تقريب WKB

عادةً ما تكون المتسلسلة التقاربية لـ y ( x ) متسلسلة متباعدة ، والتي يكون حدها العام${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$يبدأ في الزيادة بعد قيمة معينة${\displaystyle n=n_{\textrm {max}}}$لذلك، فإن أصغر خطأ تحققه طريقة WKB هو في أفضل الأحوال من رتبة الحد الأخير المضمن.

بالنسبة للمعادلة$${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$ مع${\displaystyle Q(x)<0}$دالة تحليلية ، القيمة${\displaystyle n_{\max }}$ويمكن تقدير مقدار الحد الأخير على النحو التالي: ^{[ 17 ]}$${\displaystyle n_{\max }\approx {\frac {2}{\varepsilon }}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$$${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}e^{-n_{\max }},}$$أين${\displaystyle x_{0}}$هي النقطة التي${\displaystyle y(x_{0})}$يجب تقييمها و${\displaystyle x_{\ast }}$هي نقطة التحول (المعقدة) حيث${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$الأقرب إلى${\displaystyle x=x_{0}}$.

الرقم${\displaystyle n_{\max }}$يمكن تفسير ذلك على أنه عدد التذبذبات بين${\displaystyle x_{0}}$وأقرب نقطة تحول.

لو${\displaystyle \varepsilon ^{-1}Q(x)}$هي دالة تتغير ببطء، $${\displaystyle \varepsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$ الرقم${\displaystyle n_{\max }}$سيكون كبيرًا، وسيكون الحد الأدنى للخطأ في السلسلة التقاربية صغيرًا بشكل أسي.

من الحالة:$${\displaystyle \left(S_{0}'(x)\right)^{2}-\left(p(x)\right)^{2}+\hbar \left(2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x)\right)=0}$$

وبناءً على ذلك:${\textstyle \hbar \left|2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\right|+\hbar \left|iS_{0}''(x)\right|\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|+\left|(p(x))^{2}\right|}$

وبالتالي فإن المتباينتين التاليتين متكافئتان لأن الحدود في كلا الجانبين متكافئة، كما هو مستخدم في تقريب WKB:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|\\2\hbar \left|S_{0}'S_{1}'\right|&\ll \left|(p'(x))^{2}\right|\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام المتباينة الأولى لإثبات ما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|&\ll {\frac {\left|p\right|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

أين${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$يتم استخدامه و${\textstyle \lambda (x)}$يمثل طول موجة دي برولي المحلية للدالة الموجية. تشير المتباينة إلى افتراض أن تغير الجهد يتغير ببطء. ^{[ 19 ] [ 20 ]} يمكن إعادة صياغة هذا الشرط أيضًا على أنه التغير النسبي لـ${\textstyle E-V(x)}$أو زخم${\textstyle p(x)}$، على طول الموجة${\textstyle \lambda }$كونها أصغر بكثير من${\textstyle 1}$[ ^{21 ]​}

وبالمثل، يمكن إثبات أن${\textstyle \lambda (x)}$كما أن هناك قيودًا تستند إلى افتراضات أساسية لتقريب WKB، وهي:$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$وهذا يعني أن طول موجة دي برولي للجسيم يتغير ببطء. ^{[ 20 ]}

سندرس الآن سلوك الدالة الموجية بالقرب من نقاط الانعطاف. لهذا، نحتاج إلى طريقة مختلفة. بالقرب من نقاط الانعطاف الأولى،${\displaystyle x_{1}}$، على المدى${\textstyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$يمكن توسيعها في سلسلة قوى،$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$أولاً، يجد المرء$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$تُعرف هذه المعادلة التفاضلية باسم معادلة آيري ، ويمكن كتابة الحل بدلالة دوال آيري ، ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x)&=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\\[6pt]&=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).\end{aligned}}}$$على الرغم من أنه لأي قيمة ثابتة لـ${\displaystyle \hbar }$تكون دالة الموجة محدودة بالقرب من نقاط الانعطاف، وستكون دالة الموجة في ذروتها هناك، كما هو موضح في الصور أعلاه.${\displaystyle \hbar }$كلما صغرت قيمة ، ازداد ارتفاع دالة الموجة عند نقاط الانعطاف. ويترتب على هذا التقريب أيضًا ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\hbar }}\int p(x)\,dx&={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx\\&={\frac {2}{3}}\left[{\sqrt[{3}]{U_{1}}}\left(x-a\right)\right]^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}$$

يبقى الآن بناء حلٍّ شامل (تقريبي) لمعادلة شرودنغر. لكي تكون دالة الموجة قابلة للتكامل التربيعي، يجب أن نأخذ فقط الحل المتناقص أُسِّيًّا في المنطقتين المحظورتين كلاسيكيًّا. يجب بعد ذلك أن "تتصل" هذه الحلول بشكل صحيح عبر نقاط الانعطاف بالمنطقة المسموحة كلاسيكيًّا. بالنسبة لمعظم قيم E ، لن تنجح عملية المطابقة هذه: الدالة التي يتم الحصول عليها عن طريق توصيل الحل بالقرب من${\displaystyle +\infty }$لن تتفق المنطقة المسموح بها كلاسيكيًا مع الدالة التي تم الحصول عليها عن طريق توصيل الحل بالقرب من${\displaystyle -\infty }$إلى المنطقة المسموح بها كلاسيكيًا. يفرض شرط توافق الدالتين شرطًا على الطاقة E ، مما سيعطي تقريبًا لمستويات الطاقة الكمومية الدقيقة.

