طابور السوائل

في نظرية الطوابير ، وهي فرع من فروع نظرية الاحتمالات الرياضية ، يُستخدم نموذج الطابور السائل (أو نموذج التدفق السائل ، ^{[ 1 ]} أو نموذج التدفق السائل ^{، [ 2 ]} أو نموذج التدفق السائل العشوائي ^{، [ 3 ]} ) لوصف مستوى السائل في خزان يخضع لفترات ملء وتفريغ عشوائية. وقد استُخدم مصطلح " نظرية السدود" في الدراسات السابقة للإشارة إلى هذه النماذج. استُخدم هذا النموذج لتقريب النماذج المنفصلة، ​​ونمذجة انتشار حرائق الغابات ، ^{[ 4 ]} وفي نظرية الخراب ^{، [ 5 ]} ولنمذجة شبكات البيانات عالية السرعة. ^{[ 6 ]} ويُطبّق النموذج خوارزمية الدلو المتسرب على مصدر عشوائي.

طُرح هذا النموذج لأول مرة من قبل بات موران في عام 1954، حيث تم النظر في نموذج زمني منفصل. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} تسمح طوابير الانتظار المرنة بأن تكون عمليات الوصول مستمرة بدلاً من أن تكون منفصلة، ​​كما هو الحال في نماذج مثل طوابير الانتظار M/M/1 و M/G/1 .

استُخدمت طوابير السوائل لنمذجة أداء مُبدِّل الشبكة ، ^{[ 10 ]} والمُوجِّه ، ^{[ 11 ]} وبروتوكول IEEE 802.11 ، ^{[ 12 ]} ووضع النقل غير المتزامن (التقنية المُعتمدة لـ B-ISDN )، ^{[ 13 ] [ 14 ]} ومشاركة الملفات من نظير إلى نظير ، ^{[ 15 ]} وتبديل النبضات الضوئية ، ^{[ 16 ]} ولها تطبيقات في الهندسة المدنية عند تصميم السدود . ^{[ 17 ]} ترتبط هذه العملية ارتباطًا وثيقًا بعمليات شبه الولادة والوفاة ، والتي تُعرف لها طرق حل فعالة. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

يمكن اعتبار طابور السوائل بمثابة خزان كبير، يُفترض عادةً أن سعته غير محدودة، متصل بسلسلة من الأنابيب التي تصب السائل في الخزان وسلسلة من المضخات التي تسحب السائل منه. يتحكم المشغل في الأنابيب والمضخات، مُتحكمًا في معدل تدفق السائل إلى الخزان ومعدل خروجه منه. عندما يُدخل المشغل النظام إلى الحالة i، نرمز بـ r_{_i} لمعدل وصول السائل الصافي في هذه الحالة (المدخلات مطروحًا منها المخرجات). عندما يحتوي الخزان على سائل، إذا رمزنا بـ X ( t ) لمستوى السائل عند الزمن t ، ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}={\begin{cases}r_{i}&{\text{ إذا كان }}X(t)>0\\\max(r_{i},0)&{\text{ إذا كان }}X(t)=0.\end{cases}}}$

المؤثر عبارة عن سلسلة ماركوف ذات زمن مستمر ، ويُطلق عليه عادةً اسم عملية البيئة ، أو عملية الخلفية ^{[ 21 ]} ، أو عملية القيادة ^{[ 6 ]} . وبما أن العملية X تمثل مستوى السائل في المخزن المؤقت، فلا يمكن أن تأخذ إلا قيمًا غير سالبة.

النموذج هو نوع خاص من عملية ماركوف القطعية الحتمية ويمكن أيضًا اعتباره نموذج مكافأة ماركوف مع شروط حدودية.

