المشي العشوائي

جزء من سلسلة عن الإحصاء
نظرية الاحتمالات
احتمال البديهيات الحتمية نظام عدم التحديد عشوائية
فضاء الاحتمالات مساحة العينة حدث أحداث شاملة بشكل جماعي حدث ابتدائي الحصرية المتبادلة حصيلة سينجلتون تجربة محاكمة برنولي توزيع الاحتمالات توزيع برنولي التوزيع الثنائي التوزيع الأسي التوزيع الطبيعي توزيع باريتو توزيع بواسون مقياس الاحتمالية متغير عشوائي عملية برنولي مستمر أو منفصل القيمة المتوقعة التباين سلسلة ماركوف القيمة المرصودة المشي العشوائي عملية عشوائية
Complementary event Joint probability Marginal probability Conditional probability
Independence Conditional independence Law of total probability Law of large numbers Bayes' theorem Boole's inequality
Venn diagram Tree diagram
v t e

في الرياضيات ، المشي العشوائي ، والمعروف أحيانًا باسم مشية السكير ، هو عملية عشوائية تصف مسارًا يتكون من سلسلة من الخطوات العشوائية على بعض المساحات الرياضية .

من الأمثلة الأولية للمشي العشوائي المشي العشوائي على خط الأعداد الصحيحة الذي يبدأ من 0، ويتحرك عند كل خطوة بمقدار +1 أو -1 باحتمالية متساوية . تشمل الأمثلة الأخرى المسار الذي تتبعه الجزيئة أثناء انتقالها في سائل أو غاز (انظر الحركة البراونية )، أو مسار البحث لحيوان يبحث عن الطعام ، أو سعر سهم متقلب والوضع المالي للمقامر . للمشي العشوائي تطبيقات في الهندسة والعديد من المجالات العلمية بما في ذلك علم البيئة وعلم النفس وعلوم الكمبيوتر والفيزياء والكيمياء وعلم الأحياء والاقتصاد وعلم الاجتماع . تم تقديم مصطلح المشي العشوائي لأول مرة بواسطة كارل بيرسون في عام 1905. [ ^1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

يمكن الحصول على تحقيقات للمشي العشوائي من خلال محاكاة مونت كارلو . ^[2]

نموذج المشي العشوائي الشائع هو نموذج المشي العشوائي على شبكة منتظمة، حيث يقفز الموقع في كل خطوة إلى موقع آخر وفقًا لبعض توزيعات الاحتمالات. في المشي العشوائي البسيط ، لا يمكن للموقع القفز إلا إلى المواقع المجاورة للشبكة، مما يشكل مسارًا شبكيًا . في المشي العشوائي المتماثل البسيط على شبكة محدودة محليًا، تكون احتمالات قفز الموقع إلى كل من جيرانه المباشرين هي نفسها. أفضل مثال تمت دراسته هو المشي العشوائي على شبكة الأعداد الصحيحة ذات الأبعاد d (تسمى أحيانًا الشبكة المكعبة الفائقة) . ^[3]${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

إذا كانت مساحة الحالة محدودة بأبعاد محدودة، فإن نموذج المشي العشوائي يسمى المشي العشوائي المتماثل البسيط ذو الحدود ، وتعتمد احتمالات الانتقال على موقع الحالة لأن الحركة محدودة في حالات الهامش والزاوية. ^[4]

من الأمثلة الأولية للمشي العشوائي المشي العشوائي على خط الأعداد الصحيحة ، والذي يبدأ من 0 ويتحرك عند كل خطوة بمقدار +1 أو −1 باحتمالية متساوية. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

يمكن توضيح هذه الطريقة على النحو التالي. يتم وضع علامة عند الصفر على خط الأعداد، ويتم رمي عملة معدنية عادلة. إذا هبطت على وجهي العملة، تتحرك العلامة وحدة واحدة إلى اليمين. وإذا هبطت على وجهي العملة، تتحرك العلامة وحدة واحدة إلى اليسار. بعد خمس رميات، يمكن أن تكون العلامة الآن على -5، -3، -1، 1، 3، 5. مع خمس رميات، وثلاثة وجهي عملة ووجهي عملة، بأي ترتيب، ستهبط على 1. هناك 10 طرق للهبوط على 1 (بقلب ثلاث وجهي عملة ووجهي عملة)، و10 طرق للهبوط على -1 (بقلب ثلاث وجهي عملة ووجهي عملة)، و5 طرق للهبوط على 3 (بقلب أربع وجهي عملة ووجه واحد)، و5 طرق للهبوط على -3 (بقلب أربع وجهي عملة ووجه واحد)، وطريقة واحدة للهبوط على 5 (بقلب خمس وجهي عملة)، وطريقة واحدة للهبوط على -5 (بقلب خمس وجهي عملة). انظر الشكل أدناه للحصول على توضيح للنتائج المحتملة لخمس تقلبات.

لتحديد هذه المسيرة رسميًا، خذ متغيرات عشوائية مستقلة ، حيث يكون كل متغير إما 1 أو -1، مع احتمال 50% لأي من القيمتين، وحدد و تسمى السلسلة المسيرة العشوائية البسيطة على . تعطي هذه السلسلة (مجموع تسلسل -1s و 1s) المسافة الصافية المقطوعة، إذا كان طول كل جزء من المسيرة واحدًا. توقع يساوي صفرًا. أي أن متوسط ​​جميع رميات العملة يقترب من الصفر مع زيادة عدد الرميات. يتبع ذلك خاصية الإضافة المحدودة للتوقع: ${\displaystyle Z_{1},Z_{2},\dots }$${\displaystyle S_{0}=0}$${\textstyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}.}$ ${\displaystyle \{S_{n}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle E(S_{n})}$${\displaystyle S_{n}}$$${\displaystyle E(S_{n})=\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j})=0.}$$

