عملية الصيد

في نظرية الاحتمالات ، عملية هانت هي نوع من عمليات ماركوف ، سميت على اسم عالم الرياضيات جيلبرت أ. هانت الذي عرفها لأول مرة في عام 1957. كانت عمليات هانت مهمة في دراسة نظرية الإمكانات الاحتمالية حتى حلت محلها العمليات الصحيحة في السبعينيات.

في ثلاثينيات وخمسينيات القرن العشرين، طور علماء الرياضيات مثل جوزيف دوب ، وويليام فيلر ، ومارك كاك ، وشيزو كاكوتاني ، اتصالات بين عمليات ماركوف ونظرية الإمكانات . ^[1]

في عامي 1957 و1958 نشر جيلبرت أ. هانت مجموعة ثلاثية من الأوراق البحثية ^{[2] [3] [4]} والتي عمقت هذه الصلة. وكان تأثير هذه الأوراق البحثية على مجتمع الاحتمالات في ذلك الوقت كبيرًا. قال جوزيف دوب إن "أوراق هانت الرائعة حول نظرية الإمكانات الناتجة عن وظائف انتقال ماركوف أحدثت ثورة في نظرية الإمكانات". ^{[5] وصفها} رونالد جيتور بأنها "عمل ضخم يبلغ طوله ما يقرب من 170 صفحة ويحتوي على قدر هائل من الرياضيات الأصلية حقًا". ^{[6] كتب} جوستاف شوكيه أن أوراق هانت كانت "مذكرات أساسية كانت تجدد في نفس الوقت نظرية الإمكانات ونظرية عمليات ماركوف من خلال إنشاء رابط دقيق، في إطار عام للغاية، بين فئة مهمة من عمليات ماركوف وفئة النوى في نظرية الإمكانات التي كان علماء الاحتمالات الفرنسيون يدرسونها للتو". ^[7]

كانت إحدى مساهمات هانت هي تجميع العديد من الخصائص التي يجب أن تتمتع بها عملية ماركوف من أجل دراستها من خلال نظرية الإمكانات، والتي أطلق عليها "الفرضية (أ)". تلبي العملية العشوائية الفرضية (أ) إذا كانت الافتراضات الثلاثة التالية صحيحة: ^[2]${\displaystyle X}$

الافتراض الأول: هو عملية ماركوف على الفضاء البولندي مع مسارات càdlàg .${\displaystyle X}$

الافتراض الثاني: يلبي خاصية ماركوف القوية .${\displaystyle X}$

الافتراض الثالث: شبه متصل يسارًا على .${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,\infty )}$

سرعان ما أصبحت العمليات التي تلبي الفرضية (أ) تُعرف باسم عمليات هانت. إذا تم إضعاف الافتراض الثالث قليلاً بحيث لا ينطبق الاستمرارية شبه اليسرى إلا على عمر ، فإنها تسمى "عملية قياسية"، وهو مصطلح قدمه يوجين دينكين . ^{[8] [9]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

قام بلومينثال وجيتور في كتابهما "عمليات ماركوف ونظرية الإمكانات" ^[10] (1968) بتدوين العمليات القياسية وعمليات هانت باعتبارها عمليات ماركوف النموذجية. ^[11] وعلى مدى السنوات القليلة التالية، اهتمت نظرية الإمكانات الاحتمالية بهذه العمليات بشكل حصري تقريبًا.

من بين الافتراضات الثلاثة الواردة في فرضية هانت (أ)، فإن الأكثر تقييدًا هو الاستمرارية شبه اليسرى. يكتب جيتور وغلوفر : "في إثبات العديد من نتائجه، افترض هانت فرضيات انتظام إضافية معينة حول عملياته. ... أصبح من الواضح ببطء أنه كان من الضروري إزالة العديد من فرضيات الانتظام هذه من أجل تطوير النظرية." ^[12] بالفعل في ستينيات القرن العشرين، كانت المحاولات تُبذل لافتراض الاستمرارية شبه اليسرى فقط عند الضرورة. ^[13]

في عام 1970، قام تشونغ تو شيه بتوسيع اثنتين من نتائج هانت الأساسية، ^[أ] بإزالة الحاجة إلى حدود اليسار تمامًا (وبالتالي أيضًا الاستمرارية شبه اليسرى). ^[14] أدى هذا إلى تعريف العمليات اليمنى باعتبارها الفئة الجديدة من عمليات ماركوف التي يمكن أن تعمل عليها نظرية الإمكانات. ^[15] بالفعل في عام 1975، كتب جيتور أن عمليات هانت كانت "ذات أهمية تاريخية بشكل أساسي". ^[16] بحلول الوقت الذي نشر فيه مايكل شارب كتابه "النظرية العامة لعمليات ماركوف" في عام 1988، كانت عمليات هانت والعمليات القياسية تعتبر قديمة في نظرية الإمكانات الاحتمالية. ^[15]

