دالة مسطحة

الموسوعة الحرة
الرسم البياني لـو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }بحيثو(0)=0{\displaystyle f(0)=0}وذلك للجميعx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }،x≠0{\displaystyle x\neq 0}يشير إلىو(x)=هـ-1/x2{\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}

في التحليل الحقيقي ، تُعرَّف الدالة الحقيقية بأنها مسطحة عند نقطة في مجالها إذا كانت جميع مشتقاتها أو مشتقاتها الجزئية موجودة عند تلك النقطة ومتساوية.0{\displaystyle 0}.

تكون الدالة الحقيقية ثابتة محليًا (أي ثابتة في جوار واحد على الأقل ) لنقطة في داخل مجالها إذا وفقط إذا كانت الدالة مسطحة وتحليلية عند تلك النقطة.

مثال على دالة تكون مسطحة فقط عند نقطة معزولة هوو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }بحيثو(0)=0{\displaystyle f(0)=0}وذلك للجميعx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }،x≠0{\displaystyle x\neq 0}يشير إلىو(x)=هـ-1/x2{\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}}الوظيفةو{\displaystyle f}شقة فقط في0{\displaystyle 0}.

منذو{\displaystyle f}ليس تحليليًا في0{\displaystyle 0}امتدادو{\displaystyle f}لج{\displaystyle \mathbb {C} }ليس شكليًا عند0{\displaystyle 0}، لأنه بالنسبة للدوال المركبة، فإن التماثل الشكلي عند نقطة ما يستلزم التحليلية عند تلك النقطة.

أمثلة على بناء الدوال المسطحة غير التافهة

والمقصود بالدالة المسطحة غير التافهة هو دالة تكون مسطحة على الأقل عند نقطة واحدة في داخل نطاقها، ولكنها ليست ثابتة محليًا.

بناء الدوال المسطحة أحادية المتغير

يتركأ{\displaystyle a}ليكن عددًا حقيقيًا موجبًا ولتكنز:S→R{\displaystyle g:S\to \mathbb {R} }(أينS⊆R{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }هي منطقة مجاورة لنقطةx0∈R{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }) أن يكون بحيثز(x0)=0{\displaystyle g(x_{0})=0}وذلك للجميعx∈S{\displaystyle x\in S}،x≠x0{\displaystyle x\neq x_{0}}يشير إلىز(x)=هـ-|x-x0|-أ{\displaystyle g(x)=e^{-|x-x_{0}|^{-a}}}

ثمز{\displaystyle g}مسطح عندx0{\displaystyle x_{0}}.

بناء الدوال المسطحة متعددة المتغيرات

يتركجي:R→R{\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }يكون مسطحًا عند0{\displaystyle 0}ودعح:P→R{\displaystyle H:P\to \mathbb {R} }(أينن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }،x0{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}هون{\displaystyle n}متجه إحداثيات حقيقي ذو أبعاد n ، وP⊆Rن{\displaystyle P\subseteq \mathbb {R} ^{n}}هو حي منx0{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}) بحيث يكون لكلx∈P{\displaystyle \mathbf {x} \in P}،ح(x)=جي(||x-x0||){\displaystyle H(\mathbf {x} )=G(||\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}||)}، حيث للجميعص∈Rن{\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}،||ص||{\displaystyle ||\mathbf {p} ||}يشير إلى المعيار الإقليدي لـص{\displaystyle \mathbf {p} }.

ثمح{\displaystyle H}مسطح عندx0{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}.

شرط ضروري للتسطيح وعدم الثبات المحلي

يتركS⊆Rن{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}بالنسبة للبعضن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }ودعF:S→R{\displaystyle F:S\to \mathbb {R} }يكون مسطحًا عند نقطةx0{\displaystyle x_{0}}في داخلS{\displaystyle S}وليكن كذلك أنه بالنسبة لكل حيشمال{\displaystyle N}لx0{\displaystyle x_{0}}يوجدx∈شمال{\displaystyle x\in N}بحيثF(x)≠F(x0){\displaystyle F(x)\neq F(x_{0})}أي أنF{\displaystyle F}ليست ثابتة محليًا عندx0{\displaystyle x_{0}}. ثمF{\displaystyle F}غير تحليلي فيx0{\displaystyle x_{0}}.

دليل

لنفترض العكس، أي أنF{\displaystyle F}تحليلي فيx0{\displaystyle x_{0}}. منذF{\displaystyle F}مسطح عندx0{\displaystyle x_{0}}سلسلة تايلور لـF{\displaystyle F}فيx0{\displaystyle x_{0}}ثابت ويساويF(x0){\displaystyle F(x_{0})}بما أنه من المفترض أنF{\displaystyle F}تحليلي فيx0{\displaystyle x_{0}}إذن، يوجد حيشمال{\displaystyle N}لx0{\displaystyle x_{0}}بحيث يكون ذلك لجميعx∈شمال{\displaystyle x\in N}،F(x)=F(x0){\displaystyle F(x)=F(x_{0})}وهذا يتناقض مع ما هو عليه الحال بالنسبة لكل حيشمال{\displaystyle N}لx0{\displaystyle x_{0}}يوجدx∈شمال{\displaystyle x\in N}بحيثF(x)≠F(x0){\displaystyle F(x)\neq F(x_{0})}وبالتالي، بالتناقض،F{\displaystyle F}غير تحليلي فيx0{\displaystyle x_{0}}.

