Bethe ansatz

في الفيزياء ، تُستخدم فرضية بيث لحساب الدوال الموجية الدقيقة لأنظمة ميكانيكا الكم متعددة الأجسام، وغالبًا في بُعد مكاني واحد. وقد قدم هانز بيث هذه الفرضية عام 1931 للحصول على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية الدقيقة لنموذج هايزنبرغ أحادي البعد المضاد للمغناطيسية والمتناحي الخواص (XXX) . ^{[ 1 ]}

تم تعميم هذا النهج لاحقاً إلى طريقة التشتت العكسي الكمومي (QISM) وفرضية بيث الجبرية ، مما شكل أساس نظرية الأنظمة التكاملية الحديثة . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ومنذ ذلك الحين، تم توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل سلاسل الدوران الأخرى، ونماذج الشبكة الإحصائية ، والديناميكا المائية المعممة . ^{[ 4 ]}

كانت "مسائل Bethe ansatz" أحد المواضيع التي ظهرت في قسم "للتعلم" على سبورة ريتشارد فاينمان وقت وفاته. ^{[ 5 ]}

في إطار ميكانيكا الكم متعددة الأجسام ، يمكن مقارنة النماذج القابلة للحل باستخدام فرضية بيث بنماذج الفرميونات الحرة . ديناميكيات النموذج الحر قابلة للاختزال إلى نموذج الجسم الواحد: دالة الموجة متعددة الأجسام للفرميونات ( البوزونات ) هي حاصل الضرب المتناظر (المتناظر) لدوال الموجة أحادية الجسم. أما النماذج القابلة للحل باستخدام فرضية بيث فهي أنظمة متفاعلة: قطاعها ثنائي الجسم له مصفوفة تشتت غير تافهة تعتمد على زخم الجسيمات.

على النقيض من ذلك، فإن هذه النماذج قابلة للاختزال إلى نموذج ثنائي الجسيمات: إذ يمكن تحليل مصفوفة التشتت متعددة الجسيمات إلى حاصل ضرب مصفوفات التشتت ثنائية الجسيمات. تحدث تصادمات الجسيمات المتعددة على شكل سلاسل من التفاعلات الثنائية، ويمكن تمثيل الدالة الموجية الكلية بالكامل بدلالة حالات التشتت ثنائية الجسيمات. وتساوي مصفوفة التشتت الكلية حاصل الضرب المرتب لهذه المصفوفات الثنائية.

${\displaystyle \Psi _{M}(j_{1},\cdots ,j_{M})=\prod _{M\geq a>b\geq 1}\operatorname {sgn} (j_{a}-j_{b})\sum _{P\in {\mathfrak {S}}_{M}}(-1)^{[P]}\exp \left(i\sum _{a=1}^{M}k_{P_{a}}j_{a}+{\frac {i}{2}}\sum _{M\geq a>b\geq 1}\operatorname {sgn} (j_{a}-j_{b})\phi (k_{P_{a}},k_{P_{b}})\right),}$

أين${\displaystyle M}$هو عدد الجسيمات،${\displaystyle j_{a}\ (a=1,\cdots M)}$موقفهم،${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{M}}$هي مجموعة جميع تباديل الأعداد الصحيحة${\displaystyle 1,\cdots ,M}$؛${\displaystyle (-1)^{[P]}=\pm 1}$زوجية التبديل${\displaystyle P}$؛${\displaystyle k_{a}}$هو الزخم (شبه) لـ${\displaystyle a}$الجسيم رقم -،${\displaystyle \phi }$هي دالة إزاحة طور التشتت و${\displaystyle \operatorname {sgn} }$هي دالة الإشارة . هذا الشكل عالمي (على الأقل بالنسبة للأنظمة غير المتداخلة)، حيث تعتمد دوال الزخم والتشتت على النموذج.

تضمن معادلة يانغ -باكستر اتساق البناء. ^{[ 6 ]} مبدأ استبعاد باولي صالح للنماذج القابلة للحل بواسطة فرضية بيث، حتى بالنسبة لنماذج البوزونات المتفاعلة .

الحالة الأرضية هي كرة فيرمي . تؤدي الشروط الحدية الدورية إلى معادلات بيث أنساتز، أو ببساطة معادلات بيث. يمكن توليد معادلات بيث أنساتز في صيغتها اللوغاريتمية بواسطة فعل يانغ . مربع معيار دالة موجة بيث يساوي محدد مصفوفة هيسيان لفعل يانغ. ^{[ 7 ]}

يُعدّ أسلوب التشتت العكسي الكمومي ، أو فرضية بيث الجبرية، تعميمًا جوهريًا، حيث يُقدّم فرضية لجبر المؤثرات الأساسية التي "سمحت بحل فئة واسعة من معادلات التطور غير الخطية". ^{[ 8 ]}