ويظهر حساب مماثل، باستخدام استقلال المتغيرات العشوائية وحقيقة أن ، أن: ${\displaystyle E(Z_{n}^{2})=1}$$${\displaystyle E(S_{n}^{2})=\sum _{i=1}^{n}E(Z_{i}^{2})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}E(Z_{i}Z_{j})=n.}$$

يشير هذا إلى أن مسافة الترجمة المتوقعة بعد n خطوة، يجب أن تكون من رتبة . في الواقع، ^[5]${\displaystyle E(|S_{n}|)\,\!}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {E(|S_{n}|)}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}.}$$

للإجابة على سؤال كم مرة سيعبر شخص عشوائي خط الحدود إذا سُمح له بالاستمرار في المشي إلى الأبد، فإن المشي العشوائي البسيط سيعبر كل نقطة عددًا لا نهائيًا من المرات. هذه النتيجة لها العديد من الأسماء: ظاهرة عبور المستوى ، أو التكرار أو خراب المقامر . والسبب وراء الاسم الأخير هو كما يلي: المقامر الذي لديه مبلغ محدود من المال سيخسر في النهاية عند لعب لعبة عادلة ضد بنك لديه مبلغ لا نهائي من المال. ستقوم أموال المقامر بالمشي العشوائي، وستصل إلى الصفر في مرحلة ما، وستنتهي اللعبة. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

إذا كان a و b عددين صحيحين موجبين، فإن العدد المتوقع للخطوات حتى تصطدم مسيرة عشوائية بسيطة أحادية البعد تبدأ من 0 بـ b أو − a هو ab . واحتمالية أن تصطدم هذه المسيرة بـ b قبل − a هي ، والتي يمكن استنتاجها من حقيقة أن المسيرة العشوائية البسيطة هي مارتينجال . ويمكن حساب هذه التوقعات واحتمالات الاصطدام في سلسلة ماركوف العامة للمسيرة العشوائية أحادية البعد. ${\displaystyle a/(a+b)}$${\displaystyle O(a+b)}$

يمكن استخلاص بعض النتائج المذكورة أعلاه من خصائص مثلث باسكال . عدد الخطوات المختلفة المكونة من n خطوة حيث تكون كل خطوة +1 أو -1 هو 2 ⁿ . بالنسبة للمشي العشوائي البسيط، فإن كل من هذه الخطوات متساوية الاحتمالية. لكي يكون S _n مساويًا لرقم k، فمن الضروري والكافي أن يتجاوز عدد +1 في المشي تلك الخاصة بـ -1 بمقدار k . ويترتب على ذلك أنه يجب أن يظهر +1 ( n  +  k )/2 مرة بين n خطوة من المشي، وبالتالي فإن عدد الخطوات التي تحقق الشرط يساوي عدد طرق اختيار ( n  +  k )/2 عنصرًا من مجموعة مكونة من n عنصر، ^[6] يُشار إليها بـ . ولكي يكون لهذا معنى، من الضروري أن يكون n  +  k عددًا زوجيًا، مما يعني أن n و k إما أن يكونا زوجيين أو فرديين. وبالتالي، فإن الاحتمال الذي يساوي . من خلال تمثيل إدخالات مثلث باسكال من حيث العوامل واستخدام صيغة ستيرلنغ ، يمكننا الحصول على تقديرات جيدة لهذه الاحتمالات للقيم الكبيرة لـ . ${\displaystyle S_{n}=k}$${\textstyle n \choose (n+k)/2}$${\displaystyle S_{n}=k}$${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$${\displaystyle n}$

إذا تم حصر المساحة في + للاختصار، فإن عدد الطرق التي ستتوقف بها مسيرة عشوائية على أي رقم معين يحتوي على خمس تقلبات يمكن إظهارها على أنها {0،5،0،4،0،1}. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

تم توضيح هذه العلاقة مع مثلث باسكال لقيم صغيرة لـ n . عند صفر دورة، سيكون الاحتمال الوحيد هو البقاء عند الصفر. ومع ذلك، عند دورة واحدة، توجد فرصة واحدة للهبوط على -1 أو فرصة واحدة للهبوط على 1. عند دورتين، يمكن أن تتحرك العلامة عند 1 إلى 2 أو تعود إلى الصفر. يمكن أن تتحرك العلامة عند -1 إلى -2 أو تعود إلى الصفر. لذلك، توجد فرصة واحدة للهبوط على -2، واثنتان للهبوط على الصفر، وفرصة واحدة للهبوط على 2.

ك	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
${\displaystyle P[S_{0}=k]}$						1
${\displaystyle 2P[S_{1}=k]}$					1		1
${\displaystyle 2^{2}P[S_{2}=k]}$				1		2		1
${\displaystyle 2^{3}P[S_{3}=k]}$			1		3		3		1
${\displaystyle 2^{4}P[S_{4}=k]}$		1		4		6		4		1
${\displaystyle 2^{5}P[S_{5}=k]}$	1		5		10		10		5		1

تصف نظرية الحد المركزي وقانون اللوغاريتم المتكرر جوانب مهمة لسلوك المشي العشوائي البسيط على . وعلى وجه الخصوص، يستلزم الأول أنه مع زيادة n ، تقترب الاحتمالات (متناسبة مع الأرقام في كل صف) من التوزيع الطبيعي . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ولكي نكون أكثر دقة، فإن معرفة ذلك ، واستخدام صيغة ستيرلنغ يجعلنا نمتلك ${\textstyle \mathbb {P} (X_{n}=k)=2^{-n}{\binom {n}{(n+k)/2}}}$

$${\displaystyle {\log \mathbb {P} (X_{n}=k)}=n\left[\left({1+{\frac {k}{n}}+{\frac {1}{2n}}}\right)\log \left(1+{\frac {k}{n}}\right)+\left({1-{\frac {k}{n}}+{\frac {1}{2n}}}\right)\log \left(1-{\frac {k}{n}}\right)\right]+\log {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\pi }}}+o(1).}$$

