معادلة تفاضلية متجانسة

يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية متجانسة من جانبين.

يُقال إن المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى متجانسة إذا أمكن كتابتها على النحو التالي:$${\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,}$$ حيث f و g دالتان متجانستان من نفس الدرجة لـ x و y . ^{[ 1 ]} في هذه الحالة، يؤدي تغيير المتغير y = ux إلى معادلة على الصورة التالية: $${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,}$$ وهو أمر يسهل حله عن طريق دمج العنصرين.

بخلاف ذلك، تكون المعادلة التفاضلية متجانسة إذا كانت دالة متجانسة للدالة المجهولة ومشتقاتها. في حالة المعادلات التفاضلية الخطية ، يعني هذا عدم وجود حدود ثابتة. يمكن استنتاج حلول أي معادلة تفاضلية خطية عادية من أي رتبة بالتكامل من حل المعادلة المتجانسة الناتج عن حذف الحد الثابت.

تم تطبيق مصطلح "متجانس" لأول مرة على المعادلات التفاضلية بواسطة يوهان برنولي في القسم 9 من مقالته التي نشرها عام 1726 بعنوان "De integraionibus aequationum differentialium " (حول تكامل المعادلات التفاضلية). ^{[ 2 ]}

معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى على الصورة التالية:

$${\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0}$$

يكون النوع متجانسًا إذا كانت كلتا الدالتين M ( x , y ) و N ( x , y ) دالتين متجانستين من نفس الدرجة n . ^{[ 3 ]} أي، بضرب كل متغير في المعامل λ ، نجد

$${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.}$$

هكذا، $${\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.}$$

تُسمى المعادلة التفاضلية الخطية متجانسة إذا كانت معادلة خطية متجانسة في الدالة المجهولة ومشتقاتها. ويترتب على ذلك أنه إذا كانت φ ( x ) حلاً، فإن cφ ( x ) حلاً أيضاً ، لأي ثابت c (غير صفري) . ولكي يتحقق هذا الشرط، يجب أن يعتمد كل حد غير صفري في المعادلة التفاضلية الخطية على الدالة المجهولة أو أي مشتقة لها. أما المعادلة التفاضلية الخطية التي لا تحقق هذا الشرط فتُسمى غير متجانسة.

يمكن تمثيل المعادلة التفاضلية الخطية كمؤثر خطي يعمل على y ( x ) ، حيث x عادةً ما يكون المتغير المستقل و y هو المتغير التابع. وبالتالي، فإن الشكل العام للمعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة هو

$${\displaystyle L(y)=0}$$

حيث L هو عامل تفاضلي ، وهو مجموع المشتقات (مع تعريف "المشتقة الصفرية" على أنها الدالة الأصلية غير المشتقة)، كل منها مضروب في دالة f _i لـ x :

$${\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,}$$ حيث قد تكون f _i ثوابت، ولكن ليس كل f _i قد تكون صفرًا.

على سبيل المثال، المعادلة التفاضلية الخطية التالية متجانسة:

$${\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,}$$

بينما الاثنان التاليان غير متجانسين:

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;}$$

$${\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.}$$ إن وجود حد ثابت هو شرط كافٍ لكي تكون المعادلة غير متجانسة، كما هو الحال في المثال أعلاه.

• فصل المتغيرات

• بويس، ويليام إي.؛ ديبريما، ريتشارد سي. (2012)، المعادلات التفاضلية الأولية ومسائل القيم الحدية (  الطبعة العاشرة)، وايلي، ISBN 978-0470458310(هذا مرجع تمهيدي جيد حول المعادلات التفاضلية.)
• إنس، إي إل (1956)، المعادلات التفاضلية العادية ، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 0486603490{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) . (هذا مرجع كلاسيكي حول المعادلات التفاضلية العادية، نُشر لأول مرة عام 1926.)
• أندريه د. بوليانين؛ فالنتين ف. زايتسيف (15 نوفمبر 2017). دليل المعادلات التفاضلية العادية: الحلول الدقيقة، والأساليب، والمسائل . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-4665-6940-9.
• ماثيو ر. بويلكينز؛ جاك ل. غولدبيرغ؛ ميرل س. بوتر (5 نوفمبر 2009). المعادلات التفاضلية مع الجبر الخطي . مطبعة جامعة أكسفورد. ص  274 وما يليها. ISBN 978-0-19-973666-9.

• المعادلات التفاضلية المتجانسة في عالم الرياضيات
• ويكي بوكس: المعادلات التفاضلية العادية/التعويض 1