شرط كافٍ للتسطيح

يتركS⊆Rن{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}بالنسبة للبعضن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }ودعF:S→R{\displaystyle F:S\to \mathbb {R} }أن تكون قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية عند نقطةx0{\displaystyle x_{0}}في داخلS{\displaystyle S}وليكن كذلك أنه بالنسبة لكل حيشمال{\displaystyle N}لx0{\displaystyle x_{0}}يوجدx∈شمال{\displaystyle x\in N}بحيثF{\displaystyle F}مسطح عندx{\displaystyle x}. ثمF{\displaystyle F}مسطح عندx0{\displaystyle x_{0}}.

دليل

لنفترض العكس، أي أنF{\displaystyle F}ليست مسطحة عندx0{\displaystyle x_{0}}ثم يوجدك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }بحيث يكون أك{\displaystyle k}المشتقة الجزئية رقم -th لـF{\displaystyle F}(سمهاFك{\displaystyle F_{k}}) غير صفري عندx0{\displaystyle x_{0}}، إنه،Fك(x0)=ر{\displaystyle F_{k}(x_{0})=r}بالنسبة للبعضر∈R{\displaystyle r\in \mathbb {R} }بحيثر≠0{\displaystyle r\neq 0}. منذF{\displaystyle F}قابلة للتفاضل بلا حدود عندx0{\displaystyle x_{0}}، ثمFك{\displaystyle F_{k}}متصل عندx0{\displaystyle x_{0}}. منذر≠0{\displaystyle r\neq 0}، ثم|ر|/2>0{\displaystyle |r|/2>0}ثم يوجد حيشمال{\displaystyle N}لx0{\displaystyle x_{0}}بحيث يكون ذلك لجميعx∈شمال{\displaystyle x\in N}،|Fك(x)-Fك(x0)|<|ر|/2{\displaystyle |F_{k}(x)-F_{k}(x_{0})|<|r|/2}وهذا يعني|Fك(x)-ر|<|ر|/2{\displaystyle |F_{k}(x)-r|<|r|/2}أو بعبارة أخرى، Fك(x){\displaystyle F_{k}(x)}يقع في الفترة المفتوحة(مين⁡{ر/2،3ر/2}،الأعلى⁡{ر/2،3ر/2}){\displaystyle (\operatorname {min} \{r/2,3r/2\},\operatorname {max} \{r/2,3r/2\})}. منذر≠0{\displaystyle r\neq 0}،0∉(مين⁡{ر/2،3ر/2}،الأعلى⁡{ر/2،3ر/2}){\displaystyle 0\notin (\operatorname {min} \{r/2,3r/2\},\operatorname {max} \{r/2,3r/2\})}، لذاFك(x)≠0{\displaystyle F_{k}(x)\neq 0}وهذا يعني أنه يوجدك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }بحيث يكون أك{\displaystyle k}المشتقة الجزئية رقم -th لـF{\displaystyle F}لا يساوي الصفر عندx{\displaystyle x}وهذا يناقض ذلكF{\displaystyle F}تكون الأرض مستوية في نقطة واحدة على الأقل في كل حي من أحياءx0{\displaystyle x_{0}}وبالتالي، بالتناقض،F{\displaystyle F}مسطح عندx0{\displaystyle x_{0}}.

يمكن استخدام النتائج المذكورة أعلاه لإظهار أن دالة النتوء مسطحة وغير تحليلية عند كل نقطة حدودية لإغلاق دعمها .

استواء عمليات الاستيفاء السلسة

يتركs1∈R{\displaystyle s_{1}\in \mathbb {R} }وs2∈R{\displaystyle s_{2}\in \mathbb {R} }أن يكون على هذا النحوs1<s2{\displaystyle s_{1}<s_{2}}.

يتركأنا1⊂R{\displaystyle I_{1}\subset \mathbb {R} }ليكن فاصلاً داخلياً غير فارغ، مع قيمة علياs1{\displaystyle s_{1}}، وتحتوي علىs1{\displaystyle s_{1}}ودعأنا2⊂R{\displaystyle I_{2}\subset \mathbb {R} }ليكن فاصلاً داخلياً غير فارغ، مع حد أدنىs2{\displaystyle s_{2}}، وتحتوي علىs2{\displaystyle s_{2}}.