لا تزال عمليات الصيد قيد الدراسة من قبل علماء الرياضيات، غالبًا فيما يتعلق بأشكال دي ريتشليت . ^{[17] [18] [19]}

عملية هانت هي عملية ماركوف قوية على فضاء بولندي متوازي الأضلاع ومتصلة إلى اليسار تقريبًا؛ أي إذا كانت عبارة عن تسلسل متزايد من أوقات التوقف مع حد ، إذن ${\displaystyle X}$${\displaystyle (T_{n})}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle \mathbb {P} {\big (}\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}{\big |}T<\infty {\big )}=1.}$$

ليكن فضاء رادون و- جبر المجموعات الجزئية القابلة للقياس عالميًا لـ ، وليكن شبه مجموعة ماركوف على تحافظ على . عملية هانت هي مجموعة تلبي الشروط التالية: ^[20]${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle (P_{t})}$${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X=(\أوميغا،\G،\G_{t}،\X_{t}،\theta _{t}،\mathbb {P} ^{x})}$

(i) هي مساحة قابلة للقياس ومفلترة ، وكل منها عبارة عن مقياس احتمال على .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}})}$

(ii) لكل ، هي عملية عشوائية ذات قيمة - على ، ومُكيفة مع .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} ^{x})}$${\displaystyle ({\mathcal G}}_{t})}$

(ثالثا) (الطبيعية) لكل ، .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(X_{0}=x)=1}$

(iv) (خاصية ماركوف) لكل ، ولكل ، .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle t,s\geq 0,f\in b{\mathcal {E}}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}(f(X_{t+s})|{\mathcal {G}}_{t})=P_{s}f(X_{t})}$

(v) عبارة عن مجموعة من الخرائط بحيث لكل منها ، و${\displaystyle (\theta _{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle :\أوميغا \إلى \أوميغا }$${\displaystyle t,s\geq 0}$${\displaystyle \theta _{t}\circ \theta _{s}=\theta _{t+s}}$${\displaystyle X_{t}\circ \theta _{s}=X_{t+s}.}$

( vi ) معززة ومتصلة بشكل مستقيم .${\displaystyle ({\mathcal G}}_{t})}$

(vii) (الاستمرارية اليمنى) بالنسبة لكل ، وكل ، وكل دالة زائدة (بالنسبة لـ ) ، فإن الخريطة متصلة بشكل صحيح تقريبًا تحت .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (P_{t})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t\mapsto f(X_{t})}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$

(viii) (الاستمرارية شبه اليسرى) لكل ، إذا كانت متوالية متزايدة من أوقات التوقف ذات حد ، فإن .${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle (T_{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}(\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}|T<\infty )=1}$

يوضح شارب ^[20] في Lemma 2.6 أن الشروط (i)-(v) تعني قابلية قياس الخريطة لجميع ، وفي النظرية 7.4 أن (vi)-(vii) تعني خاصية ماركوف القوية فيما يتعلق بـ . ${\displaystyle x\mapsto \mathbb {P} ^{x}(X_{t}\in B)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$${\displaystyle ({\mathcal G}}_{t})}$

تتضمن الفئات المختلفة لعملية ماركوف ما يلي: ^{[21] [22]}

في عام 1980 أثبت سينلار وآخرون ^[23] أن أي عملية هانت ذات قيمة حقيقية تكون شبه مارتينجال إذا وفقط إذا كانت تغيرًا عشوائيًا في الوقت لعملية إيتو. وبشكل أكثر دقة، ^[24] تكون عملية هانت على (المجهزة بجبر بوريل ) شبه مارتينجال إذا وفقط إذا كانت هناك عملية إيتو ودالة قابلة للقياس بحيث ، حيث تم تسمية عمليات إيتو لأول مرة بسبب دورها في هذه النظرية، [ ^25] على الرغم من أن إيتو قد درسها سابقًا. ^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle 0\leq f\leq 1}$${\displaystyle X_{t}=Y_{A_{t}},t\geq 0}$$${\displaystyle A_{t}=\int _{0}^{t}f(Y_{s})\mathrm {d} ثانية.}$$

• عملية ماركوف
• عملية بوريل الصحيحة
• جيلبرت هانت