إصلاح التدرج ، للإصلاح، واستخدام التوسع عند الاختفاء، يتبع ذلك ${\textstyle k=\lfloor {\sqrt {n}}x\rfloor }$${\textstyle x}$${\textstyle \log(1+{k}/{n})=k/n-k^{2}/2n^{2}+\dots }$${\textstyle k/n}$

$${\displaystyle {\mathbb {P} \left({\frac {X_{n}}{n}}={\frac {\lfloor {\sqrt {n}}x\rfloor }{\sqrt {n}}}\right)}={\frac {1}{\sqrt {n}}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{x^{2}}}(1+o(1)).}$$

بأخذ الحد (وملاحظة أن هذا يتوافق مع تباعد شبكة القياس) نجد الكثافة الغاوسية . في الواقع، بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر تمامًا بكثافة، فإنه ينطبق ، مع يتوافق مع تباعد لانهائي في الصغر. ${\textstyle {1}/{\sqrt {n}}}$${\textstyle f(x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{x^{2}}}}$${\textstyle X}$${\textstyle f_{X}}$${\textstyle \mathbb {P} \left(X\in [x,x+dx)\right)=f_{X}(x)dx}$${\textstyle dx}$

كتعميم مباشر، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار السير العشوائي على الشبكات البلورية (رسوم بيانية تغطي أبيلية ذات طيات لا نهائية على رسوم بيانية محدودة). في الواقع، من الممكن إنشاء نظرية الحد المركزي ونظرية الانحراف الكبير في هذا الإطار. ^{[7] [8]}

يمكن أيضًا النظر إلى المشي العشوائي أحادي البعد باعتباره سلسلة ماركوف حيث يتم تحديد مساحة حالتها بواسطة الأعداد الصحيحة بالنسبة لبعض الأرقام p التي تلبي ، يتم إعطاء احتمالات الانتقال (احتمالية P _i,j للانتقال من الحالة i إلى الحالة j ) بواسطة${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\dots .}$${\displaystyle \,0<p<1}$$${\displaystyle \,P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}.}$$

ترسم المسيرة العشوائية غير المتجانسة في كل خطوة زمنية رقمًا عشوائيًا يحدد احتمالات القفز المحلية ثم رقمًا عشوائيًا يحدد اتجاه القفز الفعلي. والسؤال الرئيسي هو ما إذا كان احتمال البقاء في كل من المواقع المختلفة بعد القفزات، وفي حدود هذا الاحتمال، يكون كبيرًا جدًا. ${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

في الأبعاد الأعلى، تتمتع مجموعة النقاط التي تم المشي عليها عشوائيًا بخصائص هندسية مثيرة للاهتمام. في الواقع، نحصل على كسوري منفصل ، أي مجموعة تُظهر تشابهًا ذاتيًا عشوائيًا على المقاييس الكبيرة. على المقاييس الصغيرة، يمكن للمرء أن يلاحظ "الخشونة" الناتجة عن الشبكة التي يتم المشي عليها. مسار المشي العشوائي هو مجموعة النقاط التي تمت زيارتها، والتي تعتبر مجموعة مع تجاهل وقت وصول المشي إلى النقطة. في أحد الأبعاد، المسار هو ببساطة جميع النقاط بين الحد الأدنى للارتفاع والحد الأقصى للارتفاع الذي حققه المشي (كلاهما، في المتوسط، في حدود ). ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

لتصور الحالة ثنائية الأبعاد، يمكننا أن نتخيل شخصًا يتجول عشوائيًا حول مدينة. المدينة لا نهائية فعليًا ومرتبة في شبكة مربعة من الأرصفة. عند كل تقاطع، يختار الشخص عشوائيًا أحد الطرق الأربعة المحتملة (بما في ذلك الطريق الذي سلكه في الأصل). رسميًا، هذه مسيرة عشوائية على مجموعة جميع النقاط في المستوى بإحداثيات صحيحة .

للإجابة على سؤال عودة الشخص إلى نقطة البداية الأصلية للمشي، فإن هذا هو المعادل ثنائي الأبعاد لمشكلة عبور المستوى التي ناقشناها أعلاه. في عام 1921، أثبت جورج بوليا أن الشخص سيعود بالتأكيد تقريبًا في المشي العشوائي ثنائي الأبعاد، ولكن بالنسبة للأبعاد الثلاثة أو أعلى، فإن احتمالية العودة إلى الأصل تقل مع زيادة عدد الأبعاد. في الأبعاد الثلاثة، تنخفض الاحتمالية إلى حوالي 34٪. ^[9] كان معروفًا عن عالم الرياضيات شيزو كاكوتاني أنه يشير إلى هذه النتيجة بالاقتباس التالي: "سيجد الرجل المخمور طريقه إلى المنزل، لكن الطائر المخمور قد يضيع إلى الأبد". ^[10]

احتمال التكرار بشكل عام هو ، والذي يمكن استنتاجه من خلال توليد الوظائف ^[11] أو عملية بواسون. ^[12]${\displaystyle p=1-\left({\frac {1}{\pi ^{d}}}\int _{[-\pi ,\pi ]^{d}}{\frac {\prod _{i=1}^{d}d\theta _{i}}{1-{\frac {1}{d}}\sum _{i=1}^{d}\cos \theta _{i}}}\right)^{-1}}$

هناك اختلاف آخر في هذا السؤال طرحه بوليا أيضًا وهو: "إذا غادر شخصان نفس نقطة البداية، فهل سيلتقيان مرة أخرى؟" ^[13] ويمكن إثبات أن الفرق بين موقعيهما (مشيتان عشوائيتان مستقلتان) هو أيضًا مشية عشوائية بسيطة، لذا فمن المؤكد تقريبًا أنهما سيلتقيان مرة أخرى في مشية ثنائية الأبعاد، ولكن بالنسبة للأبعاد الثلاثة وما فوق، فإن الاحتمالية تقل مع عدد الأبعاد. أظهر بول إردوس وصامويل جيمس تايلور أيضًا في عام 1960 أنه بالنسبة للأبعاد الأقل من أو التي تساوي 4، فإن المشيتين العشوائيتين المستقلتين اللتين تبدآن من أي نقطتين معينتين لهما عدد لا نهائي من التقاطعات بشكل شبه مؤكد، ولكن بالنسبة للأبعاد الأعلى من 5، فمن المؤكد تقريبًا أنهما تتقاطعان فقط بشكل محدود. ^[14]

