تغيير المتغيرات

يمكن حل بعض الأنظمة بسهولة أكبر عند التحويل إلى الإحداثيات القطبية . لنأخذ على سبيل المثال المعادلة

${\displaystyle U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.}$

قد تكون هذه دالة طاقة كامنة لمسألة فيزيائية ما. إذا لم يجد المرء حلاً على الفور، فيمكنه تجربة الاستبدال.

${\displaystyle \displaystyle (x,y)=\Phi (r,\theta )}$مقدم من${\displaystyle \displaystyle \Phi (r,\theta )=(r\cos(\theta ),r\sin(\theta )).}$

لاحظ أنه إذا${\displaystyle \theta }$يركض خارج${\displaystyle 2\pi }$على سبيل المثال، فاصل زمني بطول معين.${\displaystyle [0,2\pi ]}$الخريطة${\displaystyle \Phi }$لم تعد دالة تقابلية. لذلك،${\displaystyle \Phi }$ينبغي أن يقتصر على، على سبيل المثال${\displaystyle (0,\infty ]\times [0,2\pi )}$لاحظ كيف${\displaystyle r=0}$مستبعد، لـ${\displaystyle \Phi }$ليست تقابلية في الأصل (${\displaystyle \theta }$يمكن أن تأخذ أي قيمة، وسيتم تعيين النقطة إلى (0، 0). ثم، يتم استبدال جميع حالات المتغيرات الأصلية بالتعبيرات الجديدة المحددة بواسطة${\displaystyle \Phi }$وباستخدام الهوية${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$، نحصل

${\displaystyle V(r,\theta )=r^{2}{\sqrt {1-{\frac {r^{2}\cos ^{2}\theta }{r^{2}}}}}=r^{2}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}=r^{2}\left|\sin \theta \right|.}$

يمكن الآن إيجاد الحلول بسهولة:${\displaystyle \sin(\theta )=0}$، لذا${\displaystyle \theta =0}$أو${\displaystyle \theta =\pi }$بتطبيق معكوس${\displaystyle \Phi }$يُظهر أن هذا يُعادل${\displaystyle y=0}$بينما${\displaystyle x\not =0}$في الواقع، نرى ذلك بالنسبة لـ${\displaystyle y=0}$تتلاشى الدالة، باستثناء نقطة الأصل.

لاحظ أنه لو سمحنا${\displaystyle r=0}$، وكان الأصل سيمثل حلاً أيضاً، على الرغم من أنه ليس حلاً للمشكلة الأصلية. هنا تكمن خاصية التقابل لـ${\displaystyle \Phi }$أمر بالغ الأهمية. الدالة موجبة دائمًا (لـ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ومن هنا تأتي القيم المطلقة.

تُستخدم قاعدة السلسلة لتبسيط التفاضل المعقد. على سبيل المثال، لننظر في مسألة حساب المشتقة

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).}$

يترك${\displaystyle y=\sin u}$مع${\displaystyle u=x^{2}.}$ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}&&{\text{This part is the chain rule.}}\\[6pt]&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2})\end{aligned}}}$

يمكن في كثير من الأحيان حساب التكاملات المعقدة بتغيير المتغيرات؛ وهذا ممكن بفضل قاعدة التعويض ، وهو مشابه لاستخدام قاعدة السلسلة المذكورة أعلاه. كما يمكن حل التكاملات المعقدة بتبسيط التكامل باستخدام تغيير المتغيرات المُعطى بواسطة مصفوفة جاكوبي ومحددها . ^{[ 1 ]} يُعد استخدام محدد جاكوبي وتغيير المتغيرات الناتج عنه أساسًا لأنظمة الإحداثيات مثل أنظمة الإحداثيات القطبية والأسطوانية والكروية.

يتم تدريس تغييرات المتغيرات للتفاضل والتكامل في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، ونادراً ما يتم تنفيذ الخطوات بالكامل.

يتضح الاستخدام الواسع النطاق لتغييرات المتغيرات عند دراسة المعادلات التفاضلية، حيث يمكن تغيير المتغيرات المستقلة باستخدام قاعدة السلسلة ، أو تغيير المتغيرات التابعة مما يستلزم إجراء عملية تفاضل. قد تكون التغييرات غير المألوفة، مثل دمج المتغيرات التابعة والمستقلة في تحويلات النقطة والتماس ، معقدة للغاية، لكنها تتيح مجالًا واسعًا من المرونة.