تعتمد الحلول الدقيقة لما يُسمى بنموذج sd (الذي وضعه ب.  ب.  ويغمان ^{[ 9 ]} عام 1980، وبشكل مستقل وضعه ن.  أندريه ^{[ 10 ]} أيضًا عام 1980) ونموذج أندرسون (الذي وضعه ب.  ب.  ويغمان ^{[ 11 ]} عام 1981، ووضعه ن.  كاواكامي وأ.  أوكيجي ^{[ 12 ]} عام 1981) على فرضية بيث. وتوجد تعميمات متعددة القنوات لهذين النموذجين قابلة أيضًا للحلول الدقيقة (من قِبل ن.  أندريه وس.  ديستري ^{[ 13 ]} ، ومن قِبل س.  ج  . بوليتش ​​ون.  أندريه ^{[ 14 ]} ). وقد تم مؤخرًا تحقيق العديد من النماذج القابلة للحل باستخدام فرضية بيث تجريبيًا في المواد الصلبة والشبكات البصرية. وقد لعب جان سيباستيان كو وأليكسي تسفليك دورًا هامًا في الوصف النظري لهذه التجارب .

هناك العديد من الطرق المماثلة التي تندرج تحت اسم Bethe ansatz

• فرضية بيث الجبرية. ^{[ 15 ]} طريقة التشتت العكسي الكمي هي طريقة الحل بواسطة فرضية بيث الجبرية، وهما مترادفان عمليًا.
• فرضية بيث التحليلية
• إحداثيات بيت أنساتز ( هانز بيته 1931 ) 
• وظيفية Bethe ansatz ^{[ 16 ] [ 17 ]}
• فرضية بيث المتداخلة
• الديناميكية الحرارية بيث أنساتز (CN Yang & C. P. Yang 1969 ) 

يمكن حل الأنظمة التالية باستخدام فرضية بيث

• نموذج شوائب أندرسون
• نموذج غودين
• سلسلة دوران هايزنبرغ XXX و XXZ للدوران العشوائي${\displaystyle s}$
• نموذج هوبارد
• نموذج كوندو
• نموذج ليب-لينجر
• نموذج ذو ستة رؤوس ونموذج ذو ثمانية رؤوس (عبر سلسلة دوران هايزنبرغ)

• 1928: نشر فيرنر هايزنبرغ نموذجه . ^{[ 18 ]}
• 1930: اقترح فيليكس بلوخ فرضية مبسطة للغاية تحسب بشكل خاطئ عدد حلول معادلة شرودنغر لسلسلة هايزنبرغ. ^{[ 19 ]}
• 1931: يقترح هانز بيث الفرضية الصحيحة ويوضح بدقة أنها تعطي العدد الصحيح من الدوال الذاتية. ^{[ 1 ]}
• 1938: حصل لامك هولثين على طاقة الحالة الأرضية الدقيقة لنموذج هايزنبرغ. ^{[ 20 ]}
• 1958: استخدم ريموند لي أورباخ فرضية بيث لحل نموذج هايزنبرغ مع التفاعلات غير المتناحية. ^{[ 21 ]}
• 1962: حصل J. des Cloizeaux و JJ Pearson على الطيف الصحيح للمغناطيس المضاد للحديد هايزنبرغ (علاقة تشتت سبينون)، ^{[ 22 ]} موضحين أنه يختلف عن تنبؤات نظرية الموجة الدورانية لأندرسون ^{[ 23 ]} (العامل الثابت مختلف).
• في عام 1963، قدم إليوت إتش. ليب وفيرنر لينجر الحل الدقيق لنموذج غاز بوز المتفاعل أحادي البعد ذي دالة دلتا ^{[ 24 ]} (المعروف الآن بنموذج ليب-لينجر ). درس ليب الطيف وحدد نوعين أساسيين من الإثارات. ^{[ 25 ]}
• 1964: حصل روبرت ب. غريفيث على منحنى المغنطة لنموذج هايزنبرغ عند درجة حرارة الصفر المطلق. ^{[ 26 ]}
• في عام 1966، أثبت كلٌ من سي إن يانغ وسي بي يانغ بدقة أن الحالة الأرضية لسلسلة هايزنبرغ تُعطى بواسطة فرضية بيث. ^{[ 27 ]} وقد درسا الخصائص والتطبيقات في ^{[ 28 ]} و ^{[ 29 ] .}
• 1967: قام سي إن يانغ بتعميم حل ليب ولينيغر لغاز بوز المتفاعل مع دالة دلتا إلى تناظر تبديل عشوائي للدالة الموجية، مما أدى إلى ظهور فرضية بيث المتداخلة. ^{[ 30 ]}
• 1968: قام إليوت إتش. ليب وإف واي وو بحل نموذج هوبارد أحادي البعد. ^{[ 31 ]}
• 1969: حصل كل من CN Yang و CP Yang على الديناميكا الحرارية لنموذج Lieb-Liniger، ^{[ 32 ]} مما يوفر أساسًا لـ Bethe ansatz الديناميكي الحراري (TBA).

• مقدمة إلى منهج بيث أنساتز