نموذج هوبارد

يُعدّ نموذج هوبارد نموذجًا مبسطًا يُستخدم لوصف الانتقال بين الأنظمة الموصلة والأنظمة العازلة . ^{[ 1 ]} وهو مفيد بشكل خاص في فيزياء الحالة الصلبة . سُمّي النموذج نسبةً إلى جون هوبارد .

ينص نموذج هوبارد على أن كل إلكترون يتعرض لقوى متنافسة: إحداها تدفعه للنفق الكمومي إلى الذرات المجاورة، بينما تدفعه الأخرى بعيدًا عنها. ^{[ 2 ]} وبالتالي، يتكون هاميلتونيان هذا النموذج من حدين: حد حركي يسمح بالنفق الكمومي ("القفز") للجسيمات بين مواقع الشبكة، وحد كامن يعكس التفاعل في الموقع نفسه. يمكن أن تكون الجسيمات إما فرميونات ، كما في عمل هوبارد الأصلي، أو بوزونات ، وفي هذه الحالة يُشار إلى النموذج باسم " نموذج بوز-هوبارد ".

يُعدّ نموذج هوبارد تقريبًا مفيدًا للجسيمات في جهد دوري عند درجات حرارة منخفضة بما فيه الكفاية، حيث يُفترض أن جميع الجسيمات تقع في أدنى نطاق بلوخ ، ويمكن تجاهل التفاعلات بعيدة المدى بين الجسيمات. إذا أُخذت التفاعلات بين الجسيمات في مواقع مختلفة من الشبكة في الاعتبار، يُشار إلى النموذج غالبًا باسم "نموذج هوبارد الموسّع". على وجه الخصوص، يُشار إلى حد هوبارد، الذي يُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle U}$يُستخدم هذا النموذج في عمليات المحاكاة القائمة على المبادئ الأولية باستخدام نظرية الكثافة الوظيفية (DFT). يُعدّ تضمين حد هوبارد في عمليات محاكاة DFT أمرًا بالغ الأهمية، إذ يُحسّن من دقة التنبؤ بتمركز الإلكترونات، وبالتالي يمنع التنبؤ الخاطئ بالتوصيل المعدني في الأنظمة العازلة. ^{[ 3 ]}

يُدخل نموذج هوبارد تفاعلات قصيرة المدى بين الإلكترونات إلى نموذج الترابط القوي ، الذي يقتصر على الطاقة الحركية (مصطلح "القفز") والتفاعلات مع ذرات الشبكة البلورية (جهد "ذري"). عندما يكون التفاعل بين الإلكترونات قويًا، قد يختلف سلوك نموذج هوبارد نوعيًا عن نموذج الترابط القوي. على سبيل المثال، يتنبأ نموذج هوبارد بشكل صحيح بوجود عوازل موت : وهي مواد عازلة بسبب التنافر القوي بين الإلكترونات، على الرغم من أنها تستوفي المعايير المعتادة للموصلات، مثل وجود عدد فردي من الإلكترونات في وحدة الخلية.

تم اقتراح النموذج في الأصل عام 1963 لوصف الإلكترونات في المواد الصلبة. ^{[ 4 ]} وقد اقترحه كل من جون هوبارد ومارتن غوتزويلر وجونجيرو كاناموري بشكل مستقل. ^{[ 2 ]}

ومنذ ذلك الحين، تم تطبيقها على دراسة الموصلية الفائقة عند درجات الحرارة العالية ، والمغناطيسية الكمومية، وموجات كثافة الشحنة. ^{[ 5 ]}

يعتمد نموذج هوبارد على تقريب الترابط الوثيق من فيزياء الحالة الصلبة ، والذي يصف حركة الجسيمات في جهد دوري، يُشار إليه عادةً بالشبكة . في المواد الحقيقية، قد يتوافق كل موقع في الشبكة مع نواة أيونية، وتكون الجسيمات هي إلكترونات التكافؤ لهذه الأيونات. في تقريب الترابط الوثيق، يُكتب الهاميلتوني بدلالة حالات وانير ، وهي حالات موضعية متمركزة على كل موقع في الشبكة. ترتبط حالات وانير في المواقع المتجاورة في الشبكة، مما يسمح للجسيمات في موقع ما بالانتقال إلى موقع آخر. رياضيًا، تُعطى قوة هذا الارتباط بواسطة "تكامل الانتقال" بين المواقع القريبة. يُقال إن النظام في حد الترابط الوثيق عندما تتناقص قوة تكاملات الانتقال بسرعة مع المسافة. يسمح هذا الاقتران بتهجين الحالات المرتبطة بكل موقع شبكي، وتكون الحالات الذاتية لهذا النظام البلوري دوال بلوخ ، حيث تُقسّم مستويات الطاقة إلى نطاقات طاقة منفصلة . ويعتمد عرض النطاقات على قيمة تكامل القفز.