في كثير من الأحيان، يتم استبدال شكل عام للتغيير في المشكلة ويتم اختيار المعلمات على طول الطريق لتبسيط المشكلة على أفضل وجه.

ربما يكون أبسط تغيير هو تغيير مقياس المتغيرات وإزاحتها، أي استبدالها بمتغيرات جديدة يتم "تمديدها" و"نقلها" بمقادير ثابتة. هذا شائع جدًا في التطبيقات العملية لاستخراج المعاملات الفيزيائية من المسائل. بالنسبة للمشتقة من ^الرتبة n ، ينتج عن التغيير ببساطة ما يلي:

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}={\frac {y_{\text{scale}}}{x_{\text{scale}}^{n}}}{\frac {d^{n}{\hat {y}}}{d{\hat {x}}^{n}}}}$

أين

${\displaystyle x={\hat {x}}x_{\text{scale}}+x_{\text{shift}}}$

${\displaystyle y={\hat {y}}y_{\text{scale}}+y_{\text{shift}}.}$

يمكن إثبات ذلك بسهولة من خلال قاعدة السلسلة وخطية التفاضل. هذا التغيير شائع جدًا في التطبيقات العملية لاستخراج المعاملات الفيزيائية من المسائل، على سبيل المثال، مسألة القيمة الحدية.

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {dp}{dx}}\quad$ ;\quad u(0)=u(L)=0}

يصف هذا التدفق المتوازي للسائل بين جدران صلبة مسطحة تفصل بينها مسافة δ؛ μ هي اللزوجة و${\displaystyle dp/dx}$تدرج الضغط ، كلاهما ثابتان. بتغيير مقياس المتغيرات، تصبح المسألة

${\displaystyle {\frac {d^{2}{\hat {u}}}{d{\hat {y}}^{2}}}=1\quad$ ;\quad {\hat {u}}(0)={\hat {u}}(1)=0}

أين

${\displaystyle y={\hat {y}}L\qquad {\text{and}}\qquad u={\hat {u}}{\frac {L^{2}}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}.}$

يُعدّ التحجيم مفيدًا لأسباب عديدة. فهو يُبسّط التحليل بتقليل عدد المعاملات، ويجعل المسألة أكثر وضوحًا. وقد يُؤدي التحجيم المناسب إلى توحيد المتغيرات، أي جعلها ذات نطاق منطقي بدون وحدات، مثل 0 إلى 1. وأخيرًا، إذا تطلّبت المسألة حلًا عدديًا، فكلما قلّ عدد المعاملات قلّ عدد العمليات الحسابية.

لنفترض نظامًا من المعادلات

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {v}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]m{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial v}}\end{aligned}}}$

لدالة معينة${\displaystyle H(x,v)}$يمكن التخلص من الكتلة عن طريق الاستبدال (البسيط)${\displaystyle \Phi (p)=1/m\cdot p}$من الواضح أن هذه دالة تقابلية من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} }$بموجب الاستبدال${\displaystyle v=\Phi (p)}$يصبح النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}\\[5pt]{\dot {x}}&={\frac {\partial H}{\partial p}}\end{aligned}}}$

بافتراض وجود مجال قوة${\displaystyle \varphi (t,x,v)}$معادلات نيوتن للحركة هي​

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\varphi (t,x,v).}$

درس لاغرانج كيف تتغير معادلات الحركة هذه في ظل استبدال عشوائي للمتغيرات.${\displaystyle x=\Psi (t,y)}$،${\displaystyle v={\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial t}}+{\frac {\partial \Psi (t,y)}{\partial y}}\cdot w.}$

وقد وجد أن المعادلات

${\displaystyle {\frac {\partial {L}}{\partial y}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {L}}{\partial {w}}}}$

وهي مكافئة لمعادلات نيوتن للدالة${\displaystyle L=T-V}$، حيث T هي الطاقة الحركية، و V هي الطاقة الكامنة.

في الواقع، عندما يتم اختيار الاستبدال بشكل جيد (استغلال على سبيل المثال التناظرات والقيود الخاصة بالنظام) فإن هذه المعادلات أسهل بكثير في الحل من معادلات نيوتن في الإحداثيات الديكارتية.