}+{\frac {\log x\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}-\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1+\log \log 2}{\log 2}}\right)\log x-{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2}}+{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2}}\\&+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}-6\log ^{2}\log 2}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)+{\frac {\log ^{2}(-\log x)}{2\log 2\cdot \log x}}-{\frac {\log \log 2\cdot \log(-\log x)}{\log 2\cdot \log x}}+O\!\left({\frac {1}{\log x}}\right)\end{aligned}}}$

لـ​${\displaystyle x\to 0^{+}}$، حيث${\displaystyle \gamma }$هو ثابت أويلر ، و${\displaystyle \gamma _{1}}$هو ثابت ستيلتجس . أو بصورة مكافئة،

${\displaystyle \log f\!\left(2^{-n}\right)=-{\frac {n^{2}\log 2}{2}}-n\log n+\left(1+{\frac {\log 2}{2}}\right)n-{\frac {\log ^{2}n}{2\log 2}}+\left({\frac {6\gamma ^{2}+12\gamma _{1}-\pi ^{2}}{12\log 2}}-{\frac {7\log 2}{12}}-{\frac {\log \pi }{2}}\right)-{\frac {\log ^{2}n}{2n\log ^{2}2}}+O\!\left({\frac {1}{n}}\right)}$

لـ​${\displaystyle n\to \infty }$⁠ .

• فابيوس، ج. (1966)، “مثال احتمالي لوظيفة تحليلية C ^∞ لا مكان لها”، Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete ، 5 (2): 173– 174، دوى : 10.1007 / bf00536652 ، MR 0197656 ، S2CID 122126180  
• جيسن، بورغ ؛ وينتنر، أوريل (1935)، "دوال التوزيع ودالة زيتا لريمان"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 38 : 48-88 ، doi : 10.1090/S0002-9947-1935-1501802-5 ، MR 1501802 
• ديميتروف، يوري (2006). حلول متعددة الحدود لمعادلات وظيفية تفاضلية ذاتية ثنائية الأجزاء (أطروحة).
• أرياس دي رينا، خوان (2017). "حساب دالة فابيوس". arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].
• أرياس دي رينا، خوان (2017). "دالة قابلة للتفاضل بلا حدود ذات دعم مضغوط: التعريف والخصائص". arXiv : 1702.05442 [ math.CA ].(ترجمة إنجليزية لورقة المؤلف المنشورة بالإسبانية عام 1982)
• ألكاوسكاس، جيدريوس (2001)، سلسلة ديريشليه المرتبطة بمتتالية ثو-مورس، نسخة أولية .
• رفاتشيف، ف. ل .؛ رفاتشيف، ف. أ. (1979)، الطرق غير الكلاسيكية لنظرية التقريب في مسائل القيم الحدية (باللغة الروسية)، كييف: ناوكوفا دومكا