تُعطى الدالة المقاربة للمشي العشوائي ثنائي الأبعاد مع زيادة عدد الخطوات بواسطة توزيع رايلي . يكون توزيع الاحتمالية دالة لنصف القطر من الأصل ويكون طول الخطوة ثابتًا لكل خطوة. هنا، يُفترض أن طول الخطوة يساوي 1، وN هو العدد الإجمالي للخطوات وr هو نصف القطر من الأصل. ^[15]

$${\displaystyle P(r)={\frac {2r}{N}}e^{-r^{2}/N}}$$

عملية وينر هي عملية عشوائية لها سلوك مشابه للحركة البراونية ، وهي الظاهرة الفيزيائية لجسيم دقيق ينتشر في سائل. (أحيانًا تسمى عملية وينر "الحركة البراونية"، على الرغم من أن هذا بالمعنى الدقيق للكلمة خلط بين النموذج والظاهرة التي يتم نمذجتها.)

عملية وينر هي حد التدرج للمشي العشوائي في البعد 1. وهذا يعني أنه إذا كان هناك مشي عشوائي بخطوات صغيرة جدًا، فهناك تقريب لعملية وينر (وبشكل أقل دقة، للحركة البراونية). لكي نكون أكثر دقة، إذا كان حجم الخطوة ε، فيجب على المرء أن يمشي بطول L /ε ² لتقريب طول وينر L. نظرًا لأن حجم الخطوة يميل إلى 0 (ويزداد عدد الخطوات بشكل متناسب)، فإن المشي العشوائي يتقارب مع عملية وينر بالمعنى المناسب. رسميًا، إذا كانت B هي مساحة جميع المسارات بطول L مع أقصى طوبولوجيا، وإذا كانت M هي مساحة القياس على B مع طوبولوجيا القاعدة، فإن التقارب يكون في الفضاء M. وبالمثل، فإن عملية وينر في عدة أبعاد هي حد التدرج للمشي العشوائي في نفس عدد الأبعاد.

المشي العشوائي هو كسوري منفصل (دالة ذات أبعاد صحيحة؛ 1، 2، ...)، ولكن مسار عملية وينر هو كسوري حقيقي، وهناك اتصال بين الاثنين. على سبيل المثال، قم بالمشي العشوائي حتى يصل إلى دائرة نصف قطرها r مضروبًا في طول الخطوة. متوسط ​​عدد الخطوات التي يقوم بها هو r ^{2. [ بحاجة لمصدر ]} هذه الحقيقة هي النسخة المنفصلة لحقيقة أن المشي بعملية وينر هو كسوري من بعد هاوسدورف  2. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في بعدين، يكون متوسط ​​عدد النقاط التي تحملها نفس الحركة العشوائية على حدود مسارها هو r ^4/3 . وهذا يتوافق مع حقيقة أن حدود مسار عملية وينر هي كسورية ذات بعد 4/3، وهي حقيقة تنبأ بها ماندلبروت باستخدام المحاكاة ولكن لم يثبتها إلا في عام 2000 لولر وشرام وفيرنر . ^[16]

تتمتع عملية وينر بالعديد من التناظرات التي لا تتمتع بها عملية السير العشوائي. على سبيل المثال، تكون عملية السير في عملية وينر ثابتة بالنسبة للدوران، ولكن السير العشوائي ليس كذلك، لأن الشبكة الأساسية ليست كذلك (السير العشوائي ثابت بالنسبة للدوران بمقدار 90 درجة، ولكن عمليات وينر ثابتة بالنسبة للدوران بمقدار 17 درجة أيضًا على سبيل المثال). وهذا يعني أنه في كثير من الحالات، يكون حل المشكلات في عملية السير العشوائي أسهل عن طريق ترجمتها إلى عملية وينر، وحل المشكلة هناك، ثم ترجمتها مرة أخرى. من ناحية أخرى، يكون حل بعض المشكلات أسهل باستخدام السير العشوائي نظرًا لطبيعته المنفصلة.

يمكن ربط المشي العشوائي وعملية وينر ، أي إظهارهما على نفس مساحة الاحتمال بطريقة مترابطة تجبرهما على أن يكونا قريبين جدًا. أبسط مثل هذا الربط هو تضمين Skorokhod ، ولكن توجد ربطات أكثر دقة، مثل نظرية تقريب Komlós–Major–Tusnády .

يتم التحكم في تقارب المشي العشوائي نحو عملية وينر بواسطة نظرية الحد المركزي ، ونظرية دونسكر . بالنسبة لجسيم في موضع ثابت معروف عند t  = 0، تخبرنا نظرية الحد المركزي أنه بعد عدد كبير من الخطوات المستقلة في المشي العشوائي، يتم توزيع موضع السائر وفقًا لتوزيع طبيعي للتباين الكلي :

$${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {t}{\delta t}}\,\varepsilon ^{2},}$$

حيث t هو الوقت المنقضي منذ بدء المشي العشوائي، و هو حجم خطوة المشي العشوائي، و هو الوقت المنقضي بين خطوتين متتاليتين. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta t}$

يتوافق هذا مع دالة جرين لمعادلة الانتشار التي تتحكم في عملية وينر، والتي تشير إلى أنه بعد عدد كبير من الخطوات، يتقارب المسار العشوائي نحو عملية وينر.

