تفكيك المجموعات

في الفيزياء ، تنص خاصية تفكيك التجمعات على أن التجارب التي تُجرى في أماكن متباعدة لا يمكن أن تؤثر على بعضها البعض. وتُطبق هذه الخاصية عادةً على نظرية الحقل الكمومي ، حيث تتطلب أن تتحلل القيم المتوقعة للفراغ لحاصل ضرب المؤثرات المتمركزة في مناطق محدودة من الفضاء كلما ابتعدت هذه المناطق عن بعضها البعض بما فيه الكفاية. وقد صاغ إيفيند ويشمان وجيمس هـ. كريشتون هذه الخاصية لأول مرة عام 1963 في سياق مصفوفة التشتت (S -matrix) ، ^{[ 1 ]} وافترض ستيفن واينبرغ في " نظرية شعبية " أنه في حد الطاقة المنخفضة ، تؤدي خاصية تفكيك التجمعات، إلى جانب ثبات لورنتز وميكانيكا الكم ، حتمًا إلى نظرية الحقل الكمومي. وتُحقق نظرية الأوتار الشروط الثلاثة جميعها، وبالتالي تُقدم مثالًا مضادًا ضد صحة ذلك على جميع مستويات الطاقة. ^{[ 2 ]}

مصفوفة S​${\displaystyle S_{\beta \alpha }}$يصف سعة التشتت لعملية ذات حالة ابتدائية${\displaystyle \alpha }$يتطور إلى حالة نهائية${\displaystyle \beta }$إذا كانت الحالتان الابتدائية والنهائية تتكونان من مجموعتين، مع${\displaystyle \alpha _{1}}$و${\displaystyle \beta _{1}}$قريبين من بعضهما البعض لكنهما بعيدان عن بعضهما البعض${\displaystyle \alpha _{2}}$و${\displaystyle \beta _{2}}$إذاً، تتطلب خاصية تحليل المجموعات أن تتحلل مصفوفة S إلى عوامل

${\displaystyle S_{\beta \alpha }\rightarrow S_{\beta _{1}\alpha _{1}}S_{\beta _{2}\alpha _{2}}}$

مع ازدياد المسافة بين المجموعتين. التفسير الفيزيائي لذلك هو أن أي تجربتين منفصلتين مكانيًا بشكل جيد${\displaystyle \alpha _{1}\rightarrow \beta _{1}}$و${\displaystyle \alpha _{2}\rightarrow \beta _{2}}$لا يمكنها التأثير على بعضها البعض. ^{[ 3 ]} هذا الشرط أساسيٌّ لقدرة الفيزياء على العمل دون الحاجة إلى معرفة حالة الكون بأكمله . وذلك بتوسيع مصفوفة S بدلالة عناصر مصفوفة S المتصلة.${\displaystyle S_{\beta \alpha }^{c}}$، والتي على مستوى الاضطراب تعادل مخططات فاينمان المتصلة ، يمكن إعادة صياغة خاصية تفكيك المجموعة على أنها تتطلب أن تتلاشى عناصر مصفوفة S المتصلة كلما كانت بعض مجموعات الجسيمات بعيدة عن بعضها البعض.

يمكن أيضًا إعادة صياغة صيغة فضاء الموضع هذه بدلالة مصفوفة S لفضاء الزخم .${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}}$^{[ 4 ]} بما أن تحويل فورييه الخاص بها يعطي مصفوفة S المتصلة بفضاء الموضع ، فإن هذا يعتمد فقط على الموضع من خلال الحدود الأسية. لذلك، فإن إجراء إزاحة منتظمة في اتجاه${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$سيؤدي تطبيق ذلك على مجموعة فرعية من الجسيمات إلى تغيير مصفوفة S في فضاء الزخم بشكل فعال كما

${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}\xrightarrow {{\boldsymbol {x}}_{i}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{i}+{\boldsymbol {a}}} e^{i{\boldsymbol {a}}\cdot (\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i})}{\tilde {S}}_{\beta \alpha }^{c}.}$

بسبب خاصية الثبات الانتقالي ، لا يمكن أن يؤدي انتقال جميع الجسيمات إلى تغيير مصفوفة S ، وبالتالي${\displaystyle {\tilde {S}}_{\beta \alpha }}$يجب أن يكون متناسبًا مع دالة دلتا التي تحافظ على الزخم${\displaystyle \delta (\Sigma {\boldsymbol {p}})}$لضمان انعدام عامل الإزاحة الأسي. إذا وُجدت دالة دلتا إضافية لمجموعة فرعية فقط من الزخم تُقابل عنقودًا من الجسيمات، فإنه يُمكن تحريك هذا العنقود مسافةً بعيدةً جدًا عبر الإزاحة دون تغيير مصفوفة التشتت (S) ، مما يُخالف مبدأ تحليل العناقيد. هذا يعني أن تحليل العناقيد في فضاء الزخم يتطلب أن تحتوي مصفوفة التشتت (S) على دالة دلتا واحدة فقط.