يُدخل نموذج هوبارد تفاعلاً تلامسياً بين جسيمات ذات دوران متعاكس في كل موقع من مواقع الشبكة. عند استخدام نموذج هوبارد لوصف أنظمة الإلكترونات، يُتوقع أن تكون هذه التفاعلات تنافرية، ناتجة عن تفاعل كولوم المحجوب . مع ذلك، فقد تم أخذ التفاعلات الجاذبة في الاعتبار بشكل متكرر. تتحدد فيزياء نموذج هوبارد بالتنافس بين قوة تكامل القفز، الذي يُميز الطاقة الحركية للنظام ، وقوة حد التفاعل. بالتالي، يُمكن لنموذج هوبارد تفسير الانتقال من المعدن إلى العازل في بعض الأنظمة المتفاعلة. على سبيل المثال، استُخدم لوصف أكاسيد المعادن عند تسخينها، حيث يؤدي التزايد المقابل في المسافة بين أقرب الجيران إلى تقليل تكامل القفز إلى النقطة التي يصبح فيها جهد الموقع هو السائد. وبالمثل، يمكن لنموذج هوبارد أن يفسر الانتقال من موصل إلى عازل في أنظمة مثل البيروكورات الأرضية النادرة مع زيادة العدد الذري للمعدن الأرضي النادر، لأن معلمة الشبكة تزداد (أو يمكن أن تتغير الزاوية بين الذرات أيضًا) مع زيادة العدد الذري للعنصر الأرضي النادر، مما يغير الأهمية النسبية لتكامل القفز مقارنة بالتنافر في الموقع.

تحتوي ذرة الهيدروجين على إلكترون واحد، في ما يسمى بالمدار s ، والذي يمكن أن يكون دورانه لأعلى (${\displaystyle \uparrow }$) أو إيقاف الدوران (${\displaystyle \downarrow }$). يمكن أن يشغل هذا المدار إلكترونين على الأكثر، أحدهما ذو دوران لأعلى والآخر لأسفل (انظر مبدأ استبعاد باولي ).

وفقًا لنظرية النطاقات ، بالنسبة لسلسلة أحادية البعد من ذرات الهيدروجين، يشكل المدار 1s نطاقًا متصلًا، يكون نصف ممتلئ تمامًا. وبالتالي، يُتوقع أن تكون سلسلة ذرات الهيدروجين أحادية البعد موصلة وفقًا لنظرية النطاقات التقليدية. هذه السلسلة أحادية البعد هي التكوين الوحيد البسيط بما يكفي لحله مباشرةً. ^{[ 2 ]}

لكن في حالة زيادة المسافة بين ذرات الهيدروجين تدريجياً، يجب أن تصبح السلسلة عازلة في مرحلة ما.

باستخدام نموذج هوبارد، يتكون الهاميلتوني من حدين. يصف الحد الأول الطاقة الحركية للنظام، والتي يتم تحديدها بواسطة تكامل القفز.${\displaystyle t}$أما المصطلح الثاني فهو التفاعل في الموقع للقوة${\displaystyle U}$يمثل ذلك تنافر الإلكترونات. وعند كتابة هاميلتونيان هوبارد باستخدام ترميز التكميم الثاني ، فإنه يأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

أين${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$هو عامل كثافة اللف المغزلي لللف المغزلي${\displaystyle \sigma }$على${\displaystyle i}$الموقع رقم -th. عامل الكثافة هو${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$واحتلال${\displaystyle i}$الموقع رقم -th للدالة الموجية${\displaystyle \Phi }$يكون${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle }$. عادة${\displaystyle t}$يُعتبر ذلك إيجابياً، و${\displaystyle U}$قد تكون إيجابية أو سلبية، ولكن يُفترض أنها إيجابية عند النظر في الأنظمة الإلكترونية.

بدون مساهمة الحد الثاني، يتحول الهاميلتوني إلى صيغة الربط المحكم من نظرية النطاقات العادية.