في الأبعاد الثلاثية، يكون التباين المقابل لدالة جرين لمعادلة الانتشار هو: $${\displaystyle \sigma ^{2}=6\,D\,t.}$$

من خلال معادلة هذه الكمية مع التباين المرتبط بموضع الماشي العشوائي، نحصل على معامل الانتشار المكافئ الذي يجب مراعاته لعملية وينر المقاربة التي يتقارب نحوها الماشي العشوائي بعد عدد كبير من الخطوات: (صالح فقط في الأبعاد الثلاثية). $${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{6\delta t}}}$$

تتوافق تعبيرات التباين أعلاه مع التوزيع المرتبط بالمتجه الذي يربط بين طرفي المسار العشوائي، في الأبعاد الثلاثية. التباين المرتبط بكل مكون ، أو هو ثلث هذه القيمة فقط (لا يزال في الأبعاد الثلاثية). ${\displaystyle {\vec {R}}}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle R_{y}}$${\displaystyle R_{z}}$

للثنائي الأبعاد: ^[17]

$${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{4\delta t}}.}$$

بالنسبة لـ 1D: ^[18]

$${\displaystyle D={\frac {\varepsilon ^{2}}{2\delta t}}.}$$

يتم استخدام المشي العشوائي الذي يختلف حجم الخطوة فيه وفقًا للتوزيع الطبيعي كنموذج لبيانات السلاسل الزمنية في العالم الحقيقي مثل الأسواق المالية.

هنا، حجم الخطوة هو التوزيع الطبيعي التراكمي العكسي حيث 0 ≤  z  ≤ 1 هو رقم عشوائي موزع بشكل موحد، وμ وσ هما المتوسط ​​والانحرافات المعيارية للتوزيع الطبيعي، على التوالي. ${\displaystyle \Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )}$

إذا كانت قيمة μ غير صفرية، فسوف يتغير المسار العشوائي حول اتجاه خطي. إذا كانت v _s هي القيمة الأولية للمسار العشوائي، فسوف تكون القيمة المتوقعة بعد n خطوة هي v _s + n μ.

بالنسبة للحالة الخاصة حيث μ يساوي صفرًا، بعد n خطوة، يتم إعطاء توزيع احتمالية مسافة الترجمة بواسطة N (0، n σ ² )، حيث N () هو تدوين التوزيع الطبيعي، وn هو عدد الخطوات، وσ من التوزيع الطبيعي التراكمي العكسي كما هو موضح أعلاه.

الدليل: يمكن اعتبار المشي العشوائي الغاوسي بمثابة مجموع تسلسل من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق، X _i من التوزيع الطبيعي التراكمي العكسي مع متوسط ​​يساوي الصفر وσ للتوزيع الطبيعي التراكمي العكسي الأصلي:

${\displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}{X_{i}},}$

ولكن لدينا التوزيع لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين موزعين بشكل طبيعي، Z = X + Y ، ويعطى بواسطة (انظر هنا) . $${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}$$

في حالتنا، μ _X = μ _Y = 0 و σ ² _X = σ ² _Y = σ ² ينتج عن الاستدلال الاستقرائي، بالنسبة لخطوات n لدينا بالنسبة للخطوات الموزعة وفقًا لأي توزيع بمتوسط ​​صفري وتباين محدود (ليس بالضرورة مجرد توزيع طبيعي)، فإن مسافة انتقال الجذر التربيعي المتوسط ​​بعد n خطوة هي (انظر متطابقة بينايميه ) $${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,2\sigma ^{2})}$$${\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2}).}$

${\displaystyle {\sqrt {Var(S_{n})}}={\sqrt {E[S_{n}^{2}]}}=\sigma {\sqrt {n}}.}$

ولكن بالنسبة للمشي العشوائي الغاوسي، فإن هذا هو الانحراف المعياري لتوزيع مسافة الترجمة بعد n خطوة. وبالتالي، إذا كان μ يساوي صفرًا، ونظرًا لأن مسافة الترجمة بجذر متوسط ​​التربيع (RMS) تساوي انحرافًا معياريًا واحدًا، فهناك احتمال بنسبة 68.27% أن تقع مسافة الترجمة بجذر متوسط ​​التربيع بعد n خطوة بين . وبالمثل، هناك احتمال بنسبة 50% أن تقع مسافة الترجمة بعد n خطوة بين . ${\displaystyle \pm \sigma {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \pm 0.6745\sigma {\sqrt {n}}}$

تمت دراسة عدد المواقع المميزة التي زارها شخص عشوائي واحد على نطاق واسع للشبكات المربعة والمكعبة والكسيرية. ^{[19] [20]} هذه الكمية مفيدة لتحليل مشاكل الاحتجاز والتفاعلات الحركية. كما أنها مرتبطة بالكثافة الاهتزازية للحالات، ^{[21] [22]} وعمليات تفاعلات الانتشار ^[23] وانتشار السكان في علم البيئة. ^{[24] [25]}${\displaystyle S(t)}$

معدل المعلومات للمشي العشوائي الغاوسي فيما يتعلق بمسافة الخطأ التربيعي، أي دالة تشوه المعدل التربيعي ، يتم إعطاؤه بشكل معياري بواسطة ^[26] حيث . لذلك، من المستحيل التشفير باستخدام رمز ثنائي أقل من بتات واستعادته بمتوسط ​​خطأ تربيعي متوقع أقل من . من ناحية أخرى، بالنسبة لأي ، يوجد رمز ثنائي كبير بما فيه الكفاية لا يزيد عن عناصر مميزة بحيث يكون متوسط ​​الخطأ التربيعي المتوقع في الاسترداد من هذا الرمز على الأكثر . $${\displaystyle R(D_{\theta })={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\max\{0,\log _{2}\left(S(\varphi )/\theta \right)\}\,d\varphi ,}$$ $${\displaystyle D_{\theta }=\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi ),\theta \}\,d\varphi ,}$$${\displaystyle S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}}$${\displaystyle {\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}}$${\displaystyle NR(D_{\theta })}$ ${\displaystyle D_{\theta }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle 2^{NR(D_{\theta })}}$${\displaystyle {\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}}$${\displaystyle D_{\theta }-\varepsilon }$

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (February 2013) (Learn how and when to remove this message)

