عملية بيسل

في الرياضيات ، تُعرف عملية بيسل ، نسبةً إلى فريدريك بيسل ، بأنها حل للمعادلة التفاضلية العشوائية ( SDE).

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}+{\frac {n-1}{2}}{\frac {dt}{X_{t}}}}$

حيث W هي عملية وينر أحادية البعد ( حركة براونية )

عملية بيسل من الرتبة n هي العملية الحقيقية X المعطاة (عندما n  ≥  2) بواسطة

${\displaystyle X_{t}=\|W_{t}\|,}$

حيث يرمز ||·|| إلى المعيار الإقليدي في R ^n، و W هي عملية وينر ذات البعد n ( حركة براونية ). لاحظ أن هذه المعادلة التفاضلية العشوائية منطقية لأي معلمة حقيقية.${\displaystyle n}$(على الرغم من أن حد الانجراف يكون منفردًا عند الصفر).

الترميز لعملية بيسل ذات البعد n التي تبدأ من الصفر هو BES ₀ ( n ) .

بالنسبة لـ n  ≥  2، تكون عملية وينر ذات البعد n التي تبدأ من نقطة الأصل عابرة من نقطة بدايتها: باحتمال واحد ، أي أن X _t > 0 لجميع t > 0. ومع ذلك، فهي متكررة الجوار لـ n = 2، مما يعني أنه باحتمال 1، لأي r > 0، توجد قيم كبيرة كيفما كانت لـ t بحيث X _t < r ؛ من ناحية أخرى، فهي عابرة حقًا لـ n > 2، مما يعني أن X _t ≥ r لجميع قيم t الكبيرة بما فيه الكفاية.               

بالنسبة لـ n  ≤  0، تبدأ عملية بيسل عادةً عند نقاط أخرى غير 0، لأن الانجراف نحو 0 يكون قويًا جدًا لدرجة أن العملية تتعثر عند 0 بمجرد وصولها إلى 0.

• أوكسندال، بيرنت (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات . برلين: سبرينغر. ISBN 3-540-04758-1.
• ويليامز د. (1979) الانتشار، عمليات ماركوف ومارتينجال، المجلد الأول  : الأسس. وايلي. رقم ISBN 0-471-99705-6.