يؤدي تضمين الحد الثاني إلى نموذج واقعي يتنبأ أيضًا بانتقال من موصل إلى عازل كنسبة بين التفاعل والقفز.${\displaystyle U/t}$، وهي متغيرة. يمكن تعديل هذه النسبة، على سبيل المثال، عن طريق زيادة المسافة بين الذرات، مما يقلل من مقدار${\displaystyle t}$دون التأثير${\displaystyle U}$في الحد حيث${\displaystyle U/t\gg 1}$، ببساطة، تتحول السلسلة إلى مجموعة من العزوم المغناطيسية المنعزلة . إذا${\displaystyle U/t}$إذا لم تكن قيمة التكامل التراكبي كبيرة جدًا، فإنه يسمح بتفاعلات التبادل الفائق بين العزوم المغناطيسية المتجاورة، مما قد يؤدي إلى مجموعة متنوعة من الارتباطات المغناطيسية المثيرة للاهتمام، مثل الارتباطات المغناطيسية الحديدية والمغناطيسية المضادة للحديد، وما إلى ذلك، وذلك اعتمادًا على معلمات النموذج. وقد تم حل نموذج هوبارد أحادي البعد بواسطة ليب وو باستخدام فرضية بيث . وقد تحقق تقدم جوهري في التسعينيات: حيث تم اكتشاف تناظر خفي ، وتم تقييم مصفوفة التشتت ، ودوال الارتباط ، والترابط الديناميكي الحراري والكمي . ^{[ 6 ]}

على الرغم من أن نموذج هوبارد مفيد في وصف أنظمة مثل سلسلة أحادية البعد من ذرات الهيدروجين، إلا أن الأنظمة الأكثر تعقيدًا قد تتعرض لتأثيرات أخرى لا يأخذها هذا النموذج في الحسبان. وبشكل عام، يمكن تقسيم العوازل إلى عوازل موت-هوبارد وعوازل نقل الشحنة .

يمكن وصف عازل موت-هوبارد على النحو التالي:

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

يمكن اعتبار هذا مماثلاً لنموذج هوبارد لسلاسل الهيدروجين، حيث يمكن وصف التوصيل بين الخلايا الوحدوية بواسطة تكامل النقل.

ومع ذلك، من الممكن أن تُظهر الإلكترونات نوعًا آخر من السلوك:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

يُعرف هذا بانتقال الشحنة، وينتج عنه عوازل انتقال الشحنة . على عكس عوازل موت-هوبارد، يحدث انتقال الإلكترون داخل وحدة الخلية فقط.

قد يكون كلا هذين التأثيرين موجودين ويتنافسان في الأنظمة الأيونية المعقدة.

أدى عدم التوصل إلى حل تحليلي لنموذج هوبارد في أبعاد عشوائية إلى إجراء بحوث مكثفة في الطرق العددية لأنظمة الإلكترونات المترابطة بشدة. ^{[ 7 ] [ 8 ]} يتمثل أحد الأهداف الرئيسية لهذه البحوث في تحديد مخطط الطور عند درجات الحرارة المنخفضة لهذا النموذج، لا سيما في بعدين. ويمكن إجراء معالجة عددية تقريبية لنموذج هوبارد على الأنظمة المحدودة باستخدام طرق متنوعة.

إحدى هذه الطرق، وهي خوارزمية لانكزوس ، قادرة على إنتاج الخصائص الثابتة والديناميكية للنظام. تتطلب حسابات الحالة الأرضية باستخدام هذه الطريقة تخزين ثلاثة متجهات بحجم عدد الحالات. يتناسب عدد الحالات تناسبًا أُسّيًا مع حجم النظام، مما يحدّ من عدد المواقع في الشبكة إلى حوالي 20 على أجهزة القرن الحادي والعشرين. باستخدام طريقة مونت كارلو للإسقاط وطريقة مونت كارلو للحقل المساعد ذي درجة الحرارة المحدودة ، توجد طريقتان إحصائيتان يمكنهما الحصول على خصائص معينة للنظام. عند درجات الحرارة المنخفضة، تظهر مشاكل في التقارب تؤدي إلى جهد حسابي أُسّي مع انخفاض درجة الحرارة بسبب ما يُعرف بمشكلة إشارة الفرميون .

يمكن دراسة نموذج هوبارد ضمن نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي (DMFT). تقوم هذه النظرية بتحويل هاميلتوني هوبارد إلى نموذج شوائب أحادي الموقع ، وهو تحويل دقيق شكليًا فقط في الأبعاد اللانهائية، بينما في الأبعاد المحدودة، يتوافق مع المعالجة الدقيقة لجميع الارتباطات المحلية البحتة فقط. تسمح نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي بحساب دالة غرين المحلية لنموذج هوبارد لحالة معينة.${\displaystyle U}$ودرجة حرارة معينة. ضمن نظرية المجال الديناميكي المتوسط، يمكن حساب تطور الدالة الطيفية ويمكن ملاحظة ظهور نطاقات هوبارد العلوية والسفلية مع ازدياد الارتباطات.