فيما يلي، يتم تحديد استمرارية، واستمرارية من جانب واحد، ونهايات من جانب واحد، وقابلية التفاضل، وسلاسة دالة متجهة إحداثية حقيقية على التوالي من خلال استمرارية، واستمرارية من جانب واحد، ونهايات من جانب واحد، وقابلية التفاضل، وسلاسة الدالة في كل إحداثي.

يتركن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. يتركر1:أنا1→Rن{\displaystyle \mathbf {r} _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}}تكون قابلة للتفاضل باستمرار عند كل نقطة في داخلأنا1{\displaystyle I_{1}}، متصل من اليسار عندs1{\displaystyle s_{1}}ويكون الحد الأيسر لمشتقاتها من جميع الرتب محدودًا عندs1{\displaystyle s_{1}}; دع أيضًا||ر1′(s)||=1{\displaystyle ||\mathbf {r} _{1}'(s)||=1}للجميعs∈عدد صحيح⁡(أنا1){\displaystyle s\in \operatorname {int} (I_{1})}. يتركر2:أنا2→Rن{\displaystyle \mathbf {r} _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}تكون قابلة للتفاضل باستمرار عند كل نقطة في داخلأنا2{\displaystyle I_{2}}، متصل من اليمين عندs2{\displaystyle s_{2}}ويكون الحد الأيمن لمشتقاتها من جميع الرتب محدودًا عندs2{\displaystyle s_{2}}; دع أيضًا||ر2′(s)||=1{\displaystyle ||\mathbf {r} _{2}'(s)||=1}للجميعs∈عدد صحيح⁡(أنا2){\displaystyle s\in \operatorname {int} (I_{2})}.

لنفترض منحنياتج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}كن صورًا لمجالاتر1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}ور2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}على التوالي. كلاهماج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}يسكنRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

استيفاء سلس بينج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}، بين النقاطر1(s1){\displaystyle \mathbf {r} _{1}(s_{1})}ور2(s2){\displaystyle \mathbf {r} _{2}(s_{2})}، هي صورة مجال الدالةر0:(s1،s2)→Rن{\displaystyle \mathbf {r} _{0}:(s_{1},s_{2})\to \mathbb {R} ^{n}}بحيث تكون النهاية اليسرى لـر0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}فيs1{\displaystyle s_{1}}يكونر1(s1){\displaystyle \mathbf {r} _{1}(s_{1})}، الحد الأيمن لـر0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}فيs2{\displaystyle s_{2}}يكونر2(s2){\displaystyle \mathbf {r} _{2}(s_{2})}ولجميعك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }، الحد الأيسر لـك{\displaystyle k}المشتقة النونية لـر0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}فيs1{\displaystyle s_{1}}يساوي الحد الأيمن لـك{\displaystyle k}المشتقة النونية لـر1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}فيs1{\displaystyle s_{1}}والحد الأيمن لـك{\displaystyle k}المشتقة النونية لـر0{\displaystyle \mathbf {r} _{0}}فيs2{\displaystyle s_{2}}يساوي الحد الأيسر لـك{\displaystyle k}المشتقة النونية لـر2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}فيs2{\displaystyle s_{2}}. استيفاء سلس بينج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}يُعرَّف بأنه يمتلكجي∞{\displaystyle G^{\infty }}الاستمرارية ( الاستمرارية الهندسية من جميع الرتب) معج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}.

يتركر:أنا1∪(s1،s2)∪أنا2→Rن{\displaystyle \mathbf {r} :I_{1}\cup (s_{1},s_{2})\cup I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}}أن يكون بحيث: لكلs∈أنا1{\displaystyle s\in I_{1}}،ر(s)=ر1(s){\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} _{1}(s)}للجميعs∈(s1،s2){\displaystyle s\in (s_{1},s_{2})}،ر(s)=ر0(s){\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} _{0}(s)}ولجميعs∈أنا2{\displaystyle s\in I_{2}}،ر(s)=ر2(s){\displaystyle \mathbf {r} (s)=\mathbf {r} _{2}(s)}.

لوج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}هي قطع مستقيمة،ر{\displaystyle \mathbf {r} }مسطح بالضرورة عندs1{\displaystyle s_{1}}وs2{\displaystyle s_{2}}. لوج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}إذا كانت القطع المستقيمة غير متوازية، فلا بد من وجود نقطة في[s1،s2]{\displaystyle [s_{1},s_{2}]}عندهار{\displaystyle \mathbf {r} }غير تحليلي. إذا لم تكن القطع الطرفية للاستيفاء السلس امتدادات مستقيمة لقطع مستقيمةج1{\displaystyle C_{1}}وج2{\displaystyle C_{2}}،ر{\displaystyle \mathbf {r} }بالضرورة غير تحليلي عندs1{\displaystyle s_{1}}وs2{\displaystyle s_{2}}.

انظر أيضاً

مراجع

  • جلايستر، ب. (ديسمبر 1991)، دالة مسطحة ذات خصائص مثيرة للاهتمام وتطبيق ، المجلة الرياضية، المجلد 75، العدد 474، الصفحات 438-440، JSTOR 3618627