كما ذكرنا فإن نطاق الظواهر الطبيعية التي كانت موضوعًا لمحاولات الوصف من خلال بعض أنواع المشي العشوائي كبير، وخاصة في الفيزياء ^{[27] [28]} والكيمياء، ^[29] وعلوم المواد ، ^{[30] [31]} وعلم الأحياء. ^{[32] [33] [34]} فيما يلي بعض التطبيقات المحددة للمشي العشوائي:

• في الاقتصاد المالي ، تُستخدم فرضية المشي العشوائي لنمذجة أسعار الأسهم وعوامل أخرى. ^[35] وجدت الدراسات التجريبية بعض الانحرافات عن هذا النموذج النظري، وخاصة في الارتباطات قصيرة الأجل وطويلة الأجل. انظر أسعار الأسهم .
• في علم الوراثة السكانية ، يصف المشي العشوائي الخصائص الإحصائية للانحراف الجيني
• في الفيزياء ، تُستخدم المسارات العشوائية كنماذج مبسطة للحركة البراونية الفيزيائية والانتشار مثل الحركة العشوائية للجزيئات في السوائل والغازات. انظر على سبيل المثال التجمع المحدود بالانتشار. وفي الفيزياء أيضًا، تلعب المسارات العشوائية وبعض المسارات المتفاعلة ذاتيًا دورًا في نظرية المجال الكمومي .
• في تصنيع أشباه الموصلات ، تُستخدم عمليات المشي العشوائية لتحليل تأثيرات المعالجة الحرارية عند العقد الأصغر. وتُطبق لفهم انتشار الشوائب والعيوب والشوائب وما إلى ذلك ، أثناء خطوات التصنيع الحرجة. تُستخدم معالجات المشي العشوائي أيضًا لدراسة انتشار المتفاعلات والمنتجات والبلازما أثناء عمليات الترسيب الكيميائي للبخار . وقد استُخدم انتشار المتصل لدراسة تدفق الغازات، على المقاييس العيانية، في مفاعلات الترسيب الكيميائي للبخار. ومع ذلك، أجبرتنا الأبعاد الأصغر والتعقيد المتزايد على معالجتها بالمشي العشوائي. وهذا يسمح بتحليل دقيق للعمليات العشوائية، على المستوى الجزيئي والأصغر، في تصنيع أشباه الموصلات.
• في علم البيئة الرياضي ، تُستخدم المشي العشوائي لوصف تحركات الحيوانات الفردية، ودعم عمليات الانتشار البيولوجي تجريبياً ، وفي بعض الأحيان لنمذجة ديناميكيات السكان .
• في فيزياء البوليمرات ، يصف المشي العشوائي سلسلة مثالية . وهو أبسط نموذج لدراسة البوليمرات . ^[36]
• في مجالات أخرى من الرياضيات ، يتم استخدام المشي العشوائي لحساب الحلول لمعادلة لابلاس ، ولتقدير القياس التوافقي ، ولإنشاءات مختلفة في التحليل والتركيبات .
• في علوم الكمبيوتر ، يتم استخدام المشي العشوائي لتقدير حجم الويب . [ ^37]
• في تقسيم الصورة ، تُستخدم المسارات العشوائية لتحديد العلامات (أي "الكائن" أو "الخلفية") التي يجب ربطها بكل بكسل. ^[38] يُشار إلى هذه الخوارزمية عادةً باسم خوارزمية تقسيم المسارات العشوائية .

• في أبحاث الدماغ ، يتم استخدام المشي العشوائي والمشي العشوائي المعزز لنمذجة تسلسل إطلاق الخلايا العصبية في الدماغ.
• في علم الرؤية ، يميل انزياح العين إلى التصرف مثل المشي العشوائي. ^[39] ووفقًا لبعض المؤلفين، فإن حركات العين الثابتة بشكل عام يمكن وصفها أيضًا بشكل جيد من خلال المشي العشوائي. ^[40]
• في علم النفس ، تشرح المشي العشوائي بدقة العلاقة بين الوقت اللازم لاتخاذ قرار واحتمال اتخاذ قرار معين. ^[41]
• يمكن استخدام المشي العشوائي لأخذ عينات من مساحة حالة غير معروفة أو كبيرة جدًا، على سبيل المثال لاختيار صفحة عشوائية من الإنترنت. ^{[ بحاجة لمصدر ]} في علوم الكمبيوتر ، تُعرف هذه الطريقة باسم سلسلة ماركوف مونت كارلو (MCMC).

• في الشبكات اللاسلكية ، يتم استخدام المشي العشوائي لنمذجة حركة العقدة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• تشارك البكتيريا المتحركة في مسارات عشوائية متحيزة . ^[42]
• في الفيزياء، تشكل المشي العشوائي أساس طريقة تقدير فيرمي . ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• على شبكة الإنترنت، يستخدم موقع تويتر عمليات المشي العشوائية لتقديم اقتراحات حول الأشخاص الذين يجب متابعتهم ^[43]
• أثبت ديف باير وبرسي دياكونيس أن 7 خلطات عشوائية تكفي لخلط مجموعة من البطاقات (انظر المزيد من التفاصيل تحت الخلط ). تُترجم هذه النتيجة إلى بيان حول السير العشوائي في المجموعة المتماثلة وهو ما أثبتاه، مع الاستخدام الحاسم لبنية المجموعة عبر تحليل فورييه.

تم النظر في عدد من أنواع العمليات العشوائية التي تشبه المسارات العشوائية البحتة ولكن حيث يُسمح للبنية البسيطة بأن تكون أكثر تعميمًا. يمكن وصف البنية البحتة من خلال تحديد الخطوات بواسطة متغيرات عشوائية مستقلة وموزعة بشكل متطابق . يمكن أن تحدث المسارات العشوائية على مجموعة متنوعة من المساحات، مثل الرسوم البيانية ، والأعداد الصحيحة، والخط الحقيقي، والمستوي أو مساحات المتجهات ذات الأبعاد الأعلى، وعلى الأسطح المنحنية أو المتشعبات الريمانية ذات الأبعاد الأعلى ، وعلى المجموعات . من الممكن أيضًا تعريف مسارات عشوائية تتخذ خطواتها في أوقات عشوائية، وفي هذه الحالة، يكون الموضع X
_تيجب تعريفها لجميع الأوقات t ∈ [0, +∞) . تشمل الحالات أو الحدود المحددة للمشي العشوائي نموذج رحلة ليفي ونماذج الانتشار مثل الحركة البراونية .

