خريطة مفتوحة تقريبًا

الموسوعة الحرة

في التحليل الوظيفي والمجالات الرياضية ذات الصلة ، تُعرَّف الدالة شبه المفتوحة بين الفضاءات الطوبولوجية بأنها دالة تحقق شرطًا مشابهًا لشرط كونها دالة مفتوحة ، ولكنه أضعف منه . وكما هو موضح أدناه، بالنسبة لبعض الفئات العامة من فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، فإن جميع المؤثرات الخطية الشاملة تكون بالضرورة شبه مفتوحة.

التعريفات

بالنظر إلى خريطة شاملةو:X→Y،{\displaystyle f:X\to Y,}نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}يُطلق عليه اسمنقطة انفتاح لـو{\displaystyle f}وو{\displaystyle f}يقال إنه مفتوح فيx{\displaystyle x}(أو خريطة مفتوحة علىx{\displaystyle x}) إذا كان لكل حي مفتوحيو{\displaystyle U}لx،{\displaystyle x,}و(يو){\displaystyle f(U)}هو حي منو(x){\displaystyle f(x)}فيY{\displaystyle Y}(لاحظ أن الحيو(يو){\displaystyle f(U)}(ليس من الضروري أن يكون الحي مفتوحاً ).

تُسمى الدالة الشاملة دالة مفتوحة إذا كانت مفتوحة عند كل نقطة من نطاقها، بينما تُسمى دالة شبه مفتوحة إذا كان لكل ليف من أليافها نقطة انفتاح. وبعبارة أدق، الدالة الشاملةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}يقال إنه مفتوح تقريبًا إذا كان لكلy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}يوجد بعضx∈و-1(y){\displaystyle x\in f^{-1}(y)}بحيثو{\displaystyle f}مفتوح فيx.{\displaystyle x.} كل تطبيق شامل شبه مفتوح هو بالضرورةالخريطة شبه المفتوحة (التي قدمهاألكسندر أرهانجيلسكيفي عام 1963)، والتي تعني بحكم تعريفها أنه لكلy∈Y{\displaystyle y\in Y}وكل حييو{\displaystyle U}لو-1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}(إنه،و-1(y)⊆عدد صحيحX⁡يو{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U})و(يو){\displaystyle f(U)}هو بالضرورة حي منy.{\displaystyle y.}

خريطة خطية مفتوحة تقريبًا

خريطة خطيةتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}يُطلق على العلاقة بين فضاءين متجهيين طوبولوجيين اسمخريطة خطية شبه مفتوحة أوخريطة خطية شبه مفتوحةإذا كانت لأي حييو{\displaystyle U}ل0{\displaystyle 0}فيX،{\displaystyle X,}إغلاقتي(يو){\displaystyle T(U)}فيY{\displaystyle Y}هي جوار نقطة الأصل. ومن المهم الإشارة إلى أن بعض المؤلفين يستخدمون تعريفًا مختلفًا لـ "الخريطة شبه المفتوحة" حيث يشترطون بدلاً من ذلك أن تكون الخريطة الخطيةتي{\displaystyle T}يلبي: أي حييو{\displaystyle U}ل0{\displaystyle 0}فيX،{\displaystyle X,}إغلاقتي(يو){\displaystyle T(U)}فيتي(X){\displaystyle T(X)}(بدلاً من فيY{\displaystyle Y}) هي منطقة مجاورة للأصل؛ ولن تستخدم هذه المقالة هذا التعريف. [ 1 ]

إذا كانت الخريطة خطيةتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}سيكون مفتوحًا تقريبًا حينها لأنتي(X){\displaystyle T(X)}هو فضاء متجهي جزئي منY{\displaystyle Y}التي تحتوي على منطقة مجاورة للأصل فيY،{\displaystyle Y,}الخريطةتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو بالضرورة شامل . لهذا السبب، يشترط العديد من المؤلفين الشمولية كجزء من تعريف "شبه مفتوح".

لوتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كان مؤثرًا خطيًا تقابليًا، فإنتي{\displaystyle T}يكاد يكون مفتوحاً إذا وفقط إذاتي-1{\displaystyle T^{-1}}شبه متصلة . [ 1 ]

العلاقة بالخرائط المفتوحة

كل تطبيق مفتوح شامل هو تطبيق شبه مفتوح، ولكن بشكل عام، ليس العكس صحيحًا بالضرورة. إذا كان التطبيق الشاملو:(X،τ)→(Y،σ){\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}إذا كانت الخريطة شبه مفتوحة، فستكون خريطة مفتوحة إذا استوفت الشرط التالي (شرط لا يعتمد بأي شكل من الأشكال علىY{\displaystyle Y}طوبولوجياσ{\displaystyle \sigma }):

حينمام،ن∈X{\displaystyle m,n\in X}ينتمي إلى نفس نوع الأليافو{\displaystyle f}(إنه،و(م)=و(ن){\displaystyle f(m)=f(n)}ثم لكل حييو∈τ{\displaystyle U\in \tau }لم،{\displaystyle m,}يوجد بعض الأحياءV∈τ{\displaystyle V\in \tau }لن{\displaystyle n}بحيثF(V)⊆F(يو).{\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}

إذا كانت الخريطة متصلة، فإن الشرط المذكور أعلاه ضروري أيضًا لكي تكون الخريطة مفتوحة. أي، إذاو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا كانت دالة شاملة متصلة، فإنها تكون دالة مفتوحة إذا وفقط إذا كانت مفتوحة تقريبًا وتفي بالشرط المذكور أعلاه.

نظريات التطبيق المفتوح

النظرية : [ 1 ] إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو مؤثر خطي شامل من فضاء محدب محليًاX{\displaystyle X}إلى مساحة برميليةY{\displaystyle Y}ثمتي{\displaystyle T}يكاد يكون مفتوحاً .
النظرية : [ 1 ] إذاتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو عامل خطي شامل من TVSX{\displaystyle X}إلى مساحة بايرY{\displaystyle Y}ثمتي{\displaystyle T}يكاد يكون مفتوحاً .

لا تتطلب النظريتان المذكورتان أعلاه أن يفي التطبيق الخطي الشامل بأي شروط طوبولوجية.

النظرية : [ 1 ] إذاX{\displaystyle X}هو جهاز TVS كامل قابل للقياس الزائف ،Y{\displaystyle Y}هو تلفزيون هاوسدورف، وتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}إذا كان تطبيقًا خطيًا مغلقًا وشبه مفتوح ، فإنتي{\displaystyle T}هي خريطة مفتوحة.
النظرية : [ 1 ] لنفترضتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هو عامل خطي متصل من TVS كامل قابل للقياس الزائفX{\displaystyle X}إلى تلفزيون هاوسدورفY.{\displaystyle Y.}إذا كانت صورةتي{\displaystyle T}غير ضئيل فيY{\displaystyle Y}ثمتي:X→Y{\displaystyle T:X\to Y}هي خريطة مفتوحة شاملة وY{\displaystyle Y}هو فضاء قابل للقياس بالكامل.

انظر أيضاً

مراجع

فهرس