يمكن أيضًا صياغة تحليل التجميع بدلالة دوال الارتباط ، حيث يكون لأي عاملين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}(x)}$و${\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}(x)}$عندما تكون القيم المتوقعة للفراغ محصورة في منطقة معينة، فإنها تتحلل إلى عوامل عندما يتباعد المؤثران بشكل كبير.

${\displaystyle \lim _{|{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty}\langle {\mathcal {O}}_{1}({\boldsymbol {x}}){\mathcal {O}}_{2}(0)\rangle \rightarrow \langle {\mathcal {O}}_{1}\rangle \langle {\mathcal {O}} _ {2}\rangle .}$

تسمح هذه الصياغة بتطبيق الخاصية على النظريات التي تفتقر إلى مصفوفة S، مثل نظريات الحقول المطابقة . وعادةً ما تُصاغ الخاصية بدلالة دوال وايتمان هذه في نظرية الحقول الكمومية البديهية . ^{[ 5 ]} وفي بعض الصياغات، مثل نظرية الحقول البنائية الإقليدية ، تُقدَّم الخاصية صراحةً كمسلَّمة . ^{[ 6 ]}

إذا بُنيت نظرية ما من مُعاملات الإنشاء والإفناء ، فإن خاصية تفكيك المجموعات تتحقق تلقائيًا. ويمكن ملاحظة ذلك بتوسيع مصفوفة S كمجموع لمخططات فاينمان، مما يسمح بتحديد عناصر مصفوفة S المتصلة بمخططات فاينمان المتصلة. تنشأ الرؤوس عندما تتبادل مُعاملات الإنشاء والإفناء بعضها بعضًا، تاركةً وراءها دالة دلتا واحدة للزخم. في أي مخطط متصل يحتوي على V رأسًا وI خطًا داخليًا وL حلقة، تُستخدم IL من دوال دلتا لتثبيت الزخم الداخلي، تاركةً V-(IL) من دوال دلتا غير مُثبتة. تنص صيغة أويلر على أن أي رسم بياني يحتوي على C من المكونات المتصلة المنفصلة يحقق C = V-I+L. بما أن عناصر مصفوفة S المتصلة تُقابل مخططات C=1، فإن هذه المخططات تحتوي على دالة دلتا واحدة فقط، وبالتالي فإن خاصية تفكيك المجموعات، كما صِيغت أعلاه في فضاء الزخم بدلالة دوال دلتا، تتحقق.

السببية الميكروية، وهي شرط الموضعية الذي يتطلب تلاشي علاقات التبادل بين المؤثرات المحلية عند المسافات المكانية ، شرط كافٍ لكي تحقق مصفوفة التشتت (S) شرط تفكيك التجمعات. وبهذا المعنى، يؤدي تفكيك التجمعات غرضًا مشابهًا لمصفوفة التشتت كما تؤديه السببية الميكروية للحقول ، إذ يمنع التأثير السببي من الانتشار بين المناطق المتباعدة. ^{[ 7 ]} مع ذلك، يُعد تفكيك التجمعات أضعف من انعدام السببية فائقة السرعة، لأنه يمكن صياغته للنظريات الكلاسيكية أيضًا. ^{[ 8 ]}

أحد المتطلبات الأساسية لتحليل التجمعات هو وجود حالة فراغ فريدة ، ويفشل التحليل إذا كانت حالة الفراغ حالة مختلطة . ^{[ 9 ]} يعتمد معدل تحلل دوال الارتباط على طيف النظرية، حيث إذا كانت فجوة الكتلة من نوع كتلة${\displaystyle m}$ثم يحدث انخفاض أُسّي${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (0)\rangle \sim e^{-m|x|}}$أما إذا كانت هناك جسيمات عديمة الكتلة، فقد يكون الأمر بطيئًا مثل${\displaystyle 1/|x|^{2}}$[ ^{10 ]​}