يمكن حساب معاملات دالة الموجة لمسألة بسيطة موضحة في الشكل. لنفترض أن نقطة التحول الأولى، حيث يتناقص الجهد مع x، تحدث عند${\displaystyle x=x_{1}}$وتحدث نقطة التحول الثانية، حيث يزداد الجهد مع زيادة قيمة x، عند${\displaystyle x=x_{2}}$. بالنظر إلى أننا نتوقع أن تكون الدوال الموجية على النحو التالي، يمكننا حساب معاملاتها عن طريق ربط المناطق المختلفة باستخدام دوال آيري وبايري.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[A\exp \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)+B\exp \left(-{\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\right]\\[6pt]\Psi _{E>V}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[C\cos \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)+D\sin \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

دالة الموجة المتذبذبة المشتركة

مطابقة الحلين للمنطقة${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$، يُشترط أن يكون الفرق بين الزوايا في هذه الدوال هو${\displaystyle \pi (n+1/2)}$حيث${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$يُفسر فرق الطور تحويل دالة الموجة من دالة جيب التمام إلى دالة الجيب، و${\displaystyle n\pi }$الفرق يكمن في إمكانية حدوث نفي الدالة عن طريق وضع${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$. هكذا: $${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi \hbar ,}$$ حيث n عدد صحيح غير سالب. ويمكن إعادة صياغة هذا الشرط على النحو التالي:

المساحة المحصورة بمنحنى الطاقة الكلاسيكي هي${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$.

في كلتا الحالتين، فإن الشرط المتعلق بالطاقة هو نسخة من شرط التكميم لبور-سومرفيلد ، مع " تصحيح ماسلوف " يساوي 1/2. ^{[ 24 ]}

من الممكن إثبات أنه بعد تجميع التقريبات في مختلف المناطق، نحصل على تقريب جيد للدالة الذاتية الفعلية . وعلى وجه الخصوص، تُعد طاقات بور-سومرفيلد المصححة وفقًا لماسلوف تقريبات جيدة للقيم الذاتية الفعلية لمؤثر شرودنغر. ^{[ 25 ]} وبالتحديد، يكون الخطأ في الطاقات صغيرًا مقارنةً بالتباعد النموذجي لمستويات الطاقة الكمومية. وبالتالي، على الرغم من أن "النظرية الكمومية القديمة" لبور وسومرفيلد قد استُبدلت في نهاية المطاف بمعادلة شرودنغر، إلا أن بعض آثار تلك النظرية لا تزال باقية، كتقريب للقيم الذاتية لمؤثر شرودنغر المناسب.

يمكن بعد ذلك حساب كثافة الاحتمال المرتبطة بدالة الموجة التقريبية. احتمال وجود الجسيم الكمومي في المنطقة المحظورة كلاسيكيًا ضئيل. في المقابل، في المنطقة المسموحة كلاسيكيًا، يُقارب احتمال وجود الجسيم الكمومي في فترة زمنية معينة نسبة الوقت الذي يقضيه الجسيم الكلاسيكي في تلك الفترة خلال دورة حركية واحدة. ^{[ 26 ]} بما أن سرعة الجسيم الكلاسيكي تتلاشى عند نقاط الانعطاف، فإنه يقضي وقتًا أطول بالقرب من هذه النقاط مقارنةً بالمناطق المسموحة كلاسيكيًا الأخرى. تُفسر هذه الملاحظة ذروة دالة الموجة (وكثافة احتمالها) بالقرب من نقاط الانعطاف.

يتم تناول تطبيقات طريقة WKB لمعادلات شرودنغر مع مجموعة كبيرة ومتنوعة من الإمكانات ومقارنتها بطرق الاضطراب وتكاملات المسار في مولر-كيرستن.

يمكن التعبير عن إمكانات هذه الأنظمة بالشكل التالي:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

أين${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

إيجاد دالة الموجة في المنطقة المقيدة، أي ضمن نقاط الانعطاف الكلاسيكية${\textstyle x_{1}}$و${\textstyle x_{2}}$، من خلال النظر في التقريبات البعيدة عن${\textstyle x_{1}}$و${\textstyle x_{2}}$لدينا حلان على التوالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}\end{aligned}}}$$

بما أن دالة الموجة يجب أن تتلاشى بالقرب من${\textstyle x_{1}}$نختتم${\textstyle \alpha =0}$للمناسبات ذات الإضاءة الجيدة بالقرب من${\textstyle x_{2}}$نحن بحاجة${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$نشترط أن يكون للزوايا ضمن هذه الدوال فرق في الطور${\displaystyle \pi (n+1/2)}$حيث${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$يُفسر فرق الطور تحويل الإشارة الجيبية إلى إشارة جيب التمام،${\displaystyle n\pi }$السماح${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$.