استُخدمت رُزم من ثنائي الكالكوجينيدات الانتقالية ثنائية الأبعاد غير المتجانسة (TMDs) لمحاكاة الأشكال الهندسية في أكثر من بُعد. رُصّت طبقات من ثنائي سيلينيد التنجستن وكبريتيد التنجستن، مما أدى إلى تكوين شبكة فائقة مويريه تتكون من خلايا فائقة سداسية (وحدات تكرار تُحددها العلاقة بين المادتين). تتصرف كل خلية فائقة كما لو كانت ذرة واحدة. تبلغ المسافة بين الخلايا الفائقة حوالي 100 ضعف المسافة بين الذرات داخلها. هذه المسافة الأكبر تُقلل بشكل كبير من نفق الإلكترونات عبر الخلايا الفائقة. ^{[ 2 ]}

يمكن استخدامها لتكوين بلورات ويغنر . ويمكن توصيل الأقطاب الكهربائية لتنظيم المجال الكهربائي . يتحكم المجال الكهربائي في عدد الإلكترونات التي تملأ كل خلية فائقة. ويحدد عدد الإلكترونات في كل خلية فائقة نوع "الذرة" التي تحاكيها الشبكة. فإلكترون واحد لكل خلية يتصرف مثل الهيدروجين، وإلكترونان لكل خلية مثل الهيليوم، وهكذا. اعتبارًا من عام 2022، أصبح من الممكن محاكاة خلايا فائقة تحتوي على ما يصل إلى ثمانية إلكترونات ( الأكسجين ). وأظهرت إحدى نتائج المحاكاة أن الفرق بين المعدن والعازل هو دالة مستمرة لشدة المجال الكهربائي. ^{[ 2 ]}

يسمح نظام التراص "المعكوس" بإنشاء عازل تشيرن عبر تأثير هول الكمي الشاذ (حيث تعمل حواف الجهاز كموصل بينما يعمل الجزء الداخلي كعازل). وقد عمل الجهاز عند درجة حرارة 5 كلفن ، وهي أعلى بكثير من درجة الحرارة التي لوحظ عندها التأثير لأول مرة. ^{[ 2 ]}

• نموذج شوائب أندرسون
• نظرية بلوخ
• بنية النطاق الإلكتروني
• فيزياء الحالة الصلبة
• نموذج بوز-هوبارد
• نموذج tJ
• نموذج هايزنبرغ (الكمي)
• نظرية المجال المتوسط ​​الديناميكي
• معيار المدمن

• هوبارد، ج. (1963). "ارتباطات الإلكترون في نطاقات طاقة ضيقة". وقائع الجمعية الملكية في لندن . 276 (1365): 238-257 . Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR 2414761. S2CID 35439962 .  
• باخ، ف.؛ ليب، إي. إتش.؛ سولوفي، جيه. بي. (1994). "نظرية هارتري-فوك المعممة ونموذج هوبارد". مجلة الفيزياء الإحصائية . 76 ( 1-2 ): 3. arXiv : cond-mat/9312044 . Bibcode : 1994JSP....76....3B . doi : 10.1007/BF02188656 . S2CID 207143 . 
• ليب، إي إتش (1995). "نموذج هوبارد: بعض النتائج الدقيقة والمسائل المفتوحة". المؤتمر الدولي الحادي عشر، مطبعة دولية (؟) . 1995 : cond–mat/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
• جيبهارد، ف. (1997). "الانتقال من المعدن إلى العازل". انتقال موت من المعدن إلى العازل: نماذج وأساليب . سلسلة سبرينغر في الفيزياء الحديثة. المجلد  137. سبرينغر . الصفحات 1-48 . ISBN  9783540614814.
• ليب، إي إتش؛ وو، إف واي (2003). "نموذج هوبارد أحادي البعد: استذكار". فيزيكا أ . 321 (1): 1-27 . arXiv : cond-mat/0207529 . Bibcode : 2003PhyA..321....1L . doi : 10.1016/S0378-4371(02)01785-5 . S2CID 44758937 . 
• أروفاس، دانيال ب.؛ بيرغ، إيريز؛ كيفيلسون، ستيفن؛ راهغو، سري (2022). "نموذج هوبارد". المراجعة السنوية لفيزياء المادة المكثفة . 13 : 239-274 . arXiv : 2103.12097 . Bibcode : 2022ARCMP..13..239A . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-031620-102024 .
• تشين، مينغبو؛ شيفر، توماس؛ أندرجاسن، سابين؛ كوربوز، فيليب؛ غول، إيمانويل (2022). "نموذج هوبارد: منظور حسابي". المراجعة السنوية لفيزياء المادة المكثفة . 13 : 275-302 . arXiv : 2104.00064 . Bibcode : 2022ARCMP..13..275Q . doi : 10.1146/annurev-conmatphys-090921-033948 . S2CID 260725458 .