المشي العشوائي بطول k على رسم بياني ربما لا نهائي G مع جذر 0 هو عملية عشوائية بمتغيرات عشوائية بحيث تكون و هي رأس تم اختياره عشوائيًا بشكل موحد من جيران . عندئذٍ يكون الرقم هو احتمال أن ينتهي المشي العشوائي بطول k الذي يبدأ عند v عند w . على وجه الخصوص، إذا كان G رسمًا بيانيًا له جذر 0 ، فإن احتمال أن يعود المشي العشوائي بخطوة واحدة إلى 0 . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}}$${\displaystyle X_{1}=0}$${\displaystyle {X_{i+1}}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle p_{v,w,k}(G)}$${\displaystyle p_{0,0,2k}}$${\displaystyle 2k}$

بناءً على القياس من القسم السابق حول الأبعاد الأعلى، افترض الآن أن مدينتنا لم تعد شبكة مربعة مثالية. عندما يصل شخصنا إلى تقاطع معين، فإنه يختار بين الطرق المختلفة المتاحة باحتمالية متساوية. وبالتالي، إذا كان للتقاطع سبعة مخارج، فسوف يذهب الشخص إلى كل منها باحتمالية تساوي السبع. هذه مسيرة عشوائية على الرسم البياني. هل سيصل شخصنا إلى منزله؟ اتضح أنه في ظل ظروف معتدلة إلى حد ما، فإن الإجابة لا تزال نعم، ^[44] ولكن اعتمادًا على الرسم البياني، قد لا تكون الإجابة على السؤال المتغير "هل سيلتقي شخصان مرة أخرى؟" أنهم سيلتقيان في كثير من الأحيان بشكل مؤكد تقريبًا. ^[45]

مثال على حالة حيث سيصل الشخص إلى منزله على الأرجح عندما تكون أطوال جميع الكتل بين أ وب (حيث أ وب هما أي رقمين موجبين محدودين). لاحظ أننا لا نفترض أن الرسم البياني مستوي ، أي أن المدينة قد تحتوي على أنفاق وجسور. إحدى الطرق لإثبات هذه النتيجة هي استخدام الاتصال بالشبكات الكهربائية . خذ خريطة للمدينة وضع مقاومة أوم واحد على كل كتلة. الآن قم بقياس "المقاومة بين نقطة واللانهاية". بعبارة أخرى، اختر بعض الأرقام R وخذ جميع النقاط في الشبكة الكهربائية التي تبعد عن نقطتنا بمسافة أكبر من R وقم بتوصيلها معًا. هذه الآن شبكة كهربائية محدودة، ويمكننا قياس المقاومة من نقطتنا إلى النقاط الموصلة بالأسلاك. خذ R إلى ما لا نهاية. يسمى الحد المقاومة بين نقطة واللانهاية . اتضح أن ما يلي صحيح (يمكن العثور على دليل أولي في كتاب دويل وسنيل):

النظرية : يكون الرسم البياني عابرًا إذا وفقط إذا كانت المقاومة بين نقطة واللانهاية محدودة. ليس من المهم أي نقطة يتم اختيارها إذا كان الرسم البياني متصلاً.

بعبارة أخرى، في النظام المؤقت، لا نحتاج إلا إلى التغلب على مقاومة محدودة للوصول إلى اللانهاية من أي نقطة. وفي النظام المتكرر، تكون المقاومة من أي نقطة إلى اللانهاية لا نهائية.

إن هذا التوصيف للزوال والتكرار مفيد للغاية، فهو يسمح لنا على وجه التحديد بتحليل حالة مدينة مرسومة في المستوى مع تحديد المسافات بينها.

إن السير العشوائي على الرسم البياني هو حالة خاصة جدًا لسلسلة ماركوف . وعلى عكس سلسلة ماركوف العامة، يتمتع السير العشوائي على الرسم البياني بخاصية تسمى تناسق الوقت أو الانعكاس . وبعبارة تقريبية، تعني هذه الخاصية، والتي تسمى أيضًا مبدأ التوازن التفصيلي ، أن احتمالات عبور مسار معين في اتجاه أو آخر لها اتصال بسيط للغاية بينهما (إذا كان الرسم البياني منتظمًا ، فهما متساويان تمامًا). ولهذه الخاصية عواقب مهمة.

بدءًا من ثمانينيات القرن العشرين، تم إجراء الكثير من الأبحاث حول ربط خصائص الرسم البياني بالمشي العشوائي. بالإضافة إلى اتصال الشبكة الكهربائية الموصوف أعلاه، توجد اتصالات مهمة مع المتباينات المتساوية المحيط ، انظر المزيد هنا ، والمتباينات الوظيفية مثل متباينات سوبوليف وبوانكاريه وخصائص حلول معادلة لابلاس . ركز جزء كبير من هذا البحث على الرسوم البيانية لكايلي للمجموعات المولدة بشكل محدود . في كثير من الحالات، تنتقل هذه النتائج المنفصلة إلى المتشعبات ومجموعات لاي أو تشتق منها .

في سياق الرسوم البيانية العشوائية ، وخاصة نموذج Erdős–Rényi ، تم الحصول على نتائج تحليلية لبعض خصائص السائرين العشوائيين. وتشمل هذه توزيع أوقات الضرب الأولى ^[46] والأخيرة ^[47] للسائر، حيث يتم تحديد وقت الضرب الأول من خلال المرة الأولى التي يخطو فيها السائر إلى موقع تمت زيارته سابقًا في الرسم البياني، ويتوافق وقت الضرب الأخير مع المرة الأولى التي لا يتمكن فيها السائر من أداء حركة إضافية دون إعادة زيارة موقع تمت زيارته سابقًا.