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$حيث n عدد صحيح غير سالب. ^{[ 19 ]} لاحظ أن الطرف الأيمن من هذه المعادلة سيكون بدلاً من ذلك${\displaystyle \pi (n-1/4)}$إذا كان n مسموحًا له فقط بالأعداد الطبيعية غير الصفرية.

وهكذا نستنتج أنه بالنسبة لـ${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$ في ثلاثة أبعاد ذات تناظر كروي، ينطبق الشرط نفسه حيث يتم استبدال الموضع x بالمسافة القطرية r، وذلك لتشابهه مع هذه المسألة. ^{[ 27 ]}

يمكن التعبير عن إمكانات هذه الأنظمة بالشكل التالي:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

أين${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

ل${\textstyle E\geq V(x)}$بين${\textstyle x_{1}}$و${\textstyle x_{2}}$والتي تُعدّ بالتالي نقاط التحول الكلاسيكية، من خلال النظر في التقريبات البعيدة عن${\textstyle x_{1}}$و${\textstyle x_{2}}$لدينا حلان على التوالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)\end{aligned}}}$$

بما أن الدوال الموجية يجب أن تتلاشى عند${\textstyle x_{1}}$و${\textstyle x_{2}}$هنا، لا يلزم سوى مراعاة فرق الطور.${\displaystyle n\pi }$مما يسمح${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$وبالتالي يصبح الشرط كالتالي:

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ أين${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$لكنها لا تساوي الصفر لأن ذلك يجعل دالة الموجة تساوي صفرًا في كل مكان. ^{[ 19 ]}

ضع في اعتبارك الاحتمالات التالية التي تتعرض لها الكرة المرتدة:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

يمكن إيجاد حلول دالة الموجة المذكورة أعلاه باستخدام طريقة WKB من خلال النظر فقط في حلول التكافؤ الفردي للجهد البديل${\displaystyle V(x)=mg|x|}$تم تحديد نقاط التحول الكلاسيكية${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$و${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$وبالتالي، بتطبيق شرط التكميم الذي تم الحصول عليه في WKB:

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

تأجير${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$أين${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$، حل لـ${\textstyle E}$مع المعطيات${\displaystyle V(x)=mg|x|}$، نحصل على الطاقة الميكانيكية الكمومية للكرة المرتدة: ^{[ 28 ]}

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

وتتفق هذه النتيجة أيضًا مع استخدام المعادلة من الحالة المقيدة لجدار صلب واحد دون الحاجة إلى النظر في جهد بديل.

يمكن التعبير عن إمكانات هذه الأنظمة بالشكل التالي:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

أين${\textstyle x_{1}<x_{2}}$.

حلولها لموجة ساقطة تُعطى على النحو التالي

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}Ae^{ik_{0}x}+Be^{-ik_{0}x}&{\text{if }}x<x_{1}\\[1ex]{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx\right)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\[1ex]De^{ik_{0}x}&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$

مع${\displaystyle k_{0}=p_{0}/\hbar }$حيث تكون دالة الموجة في المنطقة المحظورة كلاسيكيًا هي تقريب WKB مع إهمال النمو الأسي. وهذا افتراض منطقي بالنسبة لحواجز الجهد الواسعة التي لا يُتوقع أن تنمو دالة الموجة من خلالها إلى قيم عالية.

بناءً على شرط استمرارية الدالة الموجية ومشتقاتها، يمكن إثبات العلاقة التالية:$${\displaystyle {\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

أين${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$و${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$.

استخدام${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$نعبر عن القيم بدون علامات كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{inc.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2}\right)\\J_{\text{ref.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2}\right)\\J_{\text{trans.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|D|^{2}\right)\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن معامل النقل هو:

$${\displaystyle T={\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{\left(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}}\right)}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

أين${\textstyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$،${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$و${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$ويمكن التعبير عن النتيجة على النحو التالي:${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$أين${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$[ ^{19 ]​}

• تشايلد، إم إس (1991). الميكانيكا شبه الكلاسيكية مع تطبيقات جزيئية . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 0-19-855654-3.
• فرومان، ن.؛ فرومان، ب.-أ. (1965). تقريب JWKB: مساهمات في النظرية . أمستردام: نورث هولاند.
• غريفيث، ديفيد ج. (2004). مقدمة في ميكانيكا الكم (  الطبعة الثانية). برنتيس هول. ISBN 0-13-111892-7.
• هول، برايان سي. (2013)، "تقريب WKB"، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  267، سبرينغر، الصفحات 305-331 ، Bibcode : 2013qtm..book.....H ، ISBN  978-1461471158
• ليبوف، ريتشارد ل. (2003). مقدمة في ميكانيكا الكم (  الطبعة الرابعة). أديسون-ويسلي. ISBN 0-8053-8714-5.
• أولفر، فرانك ويليام جون (1974). التقاربات والدوال الخاصة . دار النشر الأكاديمية. ISBN 0-12-525850-X.
• رازافي، محسن (2003). نظرية الكم للنفق الكمومي . وورلد ساينتيفيك. ISBN 981-238-019-1.