التوزيع الثابت هو توزيع من نوع الطور ^{[ 2 ]} كما أوضح أسموسن لأول مرة ^{[ 22 ]} ويمكن حسابه باستخدام طرق التحليل المصفوفي . ^{[ 10 ]}

تتميز طريقة التفكيك الجمعي بالاستقرار العددي، وتفصل القيم الذاتية اللازمة للحساب باستخدام تفكيك شور . ^{[ 23 ] [ 24 ]}

فترة الانشغال هي الفترة الزمنية المقاسة من لحظة وصول السائل لأول مرة إلى المخزن المؤقت (حيث تصبح قيمة X ( t ) غير صفرية) وحتى إفراغ المخزن المؤقت مرة أخرى (حيث تعود قيمة X ( t ) إلى الصفر). في الدراسات السابقة، يُشار إليها أحيانًا بفترة البلل (للسد). ^{[ 26 ]} يُعرف تحويل لابلاس -ستيلتيس لتوزيع فترة الانشغال في حالة طابور السوائل ذي المخزن المؤقت اللانهائي ^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]} ، كما تُعرف فترة الانشغال المتوقعة في حالة المخزن المؤقت المحدود ووصول السوائل على شكل قفزات لحظية. ^{[ 26 ]}

بالنسبة لمخزن مؤقت لانهائي بمعدل خدمة ثابت μ ووصول بمعدلات λ و 0، يتم تعديله بواسطة سلسلة ماركوف زمنية مستمرة ذات معلمات

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}}$

اكتب W *( s ) لتحويل لابلاس-ستيلتيس لتوزيع الفترة المشغولة، ثم ^{[ 29 ]}

${\displaystyle W^{\ast }(s)={\frac {\beta \lambda +s\lambda -\beta \mu +\alpha \mu -{\sqrt {4\beta \alpha \mu (\mu -\lambda )+(s\lambda +\beta (\lambda -\mu )+\alpha \mu )^{2}}}}{2\beta (\lambda -\mu) )}}}$

مما يعطي متوسط ​​فترة الانشغال ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \mathbb {E} (W)={\frac {\lambda }{\alpha \mu +\beta (\lambda -\mu )}}.}$

في هذه الحالة، بالنسبة لمصدر واحد يعمل بنظام التشغيل/الإيقاف، من المعروف أن توزيع فترة الانشغال هو دالة معدل فشل متناقصة ، مما يعني أنه كلما طالت فترة الانشغال، زادت احتمالية استمرارها. ^{[ 31 ]}

توجد طريقتان رئيسيتان لحل مشكلة فترة الانشغال بشكل عام، إما باستخدام التحليل الطيفي أو طريقة التكرار التكراري. ^{[ 32 ]} وقد نشر آهن وراماسوامي خوارزمية متقاربة تربيعيًا لحساب نقاط التحويل. ^{[ 33 ]}

تم حساب التوزيع الثابت لطابورين متتاليين من السوائل، وثبت أنه لا يُظهر توزيعًا ثابتًا على شكل حاصل ضرب في الحالات غير التافهة. ^{[ 25 ] [ 30 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

يُعدّ طابور السوائل ذو التغذية الراجعة نموذجًا يُسمح فيه لمعاملات النموذج (مصفوفة معدل الانتقال ومتجه الانجراف) بالاعتماد، إلى حدٍّ ما، على محتوى المخزن المؤقت. عادةً ما يُقسّم محتوى المخزن المؤقت، وتعتمد المعاملات على القسم الذي يقع فيه محتوى المخزن المؤقت. ^{[ 40 ]} يمكن استخدام تحليل شور المرتب لحساب التوزيع الثابت لهذا النموذج بكفاءة. ^{[ 41 ]}

تعتبر طوابير السوائل من الدرجة الثانية (والتي تُسمى أحيانًا عمليات الانتشار المُعدّلة بماركوف أو طوابير السوائل ذات الضوضاء البراونية ^{[ 42 ]} ) حركة براونية منعكسة بمعاملات يتم التحكم فيها بواسطة عملية ماركوف. ^{[ 22 ] [ 43 ]} ويُؤخذ نوعان مختلفان من الشروط الحدية في الاعتبار عادةً: الامتصاص والانعكاس. ^{[ 44 ]}

• BuTools ، وهو تطبيق MATLAB و Python و Mathematica لبعض النتائج المذكورة أعلاه.
• PevaTools ، كود MATLAB لنماذج متعددة الأنظمة
• شرح نماذج تدفق السوائل من إعداد ف. راماسوامي على منصة MAM8