إن المرجع الجيد للسير العشوائي على الرسوم البيانية هو الكتاب الإلكتروني الذي كتبه ألدوس وفيل. وللمجموعات، راجع كتاب ووس. إذا كانت نواة الانتقال نفسها عشوائية (بناءً على بيئة ) فإن السير العشوائي يسمى "سيرًا عشوائيًا في بيئة عشوائية". عندما يتضمن قانون السير العشوائي عشوائية ، فإن القانون يسمى القانون المتصلب؛ من ناحية أخرى، إذا تم النظر إليه على أنه ثابت، فإن القانون يسمى قانونًا مُخمَّدًا. راجع كتاب هيوز، أو كتاب ريفيز، أو مذكرات محاضرات زيتوني. ${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

يمكننا أن نفكر في اختيار كل حافة ممكنة بنفس الاحتمالية لتعظيم عدم اليقين (الإنتروبيا) محليًا. يمكننا أيضًا القيام بذلك عالميًا - في المشي العشوائي بأقصى قدر من الإنتروبيا (MERW) نريد أن تكون جميع المسارات متساوية الاحتمالية، أو بعبارة أخرى: لكل رأسين، يكون كل مسار بطول معين متساوي الاحتمالية. ^[48] يتمتع هذا المشي العشوائي بخصائص تحديد موقع أقوى بكثير.

هناك عدد من النماذج المثيرة للاهتمام للمسارات العشوائية حيث تعتمد كل خطوة على الماضي بطريقة معقدة. وكلها أكثر تعقيدًا من حيث الحل التحليلي مقارنة بالمشي العشوائي المعتاد؛ ومع ذلك، يمكن الحصول على سلوك أي نموذج للمشي العشوائي باستخدام أجهزة الكمبيوتر. تشمل الأمثلة ما يلي:

• المشي لتجنب الذات . [ ^49]

إن المشي الذي يتجنب نفسه بطول n on هو مسار عشوائي مكون من n خطوة يبدأ من الأصل، ويقوم بالانتقال فقط بين المواقع المجاورة في ، ولا يعيد زيارة موقع أبدًا، ويتم اختياره بشكل موحد بين جميع هذه المسارات. في بعدين، بسبب حبس الذات، فإن المشي النموذجي الذي يتجنب نفسه قصير جدًا، ^[50] بينما في البعد الأعلى ينمو إلى ما هو أبعد من كل الحدود. غالبًا ما تم استخدام هذا النموذج في فيزياء البوليمر (منذ ستينيات القرن العشرين). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

• المشي العشوائي الممسوح بالحلقة . ^{[51] [52]}
• المشي العشوائي المعزز. ^[53]
• عملية الاستكشاف. ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• المشي العشوائي متعدد الوكلاء. ^[54]

تم اختيار المشي العشوائي لتعظيم معدل الإنتروبيا ، وله خصائص توطين أقوى بكثير.

المشي العشوائي حيث يرتبط اتجاه الحركة في وقت ما باتجاه الحركة في المرة التالية. يتم استخدامه لنمذجة حركات الحيوانات. ^{[55] [56]}

• المشي العشوائي المتفرع
• الحركة البراونية
• قانون اللوغاريتم المتكرر
• رحلة ليفي
• فرضية ليفي في البحث عن الطعام أثناء الرحلة
• المشي العشوائي الممسوح بالحلقة
• المشي العشوائي بأقصى قدر من الإنتروبيا
• المشي لتجنب الذات
• جذر الوحدة

• ألدوس، ديفيد ؛ فيل، جيمس ألين (2002). سلاسل ماركوف القابلة للعكس والمشي العشوائي على الرسوم البيانية. مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2019.
• دويل، بيتر جيه؛ سنيل، جيه لوري (1984). المشي العشوائي والشبكات الكهربائية . دراسات كاروس الرياضية. المجلد 22. الجمعية الرياضية الأمريكية . arXiv : math.PR/0001057 . ISBN 978-0-88385-024-4. السيد  0920811.
• فيلر، ويليام (1968)، مقدمة لنظرية الاحتمالات وتطبيقاتها (المجلد 1). ISBN 0-471-25708-7 
• هيوز، باري د. (1996)، المشي العشوائي والبيئات العشوائية ، مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-853789-1 
• نوريس، جيمس (1998)، سلاسل ماركوف ، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-63396-6 
• Pólya G.(1921)، “Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Strassennetz” أرشفة 4 مارس 2016 في آلة Wayback .، Mathematische Annalen ، 84 (1–2):149–160، مارس 1921.
• ريفيز، بال (2013)، المشي العشوائي في البيئات العشوائية وغير العشوائية (الطبعة الثالثة) ، شركة النشر العلمي العالمية، رقم ISBN 978-981-4447-50-8 
• سونادا، توشيكازو (2012). علم البلورات الطوبولوجي: مع نظرة نحو التحليل الهندسي المنفصل . المسوحات والدروس التعليمية في العلوم الرياضية التطبيقية. المجلد 6. سبرينغر. ISBN 978-4-431-54177-6.
• وايس جي. جوانب وتطبيقات المشي العشوائي ، شمال هولندا، 1994.
• Woess, Wolfgang (2000)، Random Walks on Infinite Graphs and Groups ، منشورات كامبريدج في الرياضيات 138، مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-55292-3 

• ثوابت المشي العشوائي لبوليا
• جولة عشوائية في Java Applet أرشيف 31 أغسطس 2007 على موقع Wayback Machine
• المشي العشوائي الكمومي
• تقدير المشي العشوائي الغاوسي
• نماذج توصيل الإلكترون باستخدام الحد الأقصى للإنتروبيا - مشروع العروض التوضيحية لـ Wolfram